Линейные цепи полностью характеризуются реакцией y{t) на воздействие в виде единичной импульсной функции 5(?) при нулевых начальных условиях, что отражается формулой интеграла наложения.
где h (t) — импульсная характеристика цепи; x (t) — произвольное воздействие.
Для нелинейных цепей такую же явную зависимость выходного сигнала y (t) от входного воздействия x (t) позволяет задать функциональный ряд Вольтерра:
где hk(xx, т2, …, т*) — многомерные функции, называемые ядрами Вольтерра k-ro порядка, k = 1, 2,… Эти ядра не зависят от внешних воздействий и полностью определяются свойствами самой цепи. Они обращаются в нуль, если хотя бы одна из переменных xt,…, xk отрицательна. Ядра являются симметричными, т. е. перемена местами любых двух переменных хт и хп не меняет значения ядра.
В выражении (9.9.8) yx(t) представляет собой реакцию линейной системы на входной сигнал x (t). Аналогично составляющие y2(t)> г/3(?)> - можно рассматривать как реакции нелинейной цепи с квадратичной, кубической и тому подобными характеристиками. Схемное представление модели приведено на рис. 9.9.3.
Рис. 9.93. Универсальная нелинейная модель на основе функциональных рядов.
Применив многомерное преобразование Лапласа, можно получить ряд Вольтерра в области изображений:
где H (s{, S’j, sk) — изображение ядра k-ro порядка.
Универсальную модель в виде ряда Вольтерра можно сформировать либо для каждого парциального двухполюсного и многополюсного нелинейного элемента с последующим подсоединением к линейной части модели, либо для всей нелинейной системы (путем нахождения ядер Вольтерра).
Достоинства модели:
- • явная связь отклика и воздействия;
- • одновременный учет инерционных и нелинейных свойств моделируемого устройства;
- • возможность простого разделения нелинейных продуктов различных порядков за счет блочного представления преобразования входного сигнала.
К недостаткам модели следует отнести:
- • резкое усложнение всех расчетов и преобразований по мере увеличения порядка k рассчитываемого ядра;
- • плохую сходимость ряда Вольтерра при увеличении степени нелинейности цепи или амплитуды входного воздействия;
- • громоздкость многомерного преобразования Лапласа.
Поэтому в настоящее время в основном применяют полиномы Вольтерра с 3—5 членами, где указанные недостатки проявляются мало. При этом требуемой точности получаемых результатов можно достигнуть только при анализе цепей с малой степенью нелинейности.