Операторный метод анализа

Сущность операторных методов. Анализ линейной электрической цепи сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для этих целей можно использовать операторные методы, которые состоят:

• • в переходе от дифференциальных уравнений к вспомогательным алгебраическим уравнениям с помощью некоторого (прямого) преобразования;
• • в поиеке решений вспомогательных алгебраических уравнений;
• • в переходе от найденных решений вспомогательных алгебраических уравнений к искомым решениям исходных дифференциальных уравнений с помощью некоторого (обратного) преобразования.

Основными понятиями операторных методов являются:

• • оригиналы, представляющие собой функции времени исходных дифференциальных уравнений и их решений (воздействия и искомые отклики);
• • изображения, получаемые путем (прямого) преобразования оригиналов при составлении вспомогательных алгебраических уравнений по определенным правилам.

Следует указать на два операторных метода анализа линейных цепей:

• • метод Лапласа, в котором переход от оригинала x (t) воздействия к его изображению Х (х) и обратный переход от найденного изображения решения У (х) к оригиналу y (t) осуществляется с помощью интегральных преобразований;
• • метод ДТ-преобразований, предложенный Г. Е. Пуховым, в котором оригинал x{t) и его изображение Х (1г) связаны операцией дифференцирования, а обратный переход от изображения Y (k) к оригиналу y (t) производится на основе ряда Тейлора.

Рассмотрим широко распространенный метод, основанный на преобразовании Лапласа.

Преобразование Лапласа. Формально прямое преобразование Лапласа может быть получено путем замены усо в преобразовании Фурье (4.1.9) на s = а +усо и ограничением пределов интегрирования временной областью O…+оо:

где, а > 0, поэтому для сходимости интеграла должно быть t > 0, в связи с чем соотношение называют односторонним преобразованием Лапласа.

Поскольку исходное колебание x (t) деформируется затухающим множителем схр (-а?), условие (4.1.16) интегрируемости для преобразования Лапласа принимает вид.

г. е. колебание должно иметь не более чем экспоненциальную степень роста при t > 0.

Обратное преобразование Лапласа имеет вид.

Колебание x (t) называется оригиналом, функция X (s) — изображением.

Для вычисления интегралов вида (4.3.3) используют теорию вычетов. На практике широкое применение находят таблицы (табл. 4.3.1), в которых приведены изображения для наиболее распространенных форм колебаний.

Преобразование Лапласа обладает всеми приведенными в и. 4.1 свойствами преобразования Фурье.

Операторный метод Лапласа. Проиллюстрируем особенности операторного метода на примере цепи, описываемой дифференциальным уравнением.

при нулевых начальных условиях, где а_т, b_n, x (t) — известные величины.

Используя (4.3.1), вычислим преобразование Лапласа для обеих частей уравнения (4.3.4). С учетом того, что /г-кратное дифференцирование оригинала равносильно умножению на sⁿ изображения, получим.

Важнейшей характеристикой, на которой основан операторный метод, является отношение изображений отклика цепи к воздействию K (s) = Y (s)/X (s), называемое передаточной функцией цепи, или операторным коэффициентом передачи. Из (4.3.5) находим.

где K₀ = const; s_H tJJ s_{n m} — нули и полюсы передаточной функции K (s), которые являются соответственно корнями уравнений.

Ввиду вещественности коэффициентов дифференциального уравнения (4.3.4) все корни либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Если передаточная функция K (s) известна, то поиск отклика y (t) на заданное входное воздействие x (t) разбивается на три этапа:

• • переход от оригинала к изображению: x (t) —> X (s), который осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа (4.3.1);
• • определение изображения отклика цепи: F (s) = = K (s)X (s);
• • переход от найденного изображения отклика к оригиналу: Y (s) —> y (t)> который осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа (4.3.3) и в общем случае требует вычисления контурного интеграла с применением теоремы о вычетах Коши.

Как следует из (4.3.4), (4.3.5), операторный метод основан на символической замене оператора дифференцирования dⁿ/dtⁿ комплексным числом sⁿ. Его практическая ценность состоит в переходе от дифференциальных уравнений к алгебраической форме описания электрических цепей. Передаточную функция K (s) можно рассматривать как аналитическое продолжение частотного коэффициента передачи /С (/со) с мнимой осиусо на всю плоскость комплексных частот s = a+/oj. Свойства цепи полностью определяются нулями и полюсами передаточной функции K (s).

Определение оригиналов. Переход от найденного изображения отклика Y (s) к оригиналу y (t) требует вычисления контурного интеграла (4.3.3) с применением теоремы о вычетах Коши, что в общем случае является достаточно трудоемкой задачей. Поэтому для многих сигналов, встречающихся в инженерной практике, изображения рассчитаны и приводятся в справочной литературе. Для некоторых из них изображения приведены в табл. 4.3.1, при этом y (t) = 0 при I < 0.

Таблица 4.3.1

Для перехода от изображения Y (s) к оригиналу y (t) можно использовать формулы обращения (называемые теоремой разложения).

Если в выражении изображения отклика, представленного как (4.3.6) в виде отношения двух степенных полиномов Y (s) = M (s)/N (s), степень числителя не превосходит степени знаменателя, т. е. М < N и при этом корни знаменателя 5_{П п} (полюса) являются простыми, то дробно-рациональное изображение можно разложить на простые дроби.

где С_п — вычеты в полюсах s_{n n}. Значение C_k (k е п) можно найти, если обе части (4.3.7) умножить на s — s_n ^ и принять s = s_{n k}. Тогда в правой части все слагаемые обратятся в нуль за исключением коэффициента Q. Так как Y (s_{ll f{})=0_} необходимо по правилу Лоииталя раскрыть неопределенность 0/0. В результате получим.

После изменения индекса 4напи подстановки С_п (4.3.8) в (4.3.7) выражение операторной функции принимает вид.

Учитывая, что изображению 1 /(s — s_k) соответствует оригинал e^skt, получаем для изображения (4.3.9) следующую формулу обращения:

В работе [32] приведены формулы обращения, когда корень s_{n n} уравнения N (s) = 0 имеет кратность г, знаменатель изображения N (s) имеет два комплексно сопряженных корня и других случаев.