Связи между топологическими матрицами

Из выражений (4.6.1), (4.6.2) следует, что между подматрицами главных сечений Пх и главных контуров Гр существует следующая связь:

Используя (4.6.3), можно установить связи между Г и П:

Связи (4.6.3)—(4.6.5) являются следствием того, что выбранное дерево однозначно определяет как главные контуры, так и главные сечения.

Для получения любой топологической матрицы достаточно знать матрицу соединений, А и ее части А_р и А_х, относящиеся к ребрам и хордам (см. табл. 4.6.1), так как в пей содержится полная информация о графе. Различные связи между топологическими матрицами приведены в работе [26].

Рассмотрим вопросы формирования уравнений цепи.

Уравнения узловых напряжений.

Составим уравнения для узловых напряжений, полагая, что все источники ЭДС в цепи преобразованы в эквивалентные источники тока, и используя:

• компонентные уравнения (Y_BU_B = /_в) для пассивных ветвей.

• уравнения Кирхгофа для токов ветвей цени.

уравнения для напряжений на всех ветвях цепи.

где I_B, U_B — векторы токов и напряжений пассивных ветвей (компонентов); Y" — диагональная матрица проводимостей; А — матрица инциденций, в которой выделены подматрица (блок) А_в пассивных ветвей и подматрица Aj источников тока; J_u — вектор известных источников тока; U — вектор напряжений на всех ветвях цепи; U_w — вектор узловых напряжений; Jj — вектор напряжений на источниках тока; т — знак транспонирования; п — номера узлов.

Вывод. Подставим 1_В (4.6.6) в (4.6.7):

Из (4.6.7) получаем

Подставив U_B (4.6.10) в (4.6.9), получим окончательную форму уравнений узловых напряжений цепи.

где Y — матрица узловых проводимостей; J_/? — вектор эквивалентных узловых источников тока:

Напряжения U/ (4.6.11) на источниках тока определяются после того, как будут найдены узловые напряжения U".

Пример. Для цени, схема и граф которой представлены на рис. 4.6.7, определим с помощью (4.6.13) входящие в уравнения (4.6.12) матрицу Y проводимостей и вектор J_w узловых источников тока.

Используя граф на рис. 4.6.7, б, по изложенной выше методике составим матрицу инциденций (табл. 4.6.4).

Таблица 4.6.4

Вычисляем проводимость Y = A_HY_BA_B (4.6.13) как произведение трех матриц. Такая операция может выполняться в любой последовательности, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа.

Определяем вектор узловых источников тока (4.6.12):

Уравнения контурных токов. Составим уравнения для контурных токов, полагая, что все источники тока в цени преобразованы в эквивалентные источники ЭДС, и используя:

• компонентные уравнения (Z_B/_B = f/_B) для пассивных ветвей.

уравнения закона Кирхгофа для напряжений.

• уравнения для токов ветвей цени.

где I_B, U" — векторы токов и напряжений пассивных ветвей (компонентов); Z_B — диагональная матрица сопротивлений; Г — матрица главных контуров, дополненная источниками ЭДС. В ней выделены подматрица (блок) Г_в пассивных ветвей и подматрица источников ЭДС; Е_в — вектор известных источников ЭДС; I — вектор токов ветвей (для всех ветвей цепи); 1_х — вектор токов хорд; _Е — вектор токов, протекающих через источники ЭДС; т — знак транспонирования:

Вывод. Подставим U_!} (4.6.14) в (4.6.15):

Из (4.6.15) получаем.

Подставив 1_В (4.6.5) в (4.6.4), получаем уравнения контурных токов цепи.

где Z — матрица сопротивлений; Е_к — вектор эквивалентных источников ЭДС контуров:

Токи I_? (4.6.19), протекающие через источники ЭДС, определяются после того, как найдены токи хорд 1_х.

Пример. Для цепи, схема и граф которой представлены на рис. 4.6.8, определим с помощью (4.6.21) входящие в уравнения (4.6.20) матрицу Z сопротивлений и вектор Е_к эквивалентных источников ЭДС контуров.

Используя граф на рис. 4.6.8, 6, по изложенной выше методике составим матрицу главных контуров (табл. 4.6.5).

Рис. 4.6.8. Схема (а) и граф (б), используемые для иллюстрации составления уравнений контурных токов.

Таблица 4.65

Вычисляем сопротивление Z = rZpB (4.6.21):

Определяем вектор контурных ЭДС (4.6.20):