Зависимость и коррелигованность случайных величин

Если анализируется несколько СВ, то необходимо обратить внимание на степень и характер их зависимости. В теории систем, так же, как и в теории вероятностей, понятие «зависимости» отличается от обычного, используемого в классической математике. Здесь имеется в виду вероятностная (стохастическая) зависимость, когда, зная значение X, нельзя точно указать величину Y. Вероятностная зависимость определяется теснотой связи анализируемых СВ и по мере ее увеличения она все более приближается к своему предельному случаю — функциональной связи.

Второе предельное состояние — полная независимость СВ. Между этими крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости. Характерными примерами вероятностной зависимости СВ являются: зависимость случайного числа отказов ВЛ (У) от интенсивности грозовой деятельности (Х) зависимость качества и длительности ремонта электроэнергетического объекта (У) от квалификации и численности ремонтного персонала.

Случайная величина Y называется независимой от СВ X, если закон распределения СВ У не зависит от того, какие значения приняла СВ I В противном случае, эти величины называются зависимыми.

Если СВ Y связана с величиной X вероятностной зависимостью, то зная значение X нельзя точно указать значение Y. Можно указать только закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла СВ X. Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты она приближается к функциональной зависимости.

Другой крайний случай — полная независимость случайных величин X и Y. Степень тесноты и характера вероятностной связи иллюстрируется диаграммами рассеяния, показанными на рис. 7.18, где координатами точек являются наблюденные значения случайных величин X и Y

Рис. 7.18. Диаграммы рассеивания наблюдений при рагзичной тесноте вероятностной связи между СВ X и Y: а — тесная положительная связь, б — слабая отрицательная связь, в — отсутствие связи.

Характеристикой связи между СВ X и Y служит корреляционный момент Куу, или ковариация Cov (Af, У].

Корреляционным моментом Кху случайных величин Хи У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Для дискретных СВ используют формулу а для непрерывных.

Корреляционный момент двух независимых СВ равен нулю (АГ^ = 0), а для зависимых — = 1. Корреляционный момент имеет размерность произведения размерностей СВ. В практических расчетах его использование вызывает затруднения. Поэтому вводится безразмерная характеристика вероятностной связи — коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Абсолютная величина r_v не превышает единицы. Если r_xy = I или r_v = -1, связь между случайными величинами X и У

функциональная (положительная или отрицательная). Если г_хг= 0, то X и Y независимы. Чем теснее связь, тем коэффициент корреляции ближе к единице (по модулю).

В практических задачах требуется использование схемы суммирования случайных величин. Наглядным примером здесь может служить суммарное потребление электроэнергии многочисленными и часто зависящими друг от друга потребителями.

Числовые характеристики системы двух случайных величин определяются следующими выражениями.

Математическое ожидание суммы двух СВ равно сумме их математических ожиданий Дисперсия суммы и разность двух СВ с учетом их вероятностной связи определяется по формуле.

Пример. В течение ряда лет максимум нагрузки одной из энергосистем ДМВт) и годовая выработка электроэнергии W (млрд кВт ч) имели следующие значения:

Требуется определить величину коэффициента корреляции между Ри W. Решение. Оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратических отклонений вычислим по формулам:

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о достаточно тесной (близкой к функциональной) зависимости максимума мощности и выработки электроэнергии. Величина п — 1 в знаменателе выражений для вычисления дисперсии и корреляционного момента устраняет смещенность их оценок при малом числе наблюдений (см. главу 8).