Аналогия электрического поля в проводящей среде с электростатическим полем

Между соотношениями, характеризующими стационарное электрическое поле постоянных токов в проводящей среде, и соотношениями, характеризующими электрическое поле в диэлектрике, можно провести формальную аналогию.

Для электрического поля токов в проводящей среде.

Они формально совпадают с соотношениями для электростатического _ в _ _ _ _ _.

поля в диэлектрике rot Е =0; J Edl = U_A -U_B; D = eE; div D = 0; jDds = Aq.

A s

Аналогами являются следующие величины:

• • электрическое смещение D — плотность тока J;
• • электрический заряд Aq — ток Ai;
• • диэлектрическая проницаемость е — удельная проводимость у.

При этом будут аналогичными и граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред, т. е.

Таким образом, если условия для вектора J =уЕ на границе данной проводящей среды с удельной проводимостью у совпадают с условиями для вектора D — е? на границе диэлектрика такой же формы с абсолютной диэлектрической проницаемостью е, то электрические поля в проводящей среде и в диэлектрике должны быть аналогичны друг другу.

На этом основан так называемый метод электростатической аналогии, позволяющий в ряде случаев при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает возможность также заменить исследование электростатического поля экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде.

В частности, формулы для электрической проводимости G = i/U для сред, в которых протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости тел С = q/U. В аналогичных задачах ток i заменяется зарядом q. Электрическая емкость тела или емкость между телами определяется геометрическими параметрами тел и абсолютными диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих тела. Чтобы получить формулу для G, достаточно заменить в соответствующей формуле для С абсолютные диэлектрические проницаемости е диэлектриков удельными проводимостями у проводящих сред. Если проводящая среда и диэлектрик однородны, то в формулу для проводимости G удельная проводимость у входит множителем и, следовательно, в формулу для емкости С абсолютная диэлектрическая проницаемость? также входит множителем. В таком случае для аналогичных задач имеем —=—. Так, формулу для проводимости G коаксиального кабеля С ?

(или устройства аналогичной конфигурации) можно было написать сразу, пользуясь методом электростатической аналогии. Для этого достаточно в формуле для емкости кабеля заменить? на у, т. е.

На принципе отмеченной аналогии базируется также моделирование электростатических полей на электропроводящей бумаге или в электролитической ванне. Для экспериментального исследования электростатического поля системы проводящих тел последние помещают в ванну и, создав требуемые потенциалы, измеряют плотность тока в различных участках электролита (рис. 3.2, а). Определенное таким путем поле тока в электролите представляет собой модель электростатического поля системы. Гарантией этому служит значительное различие удельных проводимостей электролита и элементов системы (обычно металлических). Это различие позволяет предположить, что вектор плотности тока нормален к поверхностям системы.

Моделирование с помощью электролитической ванны имеет известные недостатки: электролит загрязняется пылью из воздуха, испаряется, ванна может дать течь и т. п. Поэтому для моделирования более предпочтительны твердые модели, которые лишены этих недостатков. Твердая модель для моделирования двухмерных полей представляет собой лист электропроводной бумаги (в обычную бумагу при ее изготовлении добавлены сажа или графит), на которую ставят металлические электроды и к ним подводят постоянное или синусоидальное напряжение. Ток проходит по бумаге от одного электрода к другому.

Семейство эквипотенциалей получают так же, как и в ванне. Бумага характеризуется своей удельной поверхностной проводимостью на единицу длины и ширины, которая много меньше удельной проводимости металлических электродов.

На практике используют твердые модели двух типов: один из них назовем исходным (в нем расположение электродов соответствует расположению электродов в исследуемом электростатическом поле) и другой — дуальным, или обращенным (в нем электроды располагают по граничным силовым линиям исходной модели).

Силовые и эквипотенциальные линии в исходной и дуальной моделях меняются местами.

Рис. 3.2. Моделирование электростатических полей полями постоянных токов:

а — схема установки; б — исходная модель; в — дуальная модель В качестве примера на рис. 3.2, б показана картина поля в исходной твердой модели. Электроды изображены утолщенными линиями. На рис. 3.2, в — картина поля для дуальной модели, В верхней части дуальной модели на рис. 3.2, в помещена узкая металлическая полоска, выполняющая роль эквипотенциальной линии. Если в поле имеется симметрия, то она должна быть обеспечена и в дуальной модели.