Некоторые специальные вопросы обучения и развития

Развитие математического мышления школьников в учебном процессе

В результате освоения данной главы студенты должны:

знать

• • определение математического мышления;
• • основные компоненты математического мышления: анализ, планирование, рефлексия;

уметь

• • различать способы диагностики компонентов математического мышления;
• • ориентироваться во взаимных связях математического мышления и универсальных учебных действиях;

владеть

• способами анализа ситуации, проявляющей математическое мышление учащихся.

Рассмотрим следующее задание.

Найдите неравные нулю слагаемые по известной сумме и указанному числу слагаемых.

• 5 = … + …
• 7 = … + … + …
• 9 = … + … + … + …
• 11=… + … + … + … + …
• 13 = … + … + … + … + … + …
• 15 = … + … + … + … + … + … + …
• 17 = … + … + … + … + … + … + … + …
• 19 = … + … + … + … + … + … + … + … + …
• 21 = … + … + … + … + … + … + … + … + … + …
• 23 = … + … + … + … + … + … + … + … + … + … + …

Если ученик каждую строчку воспринимает как отдельную задачу, в каждой строке ищет новый способ решения, не выделяя общего принципа построения всего задания, т. е. каждый раз отдельно ведет подсчеты, добиваясь нужного результата, это свидетельствует о том, что он владеет павы;

ками счета, но у него не развито математическое мышление. Если ученик при решении первых задач выделяет общий принцип, а затем безошибочно использует его при решении всех других задач — это значит, что он осуществил содержательный анализ первых задач, смог заглянуть вглубь математического предмета, увидел нечто, лежащее не на поверхности. У него развито математическое мышление. Способы решения данного задания могут различаться, важно посмотреть, использует ли школьник в каждой следующей задаче результат, полученный ранее. Приведем один из способов решения.

• 5=1+4 7=1+1+5 9=1+1+1+6 11 = 1 + 1 + 1 + 1 +7 13 =1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 8 15 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 9
• 17 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +10
• 19 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +11
• 21 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +12
• 23 =1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+1 + 1 + 1 + 1 +13

Математическое мышление определяют с помощью различных характеристик: гибкость, оригинальность, присутствие творческого воображения, лаконизм, точность символики, умение проводить логические рассуждения и др. Мы будем придерживаться определений математического мышления, которые были даны в русле концепции В. В. Давыдова, касающейся двух типов мышления: эмпирического и теоретического.

В. В. Давыдов показал, что посредством учебной деятельности происходит овладение теоретическими знаниями и развиваются основы теоретического мышления, а также творчески-личностный уровень осуществления практических видов деятельности. «При этом складывается теоретическое отношение к действительности, позволяющее выйти за пределы повседневного быта и занять место в широком круге событий, происходящих в большом мире»^[1].

Теоретическому мышлению присущ ряд характерных черт. Анализ как способ выявления генетически исходной основы некоторого целого. Рефлексия, благодаря которой человек постоянно рассматривает основания своих собственных мыслительных действий, опосредствуя одно из них другим, раскрывая при этом их внутренние взаимоотношения. Планирование, заключающееся в том, что теоретическое мышление осуществляется в основном в плане мысленного эксперимента^[2].

Теоретическое мышление обеспечивает младшим школьникам в последующем эффективное усвоение сложного учебного материала в старших классах. В старшем школьном возрасте теоретическое мышление становится основой для осознания своего места в будущем, жизненной перспективы, профессионального самоопределения.

Математическое мышление можно рассматривать как один из видов теоретического мышления, проявляющегося на математическом содержании.

Покажем далее взаимную связь понимаемого таким образом математического мышления с универсальными учебными действиями.

Метапредметные (надпредметные) универсальные учебные действия включают в себя познавательные, регулятивные, коммуникативные действия.

Анализ. Примером познавательного действия является анализ. Анализ рассматривается, с одной стороны, как логическое действие, позволяющее выделить отдельные элементы из целого, как действие противоположное синтезу — объединению частей в целое. С другой стороны, В. В. Давыдов говорит о содержательном анализе, позволяющем обнаружить существенные признаки в постигаемом объекте. Примером проявления содержательного анализа может быть задание, где требуется обнаружить внутреннюю связь между отдельными его элементами. Попробуйте расшифровать следующие анаграммы. В каждой строчке переставьте буквы так, чтобы из них получилось слово.

О В АД ОМЕР ОВДЗХУ ЕДЕРОВ ИВОНРГДА АММРЛЕДА ИЛЕТАРУТАР ОПЛДЖЕЩАЕЕ Особенностью этого задания является возможность двух различных способов его решения. Можно каждую анаграмму решать как отдельную, вне ее связи с другими. Такой путь возможен, но затруднит чтение более длинных слов. Проявлением же содержательного анализа здесь будет другой способ, заключающийся в обнаружении после решения нескольких первых анаграмм общего правила расшифровки всех слов. В самом деле, все слова можно прочитать, разбив буквы на пары, и двигаясь слева направо, каждую пару букв читать справа налево. В традиционном обучении формирование действия анализа у школьников, как правило, происходит спонтанно. Целенаправленное развитие анализа возможно при систематическом решении учебных задач.

Вместе с этим могут быть предложены задания, не выходящие за рамки учебного материала, но требующие проявления содержательного анализа, как в приведенном в начале главы примере.

• [1] Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. С. 149.
• [2] Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. С. 69.