Метод конечных элементов

В последнее время для расчета строительных конструкций с помощью ЭВМ широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). Суть этого метода заложена в его названии: рассчитываемую систему (стержневую или континуальную) разбивают на определенное число отдельных частей конечных размеров (конечных элементов), имеющих те же физико-механические характеристики, что и заданная конструкция. После этого точно или приближенно изучают напряженно-деформированное состояние каждого конечного элемента методами, известными в строительной механике и теории упругости: сил, перемещений или смешанным, с целью определения в зависимости от принятого метода анализа усилий, или перемещений, или и того и другого в точках соединения конечных элементов между собой (узлах). Эти факторы принимают в качестве основных неизвестных метода конечных элементов. Для нахождения неизвестных составляют и решают систему алгебраических уравнений, как правило, очень высокого порядка (десятки, сотни тысяч и миллионы уравнений).

В практических расчетах строительных конструкций и объектов машиностроения наиболее распространен вариант МКЭ, основанный па идее метода перемещений, поэтому ограничимся рассмотрением этой формы метода. Метод конечных элементов в перемещениях оказался очень приспособленным к использованию ЭВМ, так как при анализе отдельных конечных элементов приходится иметь дело с простыми геометрически подобными объектами, стандартно закрепленными по контуру. Матрица системы алгебраических уравнений в данном случае является симметричной, ленточной и положительно определенной. Такую систему относительно легко решать. Применение же, например, варианта МКЭ в форме смешанного метода или метода сил не всегда приводит к системам уравнений с симметричными положительно определенными матрицами. Их решение производится, как правило, с помощью специальных более сложных алгоритмов.

При реализации метода конечных элементов в перемещениях в качестве основных неизвестных принимают обязательно поступательные перемещения, а в некоторых конечноэлементных моделях — дополнительно и углы поворота в узлах.

Подход к прочностным расчетам, основанный на МКЭ в перемещениях, является единым как для дискретных (стержневых) систем, так и для континуальных: пластин, оболочек, массивных тел. Разница состоит лишь в применяемых основных типах конечных элементов: стержневых, плоских треугольных и четырехугольных, аналогичных оболочечных, криволинейных оболочечных и объемных.

Стержневые элементы могут быть с шарнирами по концам, работающие только на растяжение и сжатие, изгибаемые плоские и пространственные и общего вида, испытывающие все виды деформаций: растяжение, сжатие, изгиб и сдвиг в двух плоскостях и кручение.

Плоские элементы могут деформироваться в своей плоскости (плоская задача теории упругости) или из плоскости (задача изгиба пластины). Плоские оболочечные элементы сочетают оба вида деформации: в своей плоскости и из плоскости, но не учитывают взаимного влияния этих видов деформаций. Криволинейные оболочечные элементы учитывают взаимодействие двух видов деформаций, точнее описывают заданную геометрию изучаемой системы, но в реализации оказываются более громоздкими.

Объемные конечноэлементные модели имеют формы пирамид, призм, параллелепипедов или аналогичных криволинейных тел. Их обычно применяют в расчетах массивных объектов: плотин, мостовых опор, массивов грунта и т. д., т. е. там, где требуется решение объемной задачи теории упругости.