Средние величины. 
Педология

Стремясь изучать детей в массовом масштабе, статистика широко пользуется средними арифметическими (М). Такое широкое пользование средними арифметическими основано на убеждении, постоянно подкрепляемом опытом, что если мы имеем достаточно большое количество детей данной определенной категории, то больше всего будет шансов встретиться именно со средним ребенком. Средняя арифметическая является наиболее вероятной количественной характеристикой для отдельных субъектов данной категории. Средняя арифметическая (М) сравнительно легко выявляется; для вычисления ее достаточно знать общее число случаев (N) и общую сумму (2) отдельных числовых значений.

В действительности, конечно, отдельные случаи отклоняются в ту или иную сторону от среднего значения. Встает вопрос, насколько значительно такое отклонение. Для этой цели сравнивают данное индивидуальное отклонение со средним отклонением. Однако по ряду математических соображений обычно пользуются не простым, а так называемым квадратическим средним отклонением, которое часто называют также стандартным отклонением (SD), или сигмой (а). Для получения его извлекают квадратный корень из арифметической средней квадратов отдельных (d) отклонений:

Сигма, таким образом, является как бы мерой значительности отклонения. Принято, что если данное отклонение не превышает одной сигмы, то такое отклонение незначительное, но если оно превышает четыре сигмы, то оно настолько большое, что, вероятно, данный случай уже относится не к данной категории, а к иной. Так мы можем составить следующую таблицу: зо.

Следует обращать внимание не только на величину отклонения, но и на знак его.

Относительная (по отношению к М) величина стандартного отклонения называется коэффициентом изменчивости. Он дает возможность сравнивать степень изменчивости различных явлений и определяется в процентах по формуле:

Предположим, мы хотим узнать Ми о веса дсвятилетних девочек. Всех дсвятилетних девочек взвесить мы нс имеем возможности. Мы выбираем для взвешивания некоторое количество их и узнаем М и о веса выбранной группы девочек. Спрашивается, насколько, в среднем, рискуем мы ошибиться, судя по М и о выборочной группы о М и о всей (так называемой генеральной) группы. Ясно, чем меньше детей мы взвесили, тем больше рискуем мы ошибиться, приняв их вес за вес всех детей данной категории. С другой стороны, чем больше сигма нашей выборочной группы, т. е. чем разбросанней (разнообразней) ее члены, тем менее характерна М для всей группы. Исходя из подобных рассуждений, определяют среднюю ошибку М по формуле:

Средняя ошибка для стандартного отклонения:

Таким образом, мы видим, что чем однородней и многочисленней исследуемая детская группа, тем меньше рискуем мы ошибиться в наших статистических обобщениях.

Статистической совокупностью считается только такая, отдельные члены которой качественно однородны и отличаются между собой лишь количественно. К сожалению, это нередко забывается. В. И. Ленин в книге «Развитие капитализма в России» резко критиковал статистиков-народников, оперировавших с единой средней для всего крестьянства, не замечая качественных различий в нем (дифференциация крестьянства). В педологии нередко делались аналогичные ошибки, когда оперировали с единой средней для детей, нс замечая неоднородности их в классовом, половом и тому подобных отношениях.

Чем однороднее исследуемая совокупность детей, тем меньше мы рискуем ошибиться, приняв характеристику этой выборочной совокупности за характеристику всей (генеральной) совокупности. Но так как практически желательной однородности нередко трудно бывает добиться, то приходится страховать себя большим количеством измеряемых детей. Насколько же многочисленна должна быть изучаемая совокупность? Дать общий ответ на этот вопрос невозможно: чем изменчивей изучаемое явление, тем на большем материале надо изучать его. Однако можно сказать, что в педологии только в исключительных случаях требуется N большее, чем V.

В предыдущей главе утверждалось, что количество изучаемых случаев не гарантирует истины, а сейчас подчеркивается значение этого количества как страховка от возможной ошибки. Нет ли здесь противоречия? Нет, так как статистические характеристики претендуют только на вероятность: статистика дает нам не необходимо истинные положения, а только более или менее вероятные. Вот еще одна причина, почему мы не можем удовлетворяться статистическими положениями, а должны вести наше исследование дальше: «Наука перестает существовать там, где теряет силу необходимая связь» (Энгельс). Однако противоположность между случайностью и необходимостью метафизична: на самом деде «необходимость составляется из чистейших случайностей, а эти мнимые случайности представляют собою форму, за которой скрывается необходимость» (Энгельс). Поэтому было бы неправильно противополагать: или вероятные положения или необходимые положения. Наука пользуется и теми, и другими.

Пользование М, SD и V в педологии основано на предположении, что при достаточной многочисленности данной совокупности имеется больше всего шансов встретиться в ней именно с этими величинами. Но это предположение верно только тогда, когда кривая распределения (частот) различных величин по отдельным членам данной совокупности симметрична. Например, когда кривая распределения детей по их весу такова, что отклоняющихся на определенную величину от среднего веса в сторону большего или меньшего веса одно и то же количество. Но такая симметрия бывает далеко не часто. Поэтому существенно важно знать степень асимметрии распределения. Она характеризуется так называемой цифрой асимметрии (As). Если As0,50 — асимметрия большая.

При большой асимметрии средняя арифметическая (М) значительно отклоняется от наиболее ч сто встречающейся величины. Величина, встречающаяся в данной совокупности чаще других величин, называется модой (Мо). Там, где кривая распределения симметрична, она совпадает с М. Там же, где имеет место асимметрия, именно Мо, а не М является характерной для данной совокупности величиной. Вычисление моды технически нелегкая операция. Поэтому в педологических работах мода редко встречается. Зато все больше и больше входит в употребление пользование медианой (Me). Медианой называется срединная, центральная величина в ряду данной статистической совокупности. Она вычисляется сравнительно легко и быстро. Она меньше М зависит от величины исключительных случаев, попавших почему-либо в данную совокупность. Если в случае асимметрии мы не имеем почему-либо возможности вычислить Мо и выбираем Me или М, то следует предпочесть Me, так как Me всегда по своей величине находится между М и Мо, т.с. ближе стоит к Мо, чем М, иными словами, лучше, чем М, характеризует чаще других встречающегося в данной совокупности детей ребенка.

Конкретно разницу между М, Мс и Мо можно пояснить на примере. Возьмем некоторое количество детей и измерим рост каждого из них. Теперь представим мысленно, что мы общую сумму их ростов распределим поровну между всеми ими, т.с. сделаем всех одинакового роста. Тогда мы получим среднюю арифметическую (М) их роста. Но если, не уравнивая их роста, мы выстроим их всех в одну шеренгу по росту, то величина роста того ребенка, который будет стоять как раз посредине шеренги, будет медианой (Me). Теперь скомандуем всем детям, имеющим один и тот же рост, зайти в затылок друг другу. Тогда величина роста того ряда в шеренге, который окажется наиболее многочисленным, будет модой (Мо).