Векторный момент пары

Определение 3. Векторный момент пары сил {Р, Р'} — это вектор m (P, Р'), модуль которого равен произведению модуля силы пары на её плечо |т (Р.Р')| = />•*, а направление перпендикулярно плоскости П пары Ш (РР') А. П и соответствует правилу буравчика (рис. 3.5).

Векторный момент пары также можно представить в виде векторного произведения.

где А — точка приложения силы Р пары, т. е. любая точка на линии действия силы Р (рис. 3.6).

Рис. 3.6.

В самом деле, направления векторов Ш (Р, Р) И Ш.|(Р), соответствуют правилу буравчика, а их модули равны:

Теорема 1. Векторный момент пары равен сумме векторных моментов сил этой пары, относительно одной и той же произвольной точки О.

Доказательство благодаря равенствам (3.1) и (3.2) сводится к цепочке формальных преобразований:

Теорема 2. При переносе пары (Р. Р') в параллельную плоскость Я, (рис. 3.7) получаем пару (F, F'), эквивалентную исходной.

Доказательство. Добавим к исходной паре (Р, Р') уравновешенную систему 4-х сил (F, S', F', S), равных по модулю силам пары и расположенных в плоскости Я| 11 Я так, как показано на рис. 3.7. Равные парал;

Рис. 3.7 Рис. 3.8 Рис. 3.9.

лельные силы (Р, S) и (Р'. S') заменяем их равнодействующими R и R', показанными на рис. 3.8. Эти равнодействующие, найденные по правилу сложения параллельных сил (см. унр.2, лекция 1), приложены в одной точке О — середине диагоналей прямоугольника ABCD, противоположно направлены и равны по модулю. Следовательно, система (R, R')

уравновешена и может быть отброшена. Итак, в результате преобразований, не нарушающих эквивалентность, из пары (Р, Р') получена точно такая же пара (F, F'), расположенная в плоскости Я, (рис. 3.9). ?

Все доказанные ранее теоремы об эквивалентности пар можно теперь обобщить в виде одного лаконичного утверждения: две пары сил эквивалентны, если их векторные моменты равны.

Теорему о сложении пар, доказанную в лекции 2 для пар, лежащих в одной плоскости, теперь можно обобщить на случай произвольного расположения пар.

Теорема 3. Две пары сил эквивалентны одной паре, векторный момент которой равен сумме векторных моментов двух исходных пар.

Доказательство. Пусть (F, F') и (Q, Q') — две пары с моментами Ш| и пъ соответственно. Будем считать, что плоскости этих пар Я, и Я2 не параллельны. Используя теоремы 2−4 (лекция 2), приведем обе пары к единому плечу АВ, расположенному на линии пересечения плоскостей пар (рис. 3.10). В результате получим пары (Р, Р') и (S, S'), векторные моменты которых равны моментам исходных пар (F, F') и (Q, Q'):

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 3.10.

Заменив силы Р и S, приложенные в точке В, равнодействующей.

а силы Р' и S', приложенные в точке А, равнодействующей.

получаем в результате одну пару (R. R') (рис. 3.10).

Вычислим момент этой результирующей пары по правилу (3.2):

Нетрудно обобщить эту теорему на случай произвольного числа пар, а также на случай, когда плоскости пар параллельны.