Пространство состояний. 
Теория систем и системный анализ для электроэнергетиков

Любая техническая система функционирует во времени. В основе понятия времени лежит счетное множество Т? R с элементами // — моментами времени, которое называют множеством моментов времени.

Поскольку время имеет направление, множество Т — упорядоченное, так как если /, е Т, /₂ е 7″ и /₂ > то момент i предшествует моменту 12. Следовательно, функция времени определяет отображение <�р множества моментов времени Т на множество вещественных чисел R.

Элементами отображения <�р будут пары (/, х), обозначаемые также через х (/), где t € Т, х е R. Каждая такая пара определяет значение функции в момент / и называется событием или мгновенным значением функции. Полная совокупность пар (/, х), т. е. значений x (f) для всех t е Т и представляет собой функцию времени.

Если Т= R, т. е. t может принимать любое вещественное значение отда до +оо, то функцию х (/) называют функцией с непрерывным временем. К таким системам относятся электротехнические комплексы и электроэнергетические системы, системы аналогового регулирования и управления, системы, рассматриваемые в теории колебаний.

Например, синусоидальная функция, описывающая изменение напряжения в сети переменного тока:

Поскольку при проведении конкретных исследований существенно удаленные моменты времени как в прошлом, так и в будущем не представляют особого интереса, проводят сужение х (/) на ограниченный интервал /, < / < /₂, который обычно считают полузакрытым (Г, /₂ ]. Полузакрытые интервалы времени удобны тем, что допускают их последовательное сочленение.

Например, если интервал (/"/₂] разбить моментом t на два: (/"/'] и (/,<|],.

то не будет сомнений, к какому интервалу отнести / .

Реально множество Т является конечным и (или) счетным, т. е. может быть представлено натуральным рядом чисел. В этом случае система функционирует в дискретном времени.

Элементы множества Т называют тактами. К системам, функционирующим в дискретном времени, относятся все контактные схемы, содержащие электрические аппараты управления режимами электроснабжения, вычислительные устройства ЭВМ, ряд систем передачи данных, связи и сигнализации.

Не исключены случаи, когда множество Т имеет смешанный дискретнонепрерывный характер: на одних интервалах моменты t еТ располагаются в изолированных точках, а на других — заполняют их целиком.

В каждый момент /, е Т система находится в одном из возможных состояний *,{//). Множество состояний системы обозначим Z Тогда каждое состояние ц системы можно описать набором числовых характеристик z, Z2, …" Z_n, таких, что Z, € Zj, где Zj — заданные множества.

Например. 1) если Zj (J = 1, 2) — множества точек ц на двух числовых осях, А.

то прямое (декартово) произведение Z = Z, х Z₂, по аналогии с рис. 4.8 можно А.

рассматривать как множество точек z = (z_i, Z₂) плоскости;

А.

2) декартово произведение Z = Z, х Z₂ х Z₃ — как множество точек А.

Z^ss(z_i, Z₂, Zэ) трехмерного пространства.

Когда элементы zi множеств Zj являются не только числами, но и характеристиками или объектами любой природы (векторами, матрицами, функциями),.

А, А элементы z множества Z имеют координаты z, Z2, …" Zm- В отличие от введен;

А ного ранее множества состояний системы Z, множество Z как прямое произведение элементарных осей.

называют пространством состояний системы.

Вместе с тем следует учитывать, что множество элементов пространства со;

А стояний системы Z представляет множество всех упорядоченных совокупностей Zh Z2, …" z", в том числе и таких, которые могут и не принадлежать множеству состояний Z (заштрихованная область на рис. 4.8), поскольку не являются состояниями системы по условиям ее функционирования или каким-либо другим А.

причинам. Поэтому в общем случае Z с Z.

А В ряде случаев анализируется пространство Т х Z, элементами которого яв;

А ляются упорядоченные пары t, z ? Такое пространство называется фазовым пространством системы.

Пространство состояний системы может быть определено толерантным про-

странством, которым называется пара (ЛГ, 0), состоящая из множества X с заданной на нем толерантностью 0.

А.

Рис. 4.8. Множество состояний Z и пространство состояний системы Z

В толерантных пространствах отношению © удовлетворяет условие, определяющее положение любых пар элементов из X «находиться друг от друга на расстоянии не более е > О».

Например.) X — поле зрения глаза или прибора, (c) — разрешающая способность — условие того, что любые пары точек неразличимы в поле зрения;

2) X — массив результатов измерений, 0 — условие того, что пара результатов находится в пределах ошибки измерений.

Если (х, у) € X имеют общий образ в Y, т. е., если.

у и определяется пространство толерантности (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Задание отношения толерантности и определение пространства толерантности