Из опыта работы педагогов-исследователей о методике решения задач составлением уравнений

Одним из педагогов-новаторов является Н. Н. Никифоров (с. Новошенское Тамбовской области), который пишет, что тема довольно сложная, так как учащимся предлагается принципиально новый подход к решению задач.

Н.Н. Никифоров пишет, что важно показать учащимся необходимость и целесообразность такого способа решения и, главное, его механизм, ход логических рассуждений.

Он предлагает решить задачу: «Ваня, Петя и Сережа пошли на рыбалку и поймали вместе 51 рыбку. Ваня поймал рыбок в два раза больше, чем Петя, а Сережа на три рыбки больше, чем Петя. Сколько рыбок поймал каждый мальчик?» На доске делается краткая запись:

Он предлагает учащимся решить эту задачу. Решают они ее арифметически, попытки решить заканчиваются обычно неудачей. Далее Н. Н. Никифоров рассказывает, как можно было решить задачу. Спрашивает: «Трудная ли задача?» — «Да!». Говорит, что таких задач в дальнейшем будет встречаться много, и что сегодня научу их решать иным, более простым способом.

Предлагает решить сначала задачу методом подбора.

На доске чертится таблица, которая заполняется учителем по мере рассуждений учащихся:

Если Петя поймал 1 рыбку, то Ваня — 1*2, то есть две рыбки, а Сережа — 1+3, то есть четыре рыбки. Всего они поймали 1+2+4=7 (рыбок), а должен поймать 51 рыбку Неверно.

Если Петя поймал 2 рыбки, то …

Берется несколько значений. Разумеется, не все значения перебираются. Можно взять 10, 11 и, наконец, 12. У Пети 12 рыбок, у Вани 12*2 рыбки, у Сережи 12+3 рыбки. И всего у них 51 рыбка.

Задача решена верно.

Какой недостаток такого решения? Много надо перебирать значений, долго. Можно решить эту задачу без переборки возможных значений.

Мы не знаем, сколько рыбок у Пети, но всякий раз число рыбок у других мальчиков выражаем через них. Обозначим число рыбок у Пети через х. Тогда у Вани — 2х рыбок, а у Сережи — (х+3) рыбки. Всего же они поймали 51 рыбку, то есть должно выполняться равенство:

х+2х+(х+3)=51.

Решим это уравнение:

х+2х +х+3=51; 4х=28;

х=12 — столько рыбок у Пети.

У Вани 12*2=24 (рыбки), а у Сережи 12+3=15 (рыбок).

Проверим, верно ли решена задача: 24:12=2, 15−12=3, 24+12+15=51.

Все условия задачи выполнены. Задача решена верно. Проследим решение задачи и запишем последовательность решения в виде алгоритма.

Алгоритм решения задачи с помощью уравнения:

• 1. Обозначим неизвестную величину переменной.
• 2. Выразим через нее другие величины.
• 3. Найдем зависимость между ними и на основании этой зависимости составим уравнение.
• 4. Решим уравнение.
• 5. Найдем ответ на вопрос задачи.
• 6. Проверим правильность решения задачи.
• 7. Запишем ответ.

Записи могут быть различными, но надо, чтобы они были краткими и одновременно исчерпывающими. Затем Н. Н. Никифоров дает под диктовку образец оформления решения задачи, показывает одновременно этапы решения.

Решение:

Пусть Петя поймал х рыбок. Тогда Ваня поймал 2х рыбок, а Сережа — (х+3) рыбки. Зная, что вместе они поймали 51 рыбку, составим уравнение:

х+2х+(х+3)=51;

х+2х+х+3=51;

4х=48;

х=12.

2х=2*12=24.

х+3=12+3=15.

Проверка. 24:12=2. 15−12=3. 12+24+15=51.

Ответ: 24, 12, 15 рыбок.

Практика показывает, что после решения нескольких похожих задач учащиеся хорошо усваивают алгоритм решения и не испытывают серьезных трудностей в дальнейшем.

Так, например, педагог-новатор Ю. М. Мацкин пишет, что в последнее время один из ведущих способов решения текстовых задач связан с использованием уравнений. В 5−6 классах учащиеся, по существу, решают текстовые задачи только составлением уравнения по их условию.

По-видимому, чрезмерное увлечение этим способом не является вполне оправданным. Это подтверждается анализом результатов работы по решению задач в 5−6 классах средней школы.

Суть проводимой работы в следующем: познакомить учащихся с арифметическим способом решения текстовых задач с использованием координатного луча, сравнить его с другими способами и выяснить, насколько он приемлем для них.

Ниже приведены задачи, которые решались на уроке двумя способами: составлением уравнения и с помощью координатного луча.

Задача. В трех корзинах 70 яблок. В первой в два раза больше, чем во второй, а в третьей в два раза больше, чем в первой. Сколько яблок в каждой корзине?

Решение. Первый способ. Пусть во второй корзине х яблок, тогда в первой корзине их будет 2х, а в третьей — 2*2х=4х. Таким образом, число яблок в трех корзинах равно (х+2х+4х). В то же время из условия задачи известно, что это число равно 70. Составляем уравнение и решаем его:

Х+2х+4х=70; 7х=70; х=10; 2*10=20; 4*10=40.

Ответ: 20; 10; 40 яблок.

Тема: «Пропорция» служит основой для решения многих задач практического характера. Этой темой заинтересовался педагог-новатор Х. Ш. Шихалиев (г. Махачкала).

Эту широту прикладной роли темы «Пропорция» и следует раскрыть перед учащимися, обращаясь к решению задач из окружающей действительности. Характерной чертой всех задач, относящихся к этой теме, является то, что при их решении учащиеся руководствуются дедуктивным способом мышления: имеется определенное условие взаимосвязи количественных соотношений двух величин и, исходя из этой взаимосвязи, требуется определить другие количественные соотношения тех же величин.

В процессе решения задач на пропорцию желательно рассмотреть и такие задачи, для решения которых предварительно требуется найти дополнительные данные. Например: «Долетит ли самолет, развивающий скорость 800 км/ч, из Москвы до Махачкалы за 2 часа?» .

Думая над этим вопросом, учащиеся обнаруживают, что в условии не дано расстояние от Москвы до Махачкалы. Однако, это число (1670 км — воздушная трасса) можно найти в справочнике или пользуясь географической картой.

Составляем таблицу:

Получаем: 1:800=х:1670, откуда х2, 09.

Применение пропорции упрощает ход решения многих задач. Так, учащиеся при решении задач на нахождение дроби от числа или числа по его дроби нередко делают ошибки в выборе действий. Если же научить их при решении таких задач применять пропорцию, то подобные ошибки уже не появляются. Например: «Рабочий в магазине израсходовал 60 руб. из своей зарплаты, что составляет 2/7 от его месячного заработка. Сколько денег он получил за этот месяц?» .

Решение: 2:60=7:х, откуда х=210.

Ответ: 210 рублей.

Как видим, можно привести много примеров-задач, при решении которых применяется пропорция. Это задачи на смеси, сплавы, растворы, коллективную работу, расход зарплаты и так далее. Главное при этом состоит не только в умении решать задачи с готовым текстом, но и отвечать на практические вопросы в виде задач с недостающими данными. Подобные задачи развивают у учащихся логическое мышление, приучают их пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал, превращают знания в необходимый элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации учения. Выполняя такие задания, учащиеся оказываются в одной из жизненных ситуаций и учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.

Краткие выводы по второй главе

Итак, при изучении переменной в V-VI классах учащиеся должны знать и уметь правильно употреблять термины «переменная» и «значение переменной», подставлять в предложение вместо переменной ее значения. Уметь составлять простейшие выражения с одно переменной по условию задачи, находить значение выражения при различных значениях переменной, записывать в виде таблицы значения переменной и соответствующие им значения выражения. Кроме того, учащиеся должны приобрести знания и умения при решении текстовых задач алгебраическим путем.