Использование блоков взаимосвязанных задач в обучении учащихся методам геометрических преобразований плоскости

Решение геометрических задач вызывает трудности у большинства учащихся. Это связано, прежде всего, с тем, что редко какая — либо задача по геометрии может быть решена с использованием определенной теоремы или формулы. Многие задачи требуют применения различных теоретических знаний. Два того чтобы решить задачу необходимы хорошие знания теоретической части курса, знания достаточного количества геометрических фактов, обладающих определенными приемами и методами решения геометрических задач. Поэтому уроки решения одной задачи являются отличным полигоном для развития творческой деятельности учащихся. В данном параграфе вам представим фрагмент урока одной задачи, на котором решается блок взаимосвязанных задач, связь между элементами в которых осуществляется в соответствии с их решениями. Этот блок может быть заранее заготовлен учителем или составляться учащимися непосредственно под его руководством на уроке.

Приведём примеры блоков задач с укрупнением дидактических единиц по теме нашей курсовой работы Метод центральной симметрии:

1.1) Дан треугольник ABC в котором AB=3, BC=4, AC=5. Найдите длину отрезка AN, если точка N делит сторону BC пополам.

Рисунок 2.

Решение:

1) Построим проекцию точки A где N — центр проекции и получим точку D (рисунок 3) ABDC — параллелограмм, где AB=CD=3, BD=AC=5. Nточка пересечения диагоналей BC и AD.

2) BC²+AD²=2(AB+BC)², 4²+AD²=264, AD²=128−16, AD==.

3) AN=AD==.

1.2) Найдите сторону треугольника ABC если известно, что длинна медианы проведённой к этой стороне равна, а две другие стороны 3 и 5.

Решение:

• 1) Смотри действие 1) в решении 1.1.
• 2) AD=AN==.

3) BC²+AD²=2(AB+BC)², BC²+ ()²=264, BC²=128−112, BC==4.

1.3) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что длинна медианы AN=, AB=3, AC=5.

Решение:

• 1) Смотри действие 1) в решении 1.1.
• 2) Смотри действие 2) в решении 1.2.
• 3) Смотри действие 3) в решении 1.2.

4); p=. p==6. ²

А теперь предположим, что у нас имеется некоторая задача-1 для решения которой каким-либо конкретным методом надо выполнить определённую последовательность действий: .

Эти действия взаимосвязаны между собой. Каждое последующее из них опирается на результат выполнения предыдущего (т.е.), а вместе они направлены на получение ответа к задаче-1, выполнение её требования. Эту совокупность действий определим как одно целое, укрупнённое действие-1 (Д1). Если мы рассмотрим задачу-1 до задачи-2 так, что решение задачи-2 будет опираться на решение задачи-1, то действия, производимые для решения задачи-2 будут некоторым образом взаимосвязаны между собой так же, как и действия задачи-1. Поэтому в качестве нового целого, укрупнённого действия-2 (Д2) будем рассматривать совокупность действий:. Решение задачи-1 входит как составная часть в решение задачи-2, то есть часть действий, способствующих решению задачи-2, будет тождественно действиям в решении задачи-1.

Рисунок 3.

Таким образом, к действиям (то есть к действию Д1) мы добавим несколько новых действий и получим действие-2, которое содержит в себе структурный элемент Д1. Тогда действие-2 (Д2) является укрупнённым действием-1 (Д1). То есть, расширяя задачу до новой задачи, мы укрупняем и действия, соответствующие методу её решения. Расширять же сами задачи можно посредством комплекса методических приёмов:

Параллельный перенос:

2.1) В четырехугольнике ABCD АВ=8, CD=,,. Найти длины сторон ВС и AD.

• 2.2) В четырехугольнике ABCD АВ=8, CD=,, ,. Доказать, что диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
• 2.3) В четырехугольнике ABCD АВ=8, CD=,,. Найдите периметр ABCD.

Метод поворота:

3.1) Постройте прямую, которая получается из данной прямой a поворотом вокруг точки O на угол, по часовой стрелке, если прямая не проходит через точку O.

• 3.2) Постройте прямую, которая получается из данной прямой a поворотом вокруг точки O на угол, по часовой стрелке, если прямая не проходит через точку O.
• 3.3) Найдите площадь треугольника ABB₁, образованного поворотом отрезка AB=4, вокруг точки A в точку B₁ на угол .

Комбинированный блок задач (центральная симметрия и поворот):

• 4.1) Дан прямоугольник ABCD AB=4, BC=3, точка M образована центральной симметрией точки B через точку A, точка N образованна поворотом по часовой стрелки точки B вокруг точки C на угол. Найдите площадь пятиугольника MBNCD.
• 4.2) Дан прямоугольник ABCD AB=4, BC=3, точка M образована центральной симметрией точки B через точку A, точка N образованна поворотом по часовой стрелки точки B вокруг точки C на угол. Найдите периметр пятиугольника MBNCD.

Как показывает блок задач 4.1−4.2 в одном блоке можно интегрировать несколько методов. Понятие «интеграция» трактуется как восстановление, объединение в целое каких-либо частей, элементов. Под интеграцией методов будем понимать процесс сочетания данных методов или связи их приемов в один метод. В области обучения решению задач интеграция методов предполагает параллельное (на одном уроке) решение одной задачи разными методами или решение одной задачи в блоке другим методом. Примером такого блока является блок задач 5.1−5.3 Образованный на основе задачи из учебника [2] и предполагающий использование учащимися геометрического метода (метода симметрии) и алгебраического (метода координат).

• 5.1) Найдите длину отрезка AA₁ если A (4;5), а точка A₁ образованна центральной симметрией относительно точки O (4;-1).
• 5.2) Дана трапеции ABB₁A₁ образованной при симметрии отрезка AB, где A (-4;1), B (-2;4) в отрезок A₁B₁ относительно оси Oy, найдите её площадь.
• 5.3) Параллелограмм ABB₁A₁ образован при симметрии отрезка AB, где A (-3;1), B (-2;4) в отрезок A₁B₁ относительно начала координат, найдите площадь

Словесная формулировка укрупненных задач в одном блоке может несколько различаться. Подобное привносит в процесс работы с такими задачами значительный положительный эффект. В психологии установлено, что выполнение однотипных заданий (в определенной степени это относится и к укрупненным задачам) приводит к ряду негативных явлений: учащиеся — начинают решать задачи по аналогии с предыдущими, не вдумываясь в условие, опуская отдельные существенные рассуждения и т. д., из-за чего в решениях появляются ошибки. Подобное объясняется тем, что «последовательность рассуждении (А; В; С;…; М), повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (А; М), которая, в дальнейшем, в случае необходимости, легко развертывается в первоначальную цепь рассуждений. Свертывание рассуждении — это естественный процесс.

Однако не у всех учащихся обратный процесс — развертывание — происходит без потерь каких-либо существенных рассуждений. Поэтому в интересах лучшего усвоения материала желательно в некоторых случаях замедлить процесс свертывания".

Изменение хотя бы формулировок текста блочных задач позволяет замедлить такой «процесс свертывания», так как подобное эффективно способствует пониманию задачи учеником, заставляя его осмысливать свое решение.

Меняя текст задачи, можно также сменить обозначения заданных в ней геометрических фигур, числовые значения используемых величин или лишь единицы их измерения. Такие преобразования также позволяют школьникам непрерывно осмысливать выполняемые ими решения, что приводит к значительному снижению количества допускаемых ими при этом ошибок.

В то же время эффективность использования блоков укрупненных задач в обучении математике, конечно, зависит не от разнообразия формулировок составляющих их задач.

В большей степени этому способствует разнообразие форм и методов организации работы учащихся с такими блоками.

Так, на втором и третьем этапах осуществления этой работы школьникам можно предлагать упражнения творческого характера.

Например, требующие от них восстановления готового задачного блока или составления нового блока задач по готовому чертежу.

При этом здесь возможно несколько вариантов таких упражнений. А именно:

I. Упражнения на восстановление готового задачного блока.

Пусть имеется некоторый блок укрупненных задач, для решения которых надо выполнить ряд действий. Например,. Тогда школьникам можно предложить:

I.1) лишь задачи и после решения которых потребовать от обучаемых составления и решения новой задачи, решение которой, с одной стороны, будет продолжать решение первой задачи, с другой стороны — являться частью решения второй задачи (то есть учащиеся при выполнении данного упражнения фактически восстанавливают сознательно пропущенную учителем задачу);

I.2) все задачи блока, предварительно нарушив их блочный порядок следования друг за другом, например, (в этом случае от учащихся требуется решить данные задачи, и восстановить их блочную очередность).

II. Упражнения на составление блока задач по готовому чертежу.

К этой группе можно отнести упражнения, где обучаемым требуется:

II.1) продолжить блок готовых задач, но таким образом, чтобы чертежом новой задачи был предварительно данный им какой-то конкретный геометрический чертеж;

II.2) составить весь блок полностью, с первой до последней задачи, по данному им более сложному чертежу. Это значительно расширяет поле творческой деятельности обучаемых, так как в зависимости, например, от того, какой «кусочек» этого чертежа будет взят ими в качестве чертежа первой блочной задачи, составленные в итоге блоки могут быть разными.

Примеры подобных упражнений приведены в работе. Кроме того здесь выделяется и более емкое упражнение на восстановление задачного блока, чем приведенные выше. Оно предполагает развитие темы задачи в два противоположных направления (расширения ее решения и его сужения), так как опирается на два противоположных вида деятельности по трансформации задачи — ее укрупнение и разукрупнение. Укрупнение задачи, в контексте вышесказанного, — это расширение решения задачи за счет добавления к нему новых действий. Тогда разукрупнение задачи можно рассматривать как сужение ее решения посредством выделения из нее элементарных подзадач, таких, что решения каждой последующей из них содержится как часть в решении предыдущей.

Поскольку в ходе анализа решения той или иной задачи З можно выявлять не только задачи укрупняющие ее, но и задачи для которых она сама будет укрупненной.

На такой основе школьникам можно предложить следующее упражнение творческого характера на восстановление задачного блока: «Составьте блок укрупненных задач, в котором начальной (промежуточной, конечной) была бы задача: (текст задачи)».

Такое упражнение целесообразно предлагать учащимся в конце второго этапа включения блоков укрупненных задач в процесс обучения или даже на третьем заключительном этапе. Оно, как и сама деятельность по разукрупнению задачи, усиливает эффект, оказываемый укрупнением решения задачи на усвоение школьниками таких эвристических приемов, как прием элементарных задач, прием вспомогательной фигуры и др. способствующих повышению эффективности процесса обучения учащихся математике.

Рисунок 4.

Составление и использование в учебном процессе блоков укрупнённых задач способствует всестороннему развитию учащихся, активизации их мыслительной деятельности, воспитанию многих личностных качеств, систематизации и обобщению знаний, умений и навыков учащихся, а также позволяет более эффективно обучать школьников математике, формируя у них, например, математические понятия. Однако в контексте технологии укрупнения дидактических единиц формировать понятия возможно не только в результате использования блоков задач, но и с помощью применения различных методических основ обучения в основной школы.