Соглашение о суммировании

Другим подходом, упрощающим запись векторных и тензорных соотношений, является соглашение о суммировании, которое состоит в том, что если в некотором одночленном выражении встречаются два одинаковых индекса, то по ним осуществляется суммирование.

Так, предыдущее соотношение о представлении вектора в новой системе координат при использовании соглашения о суммировании будет записано как а' = a^aj, г = 1,2,3, которое подразумевает суммирование в правой части по индексу j.

В этом выражении индекс j, по которому производится суммирование, называется немым индексом, а индекс г, который соответствует разным вариантам этой зависимости, — скользящим или.

свободным. Важно также отметить, что соглашение о суммировании относится лишь к одночленным выражениям, и в формуле а* + Ь_гникакого суммирования проводить не нужно.

В том случае, когда в выражении имеется повторяющийся индекс, а суммирование проводить не следует, то обычно либо оговаривают этот факт (нет суммирования по индексу …), либо используют для этого индекса не латинскую, а греческую литеру. Так, в выражении арЬр суммирование не производится.

Проекции вектора в новой системе координат будут представлены в виде индексного выражения со знаком суммы или (последний вариант приводимой ниже формулы) в виде компактной записи с использованием правила суммирования по повторяющемуся индексу:

Аналогичная запись для составляющих тензора в новой системе координат через его составляющие в старой системе: