Задачи на сложные проценты

Тема «Проценты», связана с повседневной жизнью. Мы часто сталкиваемся с банковскими операциями: различные вклады, ссуды. Между тем, многие ребята, да и взрослые, при столкновении с этими задачами боятся их, потому что не умеют их решать. В учебниках не вводятся формулы простых и сложных процентов. Школьники должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа, число по его проценту. Вообще, данный вид задач применяется во многих областях хозяйственной деятельности, бухгалтерского учёта, а также в различных статистических расчётах, где используются формулы простых и сложных процентов.

Для нахождения простых процентов пользуются формулой простых процентов: если с величины нарастает за год (или другой период), то через лет, полученную сумму можно получить по формуле :

.

При этом предполагается, что по истечении каждого года доход за этот год исчисляется с первоначальной величины.

Если же доход причисляют к первоначальной величине и, следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то говорят о сложных процентах; в этом случае величина, в которую превращаетсячерез лет вычисляется по формуле сложных процентов :

.

Примеры [2]:

Задача 2.16: Клиент положил в банк на год рублей. Какая сумма у него будет через год, если банк выплачивает годовых?

Решение:

Данную задачу можно решить двумя способами.

• 1 способ: Сначала находим, сколько рублей приходится на:
• 1) (р.) — на .

Далее находим, сколько рублей будет составлять :

2) (р.) — на .

А теперь найдём, какая сумма получится в конце года:

• 3) (р.) — получилась сумма к концу года.
• 2 способ: Сначала находим, сколько процентов будет в конце года:
• 1) — к концу года.

Находим, сколько приходится на:

2) (р.) — на 1%.

А теперь найдём нужную нам сумму:

3) (р.) — сумма в конце года.

Ответ: рублей.

Задача 2.17:Владелец садового участка взял в банке ссуду рублей для постройки дома на участке. Он должен был вернуть эти деньги через год с надбавкой, какую сумму он должен был вернуть?

Решение:

1) — должен вернуть в банк владелец.

(р.) — должен вернуть.

Ответ: рублей.

Задача 2.18:Ирина внесла в январе рублей на счёт, по которому ежемесячно начисляется. И затем каждый месяц в течение года она вносила ещё по рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете будет в конце декабря?

Решение:

Выразим процент десятичной дробью:. Вклад ежемесячно увеличивается в раза и идёт последовательное накопление вклада:

январь — р.;

февраль — р.;

март — р.;

декабрь ;

(р.).

Ответ: 1341 рубль.

В ходе решения подобных задач школьники видят, что формула суммы геометрической прогрессии — это не просто абстракция, отвлечённая формула, а конкретные математическое знание, необходимое в жизни.

Задача 2.20: Вклад, положенный в банк года назад, достиг р. Каков был первоначальный вклад при годовых?

Решение:

Пусть (р.) — первоначальный размер вклада. В конце первого года вклад составит:

1).(р.).

2). (р.) — настолько увеличился вклад к концу второго года по сравнению с первым;

(р.) — таким станет вклад к концу второго года, то есть составит по условию р. Имеем, откуда. Значит (р.) — первоначальный вклад.

Ответ: рублей.