Инвариантность нулевых моментов для любого типа математической модели структуры потока жидкости

Определим зависимости начальных моментов нулевого и первого порядков для типовых моделей (полного перемешивания, идеального вытеснения, диффузии, идеального вытеснения с байпасом и рециклом) и проведем их анализ. Такой анализ необходим для использования этих зависимостей при экспериментальных исследованиях гидродинамики широкого класса массообменных и реакторных аппаратов, особенно при использовании экспериментального метода моментов функции распределения по длине пути жидкости и других методов.

I. Модель полного перемешивания Материальный баланс (в соответствии с обозначениями рис. 23.5):

или

Проинтегрируем концентрации по / от 0 до оо и, с учетом того, что функция Хэвисайда:

Рис. 23.5. Структура потока для модели полного перемешивания.

Рис. 23.6. Среднее время пребывания т в аппарате для модели полного перемешивания

уравнение (23.12) примет вид: или

оо где / - начальный момент нулевого порядка (/ = jxdt).

О Рассмотрим случай, когда x_BX = const.

Введем переменную * = *_вых-*_вх, тогда уравнение (23.12) можно записать в виде:

или.

Проинтегрируем это уравнение по / от 0 до оо, получим:

оо где Jdx_BbIX = 0, тогда о.

или.

Умножим концентрацию д: в уравнении (23.12) на t и проинтегрируем по / от О до оо.

где J- начальный момент первого порядка (J = jtxdi).

о.

J V

Среднее время пребывания индикатора x = — = -^i_an, т. е. среднее время пребывания не зависит от длины аппарата, а определяется объемом аппарата V и расходом жидкости L (рис. 23.6).

II. Диффузионная модель Запишем уравнение материального баланса для элемента dI диффузионной модели (рис. 23.7):

Граничные условия:

Рис. 23.7. Структура потоков для диффузионной модели.

Проинтегрируем концентрацию х_д в уравнении (23.14) и граничные условия по t от 0 до оо, получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

с граничными условиями:

Характеристическое уравнение для уравнения (23.15): откуда

или Общее решение уравнения (23.15) будет иметь вид:

соответственно.

Подставим это значение в граничные условия: откуда или Умножим концентрацию х в уравнении (23.17) на / и проинтегрируем.

откуда.

Из уравнения (23.16) имеем:

от 0 до оо:

Граничные условия:

Частное решение уравнения (23.18):

Общее решение получим методом вариации произвольных постоянных.

откуда.

Подставим постоянные величины A i и^в уравнение (23.19).

соответственно.

Для определения постоянных В и В2 используем граничные условия.

откуда откуда.

Подставим коэффициенты В и Bi в уравнение (23.20):

Среднее время пребывания индикатора для диффузионной модели (рис. 23.8):

При z = 0,.

Рис. 23.8. Среднее время пребывания т в аппарате для диффузионной модели.

III. Модель идеального вытеснения

Материальный баланс для элемента d/ (рис. 23.9):

откуда в безразмерных координатах длины.

Граничные условия.

После интегрирования х по / от 0 до оо обеих частей уравнения, получим:

Умножим концентрацию на Г в уравнении (23.21) и проинтегрируем от 0 до оо.

Решение этого уравнения:

Из граничного условия z — 0 определим х_вх ⁼ О, J = 0 и С = 0, тогда.

Если концентрация на входе в аппарат не равна нулю, то где ^т", ~~J~ «^вР^емя пребывания в предыдущей зоне.

00 00.

Если х_ьх = Со, то C₀dt = С₀ J/d/ = оо, т. е. т_пр = а>, следовательно о о концентрация на входе в аппарат должна быть равна 0 (рис. 23.10, б) или приведена к 0 путем замены х = х — х_лх.

IV. Модель идеального вытеснения с байпасом Материальный баланс для элемента d/ (рис. 23.11):

Рис. 23.10. Среднее время пребывания т в аппарате для модели идеального вытеснения (обозначение в тексте).

откуда или в безразмерных координатах длины (dz = d///):

Рис. 23.11. Структура потоков для модели идеального вытеснения с байпасом.

При граничном условии z = О, qb (t) = aLx.

Проинтегрировав граничное условие по / от О до оо, получим:

откуда q = aLI, или.

от 0 до оо,.

Умножим уравнение (23.24) на / и проинтегрируем по t получим:

или Решим это уравнение:

при граничном условии z = О, х_ьх = О, J = 0, тогда С = 0. Решение уравнения (23.26):

Материальный баланс индикатора для точки смешения (1):

До точки смешения (1) величина (1 -а)х_лх равна нулю, а после точки (1) не равна нулю, тогда.

Моменты нулевого порядка: /_вых = а/, = а1.

С учетом уравнения (23.25):

Таким образом, сравнение двух моментов нулевого порядка для С-кривых, снятых на выходе (/_вых) и в любой точке потока до точки смешения 1 (/|), позволит определить долю аэрированной жидкости (а) и, следовательно, долю байпаса (1 -а).

V. Модель идеального вытеснения с рециклом Материальный баланс для элемента d/ (рис. 23.12):

откуда в безразмерном виде (dz = jd7):

Граничные условия:

Баланс индикатора в точке смешения (1):

Рис23.12. Структура потоков для модели идеального вытеснения с рециклом.

оо Проинтегрируем это уравнение по t от 0 до оо. Так как x_bUXdt = 0, д:_вх

о.

= 0 в момент t — 0, получим:

Баланс индикатора после точки смешения (1):

Интегрируем обе части уравнения (23.30) по / от 0 до оо. откуда Умножим уравнение (23.30) наги проинтегрируем по / от 0 до оо.

или Умножим обе части уравнения (23.28) на t и проинтегрируем по t от О до оо, получим:

Решение этого уравнения имеет вид:

Общее решение уравнения (23.32) при z = 1:

или.

Тогда из уравнения (23.32) следует:

Среднее время пребывания индикатора в аппарате (рис. 23.13):

Таким образом, если рецикл отсутствует (R = 0), то среднее время V

пребывания х = —— z, а если R * 0, то это время будет меньше.

Рис. 23.13. Среднее время пребывания т для модели идеального вытеснения с рециклом

Баланс индикатора в точке смешения (2): или

р

До точки смешения (2) величина-?х_ВЬ|Х ⁼ 0″ после точки (2) она.

1 + R

не равна нулю, тогда получим:

1 а

или /, =-/"|j_V = /. С учетом того, что /=—²— (см. уравнение.

• 2 1+ R ‘^их (1 + R) L
• 23.29), получим:

Таким образом мы доказали, что нулевые начальные моменты равны между собой не только для типовых моделей структуры потока (полное перемешивание, идеальное вытеснение, диффузионная модель), но и для комбинированных моделей — с наличием байпаса, рецикла и т. д. (см. уравнения (23.13), (23.17), (23.22), (23.27) и (23.33).