Моменты инерции относительно повернутых осей

Пусть известны моменты инерции относительно центральных осей z и у для сечения площадью А. Найти моменты инерции относительно осей ми v, повернутых относительно осей z и у на угол, а (рис. 2.19).

Запишем связь между координатами элементарной площадки <�А в старой и новой системах координат: и = у sin, а + zcosa, v = ycosa — ?sina. Подставим выражения для координат и и v в формулу моментов инерции:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

После упрощения формулы для моментов инерции относительно повернутых осей имеют вид Отметим, что если сложить первое и второе из выражений (2.5), то.

Сумма осевых моментов инерции при повороте осей не меняется.

Главные оси и главные моменты инерции.

Определим положение главных осей, относительно которых центробежный момент инерции.

JJ,

равен нулю J_uv = 0: J_uv = ^z ^ ^у sin 2а + J^ cos 2а = 0 .

Откуда где а₀ — угол, на который надо развернуть оси, чтобы они стали главными.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Чтобы определить их, надо в выражения (2.5) подставить значение а₀, найденное по формуле (2.7). Докажем, что относительно главных осей осевые моменты инерции имеют экстремальные значения. Вычислим первую производную от выражения J_u и приравняем ее нулю:

откуда

Сравнивая выражения (2.7) и (2.8), делаем вывод, что угол наклона главных осей а₀ равен углу наклона осей а, относительно которых моменты инерции принимают экстремальные значения. Теперь можно уточнить формулировку главных осей: главными называют оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения.

Для определения главных моментов инерции существует и более простая формула. Для ее получения нужно найти из выражения (2.7) угол а₀, подставить его в выражение (2.5). Затем исключить а₀, используя выражения для cos2а и tg2a. После упрощения получаем.

Знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту инерции, знак минус — к минимальному.

Формула (2.9) в отличие от формулы (2.5) не позволяет сразу сказать, относительно какой оси момент инерции максимальный. Для этой цели полезно использовать подсказки, основанные на результатах расчета. Ось, относительно которой момент инерции максимальный, проходит через более узкую часть сечения («поперек живота»); проходит через II—IV четверти поперечного сечения, если центробежный момент положительный, и через I—III четверти, если центробежный момент отрицательный.

Радиус инерции сечения.

Понятие радиус инерции встретится в гл. 12. Радиусом инерции называется математическое выражение.

i_z =Jj_z/А. Радиус инерции можно представить как расстояние от оси z до точки, в которой нужно сосредоточить всю площадь сечения, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего сечения.

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции: А; /_min =Jj~jA .