Основные понятия. 
Теория систем и системный анализ для электроэнергетиков

Поскольку в реальных условиях задачи, не содержащие неопределённостей, являются больше исключением, чем правилом, принято различать следующие виды неопределённостей.

• Неопределенность цели, что связано либо с её нечёткой формулировкой, либо отсутствием, либо её многоцелевым характером.

Например, для ЭЭС цель — «обеспечение надёжности электроснабжения» — является нечёткой, так как необходимо дополнительно задать уровень надёжности, который для разных потребителей в разных условиях работы различен. Кроме надёжности для ЭЭС задаются и другие цели: «экономичность электроснабжения», «качество электроэнергии», «недопустимость опасных воздействий на окружающую среду», «удобство эксплуатации» и др., что определяет многоцелевой характер принятия решений.

• Неопределенность параметров и структуры систем и неопределенность внешней среды, которые отражают степень нашего незнания изучаемого объекта и его окружения.

Например, невозможно точно предсказать значение нагрузки в каком-либо узле ЭЭС в определённый момент времени, гак как оно определяется наличием множества разнородных потребителей и погодными условиями.

• Неопределенность действий партнёра (игрока на рынке, противника), что вносит специфику в возможности прогнозирования его поведения.

Например, для ЭЭС это наличие многих субъектов рынка электроэнергии и мощности, владеющих собственностью и (или) управляющих ею.

Наиболее важные для задач принятия решений виды неопределённости описания можно представить с помощью дерева (рис. 6.2).

Первый уровень этого дерева образован терминами, качественно характеризующими количество отсутствующей информации об элементах задачи принятия решений. В начальной стадии изучения задачи информация о ней практически отсутствует. На определённом этапе сё сбора может оказаться, что:

• — собрана ещё не вся возможная (неполнота) или не вся необходимая (недостаточность) информация;
• — для некоторых элементов определены не точные их описания, а лишь множества, которым эти описания принадлежат (неопределённость);
• — РЯД элементов описан по аналогии с уже решавшимися задачами, имеется лишь «замещающее» описание (неадекватность).

Наличие данных видов неопределённости (недостоверности) связано либо с тем, что процесс сбора информации либо временно приостановлен, либо в связи с нехваткой ресурсов, выделенных для её сбора. Дальнейшее изучение процесса может привести либо к ситуации определённости, когда все элементы описаны однозначно, либо к ситуации неоднозначности. Для этой ситуации предполагается, что вся информация собрана, но полностью определённое описание не получено.

Рис. 6.2. Неопределенности описания задан принятия решений.

Второй уровень дерева (см. рис. 6.2) описывает источники (причины) возможной неоднозначности описания, которыми являются внешняя среда (физическая неопределёшюсть) и используемый ЛПР профессиональный язык (лингвистическая неопределённость).

Физическая неопределённость связана с наличием во внешней среде нескольких возможностей, каждая из которых случайным образом становится действительностью (случайность), и с неточностью измерений, выполняемых приборами (неточность). Отнесение случайности и неточности к неоднозначности предполагает знание законов распределения вероятностей.

Лингвистическая неопределённость задачи принятия решений связана с использованием естественного языка для описания элементов и возможных ситуаций. Она обусловливается необходимостью оперировать конечным числом слов и ограниченным числом структур фраз для описания за конечное время бесконечного множества разнообразных ситуаций, возникающих при принятии решений. Лингвистическая неопределённость порождается множественностью значений слов (понятий и отношений) языка и неоднозначностью смысла фраз.

Следует отметить, что учёт физической неопределённости может усложниться появлением лингвистической неопределённости в описании вероятностного распределения, т. е. эти виды неопределённости могут накладываться.

Точные значения переменных преобразуются в значения лингвистических переменных посредством применения некоторых положений теории нечетких множеств, а именно — при помощи функций принадлежности.

Введем понятия лингвистической переменной и функции принадлежности. В нечеткой логике значения любой величины представляются, как правило, не числами, а словами естественного языка и называются термами, или гранулами. Так, значением лингвистической переменной «нагрузка ухта электрический сети» являются термы «большая», «малая» и т. д. Для реализации лингвистической переменной необходимо определить точные физические значения се термов.

Например, если напряжение интерпретируется как лингвистическая переменная, то её терм-множество Т_и может быть:

Т_ы = {очень низкое, низкое, среднее, высокое, очень высокое},.

где каждый терм в Т_и характеризуется нечётким множеством в универсальном множестве Х= (80, 130] кВ. Здесь можно интерпретировать «низкое напряжение» как «напряжение ниже 100 кВ», «среднее» — как «напряжение, близкое к 110 кВ», «высокое» — как «напряжение выше 120 кВ» и т. п.

Лругой пример - переменный параметр «нагрузка» может принимать любое значение из диапазона от 0 до 60 МВт. Согласно положениям теории нечетких множеств, каждому значению нагрузки из диапазона в 60 МВт может быть поставлено в соответствие некоторое число, от нуля до единицы, определяющее степень принадлежности данного физического значения нагрузки (допустим, 10 МВт) к тому или иному терму лингвистической переменной «нагрузка». В нашем случае нагрузке в 50 МВт можно задать степень принадлежности к терму «большая», равную 0,85, а к терму «малая* — 0,15. В настоящее время сложилось мнение, что для большинства приложений достаточно 3−7 термов на каждую переменную. Минимальное значение числа термов содержит два экстремальных значения (минимальное и максимальное) и среднее. Для большинства применений этого вполне достаточно. Что касается их максимального количества, то теоретически оно не ограничено и зависит от приложения и требуемой точности описания системы (см. раздел 3).

Как уже говорилось, принадлежность каждого точного значения к одному из термов лингвистической переменной определяется посредством функции принадлежности. Ее вид может быть абсолютно произвольным. Сейчас сформировалось понятие о так называемых стандартизированных функциях принадлежности (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Стандартизированные функции принадлежности: а — Z-функция; б — II-функция; в — Л-функция; г — S-функция.

Стандартизированные функции принадлежности применимы к решению большинства задач, однако можно выбрать и более подходящую форму функции принадлежности и при этом добиться лучших результатов работы системы, чем при использовании функций стандартного вида.

Некое подобие алгоритма по формализации задачи в терминах нечеткой логики заключается в следующем.

Шаг 1. Для каждого терма лингвистической переменной находится числовое значение (диапазон значений), характеризующее данный терм.

Шаг 2. После определения значений с единичной принадлежностью определяется значение параметра с принадлежностью «0» к данному терму. Это значение может быть выбрано как значение с принадлежностью «1» к другому терму из числа определенных ранее.

Шаг 3. После определения экстремальных значений определяются промежуточные значения. Для них выбираются Пили Л-функции из числа стандартных функций принадлежности.

Шаг 4. Для значений, соответствующих экстремальным значениям параметра, выбираются S— или Z-функции принадлежности.

Как было показано выше, принадлежность элемента х множеству А обозначается как х € А. Для выражения этой принадлежности используется понятие характеристической функции х_л (х), значения которой указывают, является ли х элементом множества А (рис. 6.4, а):

В случае функционального представления функции принадлежности прямоугольный график (рис. 6.4, а) может быть представлен как колоколообразный (рис. 6.4, 6) или концентрическими окружностями (рис. 6.4, в).

Рис. 6.4. Графическое представление нечёткого множества: а — характеристической функцией; б — колоколообразной функцией принадлежности; в — концентрическими линиями.

Чаще всего определение нечёткого множества интерпретируют следующим образом: величина i_A(x) обозначает субъективную оценку степени принадлежности х к множеству А (рис. 6.4, в). Поскольку значение функции принадлежности представляет собой субъективную оценку ЛПР, должны существовать «моя функция принадлежности», «твоя функция принадлежности», «функция принадлежности специалиста (эксперта)* и т. п.

Пример. Даны множества А = {xj, *2, *з, х+, Х5} и В — fa, *3, *5}. Выпишем для каждого элемента из А его степень принадлежности множеству &.

Представим, что характеристическая функция может принимать любое значение в интервале [0, 1]. В соответствии с этим элемент jc/ множества В может не принадлежать В (рд = 0), быть элементом В в небольшой степени (рд близко к 0), может более или менее принадлежать В (р^ ни слишком близко к 0, ни слишком близко к 1), может в значительной степени быть элементом В (рд близко к 1) или, наконец, быть элементом В (рв ⁼ ОВ рассматриваемом примере положим

Математический объект, определяемый выражением.

называется нечетким подмножеством множества А (х/ ~ элемент универсального множества А, который дает значение характеристической функции на этом элементе). Итак: нечеткое множество В на множестве А — множество упорядоченных пар В = {х, р_в (х)}, составленных из элементов х универсального множества.

А, и соответствующих функций принадлежности рд (х).

Переменная х называется базовой. Значение рд (х) для элемента х е В называется степенью принадлежности, которая при обработке нечетких множеств всегда предполагается известной. Интерпретацией степени принадлежности является субъективная мера того, насколько элемент хе5 соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством В. вероятность, возможность, полезность, истинность, правдоподобие.

Это позволяет представить множество В через все элементы множества А, сопроводив каждый из них значением его функции принадлежности:

Ядро нечеткого множества С представляет собой подмножество области определения Х_у содержащее все элементы, принадлежащие множеству В со степенью, равной 1:

Пример. При перспективном планировании роста потребляемой мощности Р (МВт) в узле нагрузки энергосистемы установлено, что множество возможных значений ее роста лежит в пределах 0 < Р < 90 МВт. Функции принадлежности нечетких множеств, означающих варианты прогнозируемого изменения нагрузки — «минимальный уровень роста», «средний», «максимальный» — определены экспертно и заданы графически с дискретизацией 10 МВт (рис. 6.5).

В результате получены следующие функции принадлежности:

• для пессимистического варианта, соответствующего минимальному росту нагрузки рассматриваемого узла:

• для базового варианта, соответствующего среднему уровню роста нагрузок:

• оптимистического варианта максимального роста нагрузок:

Рис. 6.5. Пример графического задания нечеткого множества

Очевидно, что нечеткое множество несет в себе нс только количественную, но и качественную нагрузку, отражающую неоднозначное восприятие ситуации конкретным субъектом. Эта неоднозначность формально выражается функцией принадлежности. С помощью нечетко заданных функций, отражающих качественные характеристики исследуемого объекта, системы или процесса («низкий» — менее 40 условных единиц, «средний* - от 20 до 60, «высокий» — более 60), можно определить, является ли некоторое точное значение этого параметра действительно минимальным, средним или максимальным. Такие оценки рассматриваются как термы, или информационные гранулы (рис. 6.6, а). Точность оценки можно повысить, введя 5 гранул: «очень низкий (минимальный)», «низкий», «средний», «очень высокий (максимальный)» (рис. 6.6, б).

Рис. 6.6. Представление качественных характеристик тремя (а) и пятью (б) гранулами

Минимальная точность получается при использовании только двух гранул: «низкий» и «высокий». Степень гранулированности информации зависит от типа решаемой задачи, ее постановки на временном и иерархическом уровне, первичного информационного обеспечения, потребностей и интеллектуальных способностей использующего ее человека (ЛПР). Точность информации оценивается шириной гранулы (рис. 6.7).

а б в.

Рис. 6.7. Зависимость точности информации от ширины гранулы

Так, гранула «средний» может иметь различную ширину и в пределе дает точку (гранулу бесконечно малой ширины), которая соответствует точно заданной информации — той, с которой оперируют традиционные математические методы.

Пример. Первичной информацией модели функционирования исследуемого объекта являются координаты предельных состояний а (5,7) и Ь (1,3), а нелинейная взаимосвязь между входными и выходными параметрами неизвестна. Предположим, что она соответствует рис. 6.8, а.

Использование информации, представляемой двумя гранулами («малый (М)», «большой (Б)») даст линейную модель исследуемого объекта (рис. 6.8, б). Если точность линейной модели недостаточна, ее можно повысить за счет увеличения числа информационных гранул до трех («малый (М)», «средний» ©, «большой (Б)») (рис. 6.8, в).

Результаты моделирования, показанные на рис. 6.8, в свидетельствуют о том, что кусочно-линейная модель, основанная на трех информационных гранулах, более полно отражает функционирование реального объекта и точность се существенно выше.

Часто в процессе исследования может появиться дополнительная информация о реальных координатах промежуточного состояния анализируемого объекта (точка с на рис. 6.9). В этом случае моделирование при помощи трех информационных гранул дает другую по сравнению с рис. 6.8 кусочно-линейную модель, точность которой существенно выше.

Увеличивая число гранул (уменьшая гранулированность информации) точность модели может быть еще более увеличена. Вместе с тем следует учитывать, что возможности человека ограничены и так же, как (см. раздел 3) для описания любого параметра системы или процесса должно использоваться не более 5— 7 информационных гранул.

И хотя компьютерные технологии обеспечивают возможность использования информации любой степени гранулированности, практически всегда есть некоторый порог точности, превышение которого не приводит к увеличению эффективности работы исследуемого объекта или системы.

Рис. 6.8. Моделирование объекты гранулами: а — зависимость выхода от входа; б — модель, основанная на двух информационных гранулах; в — модель, основанная на трех информационных гранулах

ЕСЛИ значение х мало, ТО значение у мало ЕСЛИ значение х большое, ТО значение у большое ЕСЛИ значение х мало, ТО значение у мало ЕСЛИ значение х среднее, ТО значение у среднее ЕСЛИ значение х большое, ТО значение у большое.

Рис. 6.9. Моделирование объекта тремя информационными гранулами при нсиичии дополнительной информации