Некоторые теоремы и предельные соотношения

1. Теорема смещения в области оригиналов (теорема запаздывания). Если изображение функции fit) равно F (p), то изображение функции /(t — т) равно e~P^TF (p).

Теорема доказывается путем подстановки f (t — т) в формулу преобразования Лапласа и введения новой переменной t — т = t_v dt = dt_lf e~P^[1][2] =e~P^Te~P^fi;

Пример на применение теоремы см. в параграфе 8.60.

2. Теорема смещения в области изображений. Если изображению функции F (p) соответствует функция/(0, то изображению F (p — А) — функция e^Xtf (t).

Доказательство проводят путем подстановки функции e^Xtf (t) в формулу преобразования Лапласа:

Найти оригинал 1/(р + А,)², если известно, что l/p²=t.

Решение. 1/(р + А)² ^ e~^Xtt.

В результате имеем или.

Если искомая функция ДО в послекоммутационном режиме содержит в своем составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то понятие/(оо) для нее оказывается неопределенным. Например, не имеет определенного смысла функция sin cot при t — °°. В соответствии с этим к цепям с синусоидальными источниками не следует применять предельное соотношение п. 5. Точно так же не следует пользоваться им для цепей без синусоидальных источников, если эти цепи чисто реактивные и не содержат резисторов. Так, при подключении последовательно соединенных L и С (при нулевых начальных условиях) к единичному напряжению l (t) по цепи протекает свободная составляющая тока, численно равная л/CAtsin (I/VZc). В этом случае определять Д°°) как limpF (p) также р—"о не имеет смысла.

• 6. Дифференцирование в области изображений. Если F (p) ^ ДО, то
• S №)•

dp

Доказательство:

Например, если/(t) = e~^at; F (p) =-, то.

р + а

7. Интегрирование в области изображений. Если при t > 0 ДО и ДО, А преобразуемы по Лапласу и J F (p)dp существует, то J F (p)dp ^.

р р

_<т

Доказательство:

Например, еслиДО = 1 — (ос > О), F (p) =-,.

рСр + а).

• [1] 3. Теорема об изменении масштаба (теорема подобия). Если функции ДО соответствует изображение F (p), то функции /(at) — изображе-
• [2] Л ние —F — I. а а) Теорема доказывается следующим образом: А. Нахождение начального значения функции времени /(0+) по изображению функции F (p): /(0+) = Нш pF (p). Это соотношение получим, если в (8.39) р устремим к бесконечности. При этом левая часть (8.39) равна нулю. 5. Нахождение установившегося значения функции времени Д°°)по изображению функции F (p): /(°°) = ИmpF (p). р— Соотношение получим, если в (8.39) р устремим к нулю и учтем, что e~pt =1. Ip—>о