Метод D-разбиения. 
Теория автоматического регулирования

При создании реальной системы управления бывает необходимо знать нс только запас устойчивости, который можно оценить с помощью какоголибо критерия, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим суть метода D-разбиения по одному параметру D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

Заменив в уравнении (4.37) р па^со, получим уравнение.

соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова (условие (4.24)). Разрешим его относительно D:

Получили комплексное представление параметра D, что позволяет изобразить его в виде вектора на комплексной плоскости. Конкретное числовое значение частоты определяет положение вектора D (/co). При изменении со в диапазоне отоо до +оо его конец выписывает на комплексной плоскости кривую D-разбиеним, представляющую собой границу устойчивости (ее также можно рассматривать как отображение мнимой оси плоскости корней).

Кривая D-разбиения симметрична относительно вещественной оси (рис. 4.31), поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую половину получить отображением относительно вещественной оси.

Рис. 4.31. Иллюстрация построения кривой D-разбиения:

1—3 — подобласти с различным распределением корней Отметим, что эта кривая разбивает комплексную плоскость на несколько подобластей с различным соотношением корней. Для определения области устойчивости необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при конкретном значении D, то она будет устойчива и при всех его значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и г. д.), который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D (yco) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D-разбиения можно применять и для построения области устойчивости по двум параметрам D_t и D._?, которые входят линейно в характеристическое уравнение В этом случае уравнение границы устойчивости имеет вид.

и распадается на два независимых уравнения:

Эти два уравнения параметрически задают кривую D-разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случаю одного параметра D.

Пример 4.9. Определить область устойчивости системы (рис. 4.32) по коэффициенту усиления.

Рис. 4.32. Структурная схема системы к примеру 4.8.

Решение

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Запишем ее характеристическое уравнение:

Здесь k — параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно D и заменим р —? 7со. В результате получим уравнение для кривой D-разбиения.

Вычислим значения вещественной и мнимой части D (/co) при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу.

Для построения всей кривой D-разбиения полученную половину D (/co) отобразим относительно оси абсцисс (рис. 4.33).

Рис. 4.33. Кривая D-разбиения для исследуемой системы Как видим, кривая D-разбиения разделила плоскость параметра на две подобласти (1 и 2). Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость. Исследуемая система имеет второй порядок, поэтому необходимым и достаточным условием устойчивости ее является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область есть область устойчивости (-1 < k < °°).