Математическое обеспечение финансовых решений

Задание № 1

Информация по фирме о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, лимитах на эти ресурсы в пределах планового периода и ценах реализации готовой продукции представлена в нижеследующей таблице производственный двойственный финансовый нежесткость.

Модель расчета оптимальной производственной программы Для построения экономико-математической модели заданной производственной ситуации обозначим через Х₁ искомую программу выпуска изделий А, а через Х₂ — искомую программу выпуска изделий В.

Полная производственная программа будет представлена вектором Х=(Х₁; Х₂).

Программа выбирается с учетом объемов имеющихся ресурсов в рассматриваемом периоде.

Таким образом имеем:

По сырью 5Х₁+Х₂?208.

По оборудованию Х₁+2Х₂?213.

По трудоресурсам 6Х₁+Х₂?240.

Кроме того, для искомых переменных Х₁ и Х₂ должны выполняться граничные условия (или требования неотрицательности), а именно Х₁?0; Х₂?0.

Показателем качества выбранной производственной программы является выручка от реализации. Эту выручку необходимо рассчитывать по формуле Z=447X₁+80X₂.

Искомая программа должна максимизировать сумму Z. Т. е.

Z=447X₁+80X₂>max.

Таким образом модель расчета оптимальной производственной программы кратко будет выглядеть так:

Найти вектор Х=(Х₁; Х₂).

5Х₁+Х₂?208.

Х₁+2Х₂?213.

6Х₁+Х₂?240.

Х₁?0; Х₂?0.

Z=447X₁+80X₂>max.

Графический метод решения модели Решение задачи графическим способом состоит из двух этапов:

• 1) Изображение области допустимых решений предложенной задачи ЛП в декартовой системе координат;
• 2) Визуальное нахождение оптимального решения на построенной области допустимых решений и его аналитическое уточнение.

Этап 1.

Под допустимым решением задачи ЛП понимается такой числовой набор значений искомых переменных, который при подстановке во все ограничения и граничные условия задачи обращает их в истинные числовые равенства и неравенства. Под областью допустимых решений (ОДР) задачи ЛП понимается геометрическое место точек, координаты которых являются допустимыми решениями.

Построим в декартовой системе координат прямые соответствующие имеющимся ограничениям. Уравнения этих прямых будут записаны как равенства:

5Х₁+Х₂=208.

Решение.

Х₁+2Х₂=213.

Решение.

6Х₁+Х₂=240.

Решение.

Этап 2.

Под оптимальным решением задачи ЛП понимается такое допустимое решение, при котором целевая функция задачи принимает экстремальное значение (максимальное или минимальное).

Выделенному на Рис. 1. Многоугольнику допустимых решений соответствует 5 опорных решения — 5 вариантов координат угловых точек: х1=(0,0); х2=(1,106); х3=(40,0); х4=(32,48); х5=(22. 6,95.2). При этом решение задачи может быть только целым числом, поэтому точка х5=(22. 6,95.2) исключается из рассмотрения.

Точки х4 и х5 можно определить как графическим путем (построив перпендикулярные линии к осям) так и решив систему уравнения.

Для точки х4 это.

• 5Х₁+Х₂=208
• 6Х₁+Х₂=240

Решая систему получаем Х1=32, Х2=48.

Рис. 1.

Двойственная задача и условие «дополняющей нежесткости».

Предположим что U1 — величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного привлечения в производство 1 кг сырья к прежним 208 кг. Эту величину назовем предельной эффективностью (полезностью) 209 кг. сырья.

U2 — величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного привлечения в производство 1 ст. ч. оборудования к имеющимся 213 ст. ч. Эту величину назовем предельной эффективностью 214 ст. ч. оборудования.

U3 — величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного привлечения в производство 1 человеко-ч труда к имеющимся 240 чел.-ч. Эту величину назовем предельной эффективностью 241 чел.-ч. труда.

Величины предельной эффективности U1, U2, U3 могут быть вычислены как решение нижеследующей задачи линейного программирования, называемой двойственной задачей.

Найти U=((U1, U2, U3);

5U1+U2+6U3?447;

U1+2U2+U3?80;

U1?0; U2?0; U3?0;

W=208U1+213U2+240U3>min.

Согласно второй теоремы двойственности условия дополняющей нежесткости будут иметь вид:

U1 (208−5X1-X2)=0.

U2 (213-X1−2X2)=0.

U3 (240−6X1-X2)=0.

X1 (5U1+U2+6U3−447)=0.

X2 (U1+2U2+U3−80)=0.

Предельная эффективность имеющихся у предприятия объемов ресурсов Подставив в условия «дополняющей нежесткости» оптимальную программу выпуска, найдем предельную эффективность имеющихся у предприятия объемов ресурсов.

U1 (208−5*32−48)=0.

U2 (213−32−2*48)=0.

U3 (240−6*32−48)=0.

Так как 213−32−2*48=85 то видим, что оборудование не лимитирует оптимальную программу, т. е. U2=0.

X1 (5U1+U2+6U3−447)=0.

X2 (U1+2U2+U3−80)=0.

Будет иметь вид.

X1 (5U1+6U3−447)=0.

X2 (U1+U3−80)=0.

• 32 (5U1+6U3−447)=0
• 48 (U1+U3−80)=0

Откуда получаем U1=33, U3=47, U2=0.

Итого.

U1=33 — величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного вовлечения в производство 1 кг. сырья.

U2=0 — величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного привлечения в производство 1 ст. ч. оборудования к имеющимся 213 ст. ч.

U3=47 — величина ожидаемого прироста максимума выручки от дополнительного привлечения в производство 1 человеко-ч труда к имеющимся 240 чел.-ч.

Проверка с помощью Excel.

Проверка величины ожидаемого прироста.

Проверка на программном комплексе Excel показала правильность ранее выполненных решений.

Задание № 2

Учитывая данные задания 1, исследовать динамику предельной эффективности сырья при изменении его объема от нуля до бесконечности при сохранении других ресурсов в прежних объемах.

• 1. Рассмотреть модель расчета оптимальной производственной программы как задачу линейного программирования с параметром, выражающим объем сырья.
• 2. Используя графический метод решения прямой задачи при увеличении параметра от нуля до бесконечности и условия «дополняющей нежесткости», вычислить убывающие значения предельной эффективности и определить диапазоны их устойчивости.
• 3. Записать выявленную функцию предельной эффективности сырья в табличной форме и построить ее график.
• 4. Используя «Поиск решения», исследовать динамику предельной эффективности всех ресурсов при изменении их объемов от нуля до бесконечности, если количество других ресурсов сохраняется.

Решение

При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость максимума выручки от изменения лимита сырья в диапазоне от нуля до бесконечности.

Таким образом имеем:

По сырью 5Х₁+Х₂?R.

По оборудованию Х₁+2Х₂?213.

По трудоресурсам 6Х₁+Х₂?240.

Графически это представим как:

Рис. 2

Прямые DC и ВС останутся неизменными, так как связаны с оборудованием и трудом, а прямая DE показывающая сырье будет менять свое место положения. При лимите сырья, представленном пунктирной прямой [(20; 0): (0; 100)], область допустимых решений задачи будет представлена треугольником, образованным этой прямой и осями координат. Для определения оптимального решения сравним значения целевой функции в угловых точках треугольника. Такими точками можно взять например точки (20; 0) и (0,100), расход сырья для которых одинаков и равен 20 кг. Выручка соответствующая этим точкам будет равна:

Z (20; 0)=447*20+80*0=8940.

Z (0; 100)=447*0+80*100=8000.

Таким образом оптимальным решением будет точка Х1=20, Х2=0.

Из группы условий.

U1 (z-5X1-X2)=0.

U2 (213-X1−2X2)=0.

U3 (240−6X1-X2)=0.

Следует что U2 =0 и U3=0.

Таким образом, 5U1+U2+6U3=447.

5U1=447.

U1=89.4.

При повышении лимита потребления сырья пунктирная прямая будет двигаться по направлению от начала координат, а треугольник, отражающий ОДР, будет увеличиваться. При этом соответствующие оптимальные программы будут находиться на оси абсцисс, а вышеперечисленные расчеты предельной эффективности сырья будут приводить к результату U1=89,4. Такая ситуация будет продолжаться до тех пор, пока оптимальная программа не совпадет с точкой В. Программу В, наряду с ограничением по сырью, начнет лимитировать ограничение по трудоресурсам. Поэтому расход сырья на программу В (40; 0) покажет правую границу диапазона устойчивости предельной эффективности U1=89,4. Каждый следующий за этой границей килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.

Для расчета расхода сырья на программу В подставим ее координаты в левую часть ограничения по сырью, а именно r (40; 0)=5*40+0=200.

Рассмотрим точку С (32; 48), значение выручки в точке С будет равно Z (C)= 447*32+80*48=18 177.

Оптимальные программы будут находиться на отрезке ВС. Характерезует эти программы тот очевидный факт, что по ним выпускается два продукта Х1>0 и Х2>0. Ограничение по машиночасам выше оптимальных программ, т. е. машиночасы не являются лимитирующим ресурсом для этих программ, Т. е. U2=0. Так как эту задачу мы ранее решали то U1=33, расход сырья для этой программы будет равен r (32; 48)=5*32+48=208.

Рассмотрим точку D (22; 95), значение выручки в точке D будет равно Z (D)= 447*22+80*95=17 434.

Очевидно что Z (D)< Z©. Это означает что сырье становится избыточным и его предельная эффективность равна 0.

На основе результатов выполненного анализа получим табличную запись функции предельной эффективности поступающего сырья для данного предприятия:

Зависимость максимума выручки от сырья.

Используя информацию из этих таблиц, построим графики этих функций:

Рис. 3

Проверка на Excel.

Проверка на программном комплексе Excel показала правильность ранее выполненных решений.