Этап выбора и синтеза математической структуры для описания временных связей входных и выходных воздействий

Рассмотрим особенности выявления структур физико-математических моделей. Для выявления структуры моделей требуется прежде всего, чтобы исходный набор X, У и U значительно превышал то количество, которое будет использовано в управлении, чтобы можно было осуществить ранжирование и окончательный выбор с помощью экспертных оценок.

Следует особо отметить, что с точки зрения системного принципа физичности структура модели должна обладать следующими фундаментальными характеристиками, которые были уже упомянуты ранее, поскольку они присущи для всех традиционных физико-математических моделей: динамичность — статичность; линейность — нелинейность; стохастичность — детерминированность; стационарность — нестационарное™.

Рассмотрим на примерах, как фундаментальные свойства объектов управления позволяют выбирать физико-математические модели.

1 .Динамичность. Структуру объекта будем считать динамической, если достаточно привлечь модель, в которой есть переменная, отражающая время, и в которой связи между переменными в виде функции, оператора или функционала включают в себя операторы с памятью (дифференциалы, интегралы, запаздывание и др.) (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Структура динамической модели объекта управления.

Пример динамической системы для непрерывных t, когда объект представляется дифференциальным уравнением, где я, bj — параметры модели:

2. Линейность. Под линейным динамическим объектом будем понимать объект, реакция которого на сумму любых двух внешних возмущений, равна сумме реакций на эти возмущения:

В качестве простейшей линейной структуры можно привести пример уравнения линейной зависимости. Здесь переменными выступают входные воздействия X на объект управления, управляющими воздействиями — U, а в качестве зависимой переменной — одно из выходных воздействий У объекта управления (отклик). Замечательной особенностью этой модели является возможность ее распространения на случай случайных входных воздействий в виде уравнений регрессии. Уравнения регрессии служат одним из распространенных видов кибернетических моделей.

Типичным примером нелинейной структуры является регулятор Уатта, закон Вебера — Фехнера, процессы детектирования.

Приведем уравнение модели колебаний, которое иллюстрирует, что нелинейная структура тоже может быть и динамической структурой:

3. Стохастичностъ. Под стохастичностью принято понимать непредсказуемое поведение объекта или окружающей среды, которое может быть количественно описано в рамках теории динамического хаоса, теории вероятности и теории случайных процессов. Стохастические имитационные модели, предлагаемые в теории вероятности и теории случайных процессов, достаточно известны, активно используются в теории управления и подробно описаны в соответствующей литературе. Отметим лишь стохастические имитационные модели управления. Под имитационными моделями будем понимать модели, в которых в фиксированные моменты времени t_v …, t_n фиксируются определенные состояния моделей; Y — это состояние объекта управления, X — состояние среды, 0 — состояние управления.

Фиксация параметров осуществляется во всех необходимых деталях (функциональная модель):

Имитационные стохастические модели обладают возможностью хорошо описывать неконтролируемые факторы поведения объекта, априорную неопределенность в отношении поведения объекта, его стохастичнос гь с помощью теории случайных процессов и теории недетерминированного хаоса.

Иногда стохастической моделью служит процесс, физически интерпретируемый как помеха.

4. Нестационарность. Нестационарность объекта связана с детерминированными или случайными изменениями во времени в операторах модели объекта управления F. Иными словами, нестационарность — это изменение постоянных параметров в статических моделях. В динамических моделях — это изменение параметров, которые оставались постоянными при изменении параметра времени. В моделях, построенных на основе теории вероятностей и теории случайных процессов, нестационарность трактуется как изменение параметров распределений, которые в данных теориях выступали как постоянные константы (здесь говорят о случайных нестационарных процессах). Поскольку нестационарность может для динамических моделей развиваться также во времени, это требует введения специальных обозначений и формализаций.

Характер нестационарности необходимо учесть в модели объекта управления в виде зависимости F (t).

где С — параметр объекта.

Простейший пример нестационарности — старение организмов-эукориотов, старение технических изделий, выраженное в виде определенных изменений параметров объекта. Кроме того, нестационарпость может пониматься как изменение структуры объекта (меняется тип структуры).