Физико-статистический метод прогноза

В предыдущем методе математические модели изменения атмосферных процессов во времени строились из предположения, что будущее состояние атмосферы однозначно определяется ее предшествующим состоянием и граничными условиями. Такие модели называются детерминированными. Однако многолетний опыт наблюдений за развитием и изменением погодных условий свидетельствует, что можно, не вдаваясь в физический смысл происходящих процессов, предсказать будущее состояние атмосферы или значение отдельного метеорологического элемента, имея ряд наблюдений за изменениями погоды. Иными словами, сущность физико-статистического метода заключается в применении методов математической статистики и теории вероятности к выявлению закономерностей атмосферных процессов и прогностических связей между различными характеристиками погоды.

Итак, вероятностные модели изучаемых метеорологических величин строятся с привлечением результатов статистической обработки материалов метеорологических наблюдений и архивов. Как правило, конкретный прогностический метод обеспечивает получение прогноза какой-нибудь одной или нескольких взаимосвязанных метеорологических величин.

В теории статистических прогнозов характеристики предшествующего состояния атмосферы Х_{, Х_2> Х_п, используемые для составления прогноза, называют предикторами — предсказателями, а прогнозируемые характеристики Y_v Y₂, …, Y_n — предиктантами. Как уже отмечалось, чаще этим методом дается прогноз какой-либо одной характеристики — предиктанта У. Очень важным этапом прогноза является установление перечня предикторов Xj, выбор которых производится на основании предполагаемых закономерностей рассматриваемых атмосферных процессов, поэтому метод и называется физико-статистическим.

Затем устанавливают прогностическую связь между предиктантом Y и вектором-предиктором Х (Х_{, Х_2у Х_п). Таким образом, прогноз величины Y сводится к определению его значения при осуществлении данного сочетания значений предикторов Ху, Х₂, Х_п. При большом объеме используемой исходной информации обычно устанавливается корреляционная связь между математическим ожиданием предиктанта Y и математическими ожиданиями предикторов Ху, Х₂,…, Х_п. Установлено, что если предиктант и предикторы имеют нормальный закон распределения, то, как показано в теории случайных функций, прогностическая связь представляется в виде линейного уравнения множественной регрессии, имеющего вид.

где aj — коэффициенты, определяющие весовой вклад каждого предиктора, причем значения я, могут быть как положительными, так и отрицательными; Х_{, Х₂,…, Х_п — предикторы, значения метеорологических элементов в исходный момент времени. К предикторам может быть отнесена и величина У, т. е. значения Y на последующий период времени определяются в зависимости от его значения в начальный момент времени.

Сложность прогноза метеорологических элементов статистическим методом состоит в том, что точность прогноза зависит не только от средних значений X_h но и от разброса этих величин от средних значений, характеризуемого их среднеквадратичными отклонениями, а или дисперсиями а².

Фактически можно только говорить о вероятности попадания математического ожидания предиктанта У в доверительный интервал, а < У < р, границы которого определяются в зависимости от требуемого уровня надежности.

Если установлено, что связь между предиктантом У и одним или несколькими Xj явно нелинейна, то уравнения регрессии составляются отдельно для нескольких границ изменения величин Xj. Задача прогноза существенно усложняется при увеличении количества предикторов Xj. Так, в простейшей ситуации, когда изучается связь между предиктантом и одним предиктором, ее можно графически изобразить в виде линии в прямоугольной системе координат, где по оси ординат показывают значение предиктанта У, по оси абсцисс — предиктора X. При двух предикторах используется диаграмма, причем значения предикторов Х_{ и Х₂ откладываются на осях абсцисс и ординат, а значения предиктант У — на поле диаграммы, т. е. для каждой пары значений Х₁ и Х₂ находится значение Yj, а затем проводится изолиния одинаковых значений У с заданным шагом ДУ При трех и более предикторах составляется набор диаграмм, последовательно используемых при прогнозе. В этом случае очень важно установить предикторы, существенно влияющие на изменение величины иредиктанта, и незначительно влияющие, которые можно не учитывать при дальнейшем прогнозе. Если на диаграмме линии одинаковых значений предиктанта У параллельны одной из осей координат, то, следовательно, изменение предиктора, значения которого отложены вдоль этой оси, не влияет на изменение значений исходной величины У и этот предиктор можно отбросить, не учитывать при прогнозе величины У.

Обычно, если количество предикторов более двух, с помощью диаграммы устанавливают сначала значение Y' в зависимости от изменения двух важнейших предикторов Х_{ и Х₂. Затем строится вторая диаграмма связи между значением предиктанта в первом приближении У и третьим значением предиктора Х₃ и, таким образом, устанавливается уточненное значение предиктанта У". После этого привлекается новый предиктор Х₄ и строится третья диаграмма и т. д.

Возможен и другой способ определения значения предиктанта. Вначале для различных пар предикторов Х_] и Х₂, Х₃ и Х₄, Х₅ и Х_в, Х₁ и Х₈ строятся диаграммы первой очереди. После проведения изолиний У для всех случаев исходной выборки с диаграмм снимаются приближенные значения предиктантов, являющихся функцией только двух переменных предикторов. В нашем случае это будет четыре значения: У_1? У₂, У₃и У₄. Затем, рассматривая полученные приближенные значения в качестве новых предикторов, из них образуют новые пары, например Y_x и У₂, У₃ и У₄, и строят диаграммы второй очереди, с которых снимают новые значения предиктанта У₅ и У_б. Их используют для построения диаграмм третьей очереди.

Если переменных восемь, значение У, полученное на диаграмме третьей очереди, используется при разработке прогноза. В противном случае процесс составления диаграмм продолжают до тех пор, пока не получат два значения предиктанта, по которым строят последнюю диаграмму.

Недостатком рассмотренного метода является то, что значения У и X (Х_{, Х₂, …, Х_п) определяют, но данным ранее выполненных наблюдений и, строго говоря, характеризуют связи, присущие исходной случайной выборке. Применение их для прогноза целесообразно только в том случае, когда указанные связи сохраняются, и в случаях, нс вошедших в исходную выборку.

Следует иметь в виду, что периодические колебания метеорологических величин, связанные с их суточным или годовым ходом, существенно затрудняют установление статических связей между отдельными величинами. Очевидно, что для прогноза, например, температуры воздуха в 12 ч дня необходимо знать не только дисперсию — разброс значений параметров, ее определяющих на данный срок наблюдений, но и дисперсии этой величины, связанные с суточным и годовым ходом температуры. В силу этого лучшие результаты получают при разработке прогностического метода, если прогностические связи (уравнения) устанавливаются на основе изучения физических закономерностей процессов, происходящих в атмосфере или в приземном слое воздуха, а коэффициенты уравнений связи и точность прогнозов оцениваются с привлечением статического материала наблюдений (архивов и др.).