Критерии устойчивости. 
Автоматизация управления технологическими процессами бурения нефтегазовых скважин

Математическая формулировка условий, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения, чтобы корни этого уравнения были левыми, называется критерием устойчивости.

В теории автоматического регулирования известен ряд критериев устойчивости, которые разбиваются на алгебраические и частотные. К алгебраическим критериям относятся: критерии Рауса и Гурвица, к частотным — критерий Найквиста и Михайлова. Алгебраические критерии устойчивости предпочтительнее применять при исследованиях систем до пятого порядка, а выше пятого порядка удобнее применять частотные критерии.

Для примера рассмотрим алгебраический критерий Гурвица и частотный — Михайлова.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица Критерий устойчивости Гурвица аналогичен критерию Рауса, но более прост и поэтому широко применяется. Критерий основан на построении специальных определителей из коэффициентов характеристического уравнения. Эти определители называются определителями Гурвица.

Характеристическое уравнение в общем виде запишется:

Правило построения (составления) главного определителя Гурвица Д" (п — порядок системы):

• 1) по главной диагонали определителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная от а до я," в порядке возрастания индексов;
• 2) вес столбцы определителя дополняются вверх от главной диагонали коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз — с убывающими;
• 3) порядок определителя Гурвица равен степени характеристического уравнения;

4) главный определитель Гурвица Ап равен: где Д"_1 — предпоследний определитель;

5) коэффициенты с индексами больше п и меньше 0 берутся равными нулю.

Из главного определителя Гурвица Д" могут быть получены вспомогательные определители Гурвица Д*, где к — 1, 2, 3,1):

ит. д. до (п- 1).

Формулировка критерия Гурвица: для того чтобы замкнутая система регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица Д* были одного знака с коэффициентом характеристического уравнения я₀.

Однако обычно характеристическое уравнение записывается так, чтобы коэффициент а₀ был положительным. Тогда критерий Гурвица формулируется таким образом: чтобы замкнутая САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительными.

Рассмотрим два конкретных примера систем первого и второго порядка.

Для системы первого порядка характеристическое уравнение aoS + ai = 0. Уравнение можем записать так, чтобы я₀> 0, А] = а и должен быть больше нуля, тогда формулировка критерия Гурвица относительно системы первого порядка будет следующая: необходимым и достаточным критерием устойчивости системы первого порядка является положительность коэффициентов его характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение системы второго порядка Определить

а₀ > О, Д| = а и должен быть больше нуля, следовательно а₂ > 0, тогда формулировка критерия Гурвица относительно системы второго порядка следующая: необходимым и достаточным условием устойчивости системы второго порядка является положительность коэффициентов ее характеристического уравнения.

В табл. 1.1 приводятся условия устойчивости САР по Гурвицу.

Таблица 1.1.

Пример 1. Характеристическое уравнение автоматической системы:

При коэффициентах уравнения а₀ = 2 • КГ⁶, а = 2 • КГ², а₂ = 3, яз= 130, а4= 10⁵ определить, устойчива ли система.

Матрица Гурвица:

Не вычисляя Д₄, можно сказать, что данная система неустойчива.

Пример 2. Характеристическое уравнение автоматической системы:

Все коэффициенты уравнения положительны — первое условие устойчивости системы выполняется. Д₄ = Д₃а₄. Если Д₃ > 0, то система устойчива.

т. с. система устойчива.

Частотный критерий устойчивости Михайлова Для использования критерия Михайлова берется характеристическое уравнение замкнутой системы вида.

Если в полиноме D (s) вместо s подставить jeo, то получим так называемую характеристическую функцию Михайлова:

Как всякая комплексная функция, (/со) может быть представлена:

где <�р (а)) = а_п— а_{п 2}cq^l + а_{п 4}су⁴ + … — вещественная функция Михайлова,.

Wioi) = со (а"__х — а"__го/ + а"__ьа>⁴ +…) — мнимая функция Михайлова.

Для каждого значения со функция Михайлова будет представлять собой вектор в комплексной плоскости. Если в функции Михайлова величине со придавать последовательно значения от 0 до со, то получим семейство векторов.

Кривая, являющаяся геометрическим местом точек концов векторов при изменении в функции Михайлова значений со от 0 до оо, называется годографом кривой Михайлова.

По расположению годографа на комплексной плоскости можно определить, устойчива система или нет.

Для того чтобы замкнутая САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D (jco) при изменении со от 0 до со, начав свое движение на вещественной положительной полуоси и вращаясь только против часовой стрелки, последовательно прошел п квадрантов комплексной плоскости, где п — порядок системы.

Рис. 1.45. Примеры кривых Михайлова для устойчивых систем (п — порядок системы).

Рис. 1.46. Виды кривых Михайлова для неустойчивых систем.

Признаки неустойчивых САР по виду кривых Михайлова (рис. 1.46):

• 1 — число пройденных квадрантов не равно п
• 2 - кривая Михайлова при со = 0 началась не на вещественной полуоси;
• 3 — нарушилась последовательность прохождения квадрантов;
• 4 — кривая Михайлова прошла через начато координат (это либо неустойчивая САР, либо на границе устойчивости);
• 5 — кривая Михайлова начала свое движение из начала координат;
• 6 — кривая Михайлова в некоторой области изменения частоты двигалась по часовой стрелке.

При необходимости системы исследуются на устойчивость в области одного-двух параметров. И при необходимости в схему вводятся корректирующие цепи (звенья), приводящие к устойчивой работе системы.

Пример 3. Систему примера 2 проверим на устойчивость с помощью критерия Михайлова (рис. 1.47):

или

Puc. 1.47. Годограф Михайлова для устойчивой системы четвертого порядка

Построенная кривая отвечает всем условиям критерия Михайлова к устойчивым системам.