Численные методы расчета динамических режимов

Численные методы применяют для решения систем дифференциальных уравнений состояния конкретной электрической цепи. При необходимости исследования влияния параметров на характер процессов следует многократно выполнить расчет при разных значениях параметров.

Решение дифференциальных уравнений численными методами связано с заменой на заданном интервале наблюдения 0—1″ непрерывно изменяющихся величин x (t) их значениями в дискретные моменты времени xi_l = x (ti_t). Для применения численных процедур исследуемый интервал времени разбивают на т коротких шагов, или интервалов дискретизации, h = At = 4+1 — 4 = tjm и вводят дискретное время 4 = k At, /с = 1, 2,…, т. В соответствии с уравнениями состояния.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

вычисляют значения переменных в точке х^+ по формуле где fk (x, t), k = 1,2,…, т, — нелинейные функции, представляющие уравнения состояния.

Формулы численного интегрирования получаются разложением функции x (t) в ряд Тейлора в окрестности точки х^ и редукции ряда

Простой вариант базируется на предположении о неизменности интегрируемой функции в пределах шага и приводит к формуле Эйлера

Приближенное представление функции f (x, t) на интервале между отсчетами приводит к образованию локальной погрешности па каждом шаге интегрирования. Появление локальной погрешности на каждом шаге имеет тенденцию к накоплению и созданию суммарной глобальной погрешности метода. Различные расчетные методы обусловливают разные значения локальной методической ошибки на одном шаге, которая зависит от значения шага и порядка метода. Так, метод Эйлера относится к методам первого порядка и имеет локальную погрешность порядка h². При некоторых значениях шага интегрирования это может привести к числовой неустойчивости метода. Таким образом, применение тех или иных способов численного решения исходных уравнений сталкивается с такими математическими проблемами, как обеспечение числовой устойчивости и точности вычислений, выбор способа и шага расчета для получения результата за конечный интервал времени.

В ряде случаев имеется возможность оценки указанных параметров. Так, при расчете линейной электрической схемы с помощью прямого метода Эйлера в соответствии с формулой.

существует принципиальная возможность выбора шага посредством оценки собственных значений матрицы А. При этом шаг интегрирования не должен превышать наименьшую постоянную времени. Очевидно, что интервал исследования определяется значением наибольшей постоянной времени. В цепях с существенно различающимися собственными частотами это создает трудности выполнения расчета переходных процессов за ограниченный интервал времени. Трудности представляет также предварительная оценка устойчивости численного интегрирования, а в нелинейных цепях она часто невозможна.

Вместе с тем существуют формулы неявных методов интегрирования, обладающие абсолютной устойчивостью вне зависимоети от значения шага. Формула неявного интегрирования по методу Эйлера имеет вид

Для расчета линейной схемы с помощью неявного метода Эйлера получаем выражение.

Очевидно, что использование неявной формулы приводит к значительному возрастанию объема вычислений, требуемых для выполнения процедуры обращения матриц. Применяются также неявные методы высших порядков, например известный метод трапеций второго порядка, формула которого имеет вид.

При расчете с помощью неявных методов интегрирования переходных процессов в электрических цепях можно не выполнять достаточно трудоемкую процедуру составления полной системы уравнений состояния. Эта операция заменяется непосредственной дискретизацией уравнений, описывающих индуктивные и емкостные элементы. Рассмотрим расчет напряжения емкостного элемента, характеризуемого дифференциальным соотношением du_c/dt = = ic/C. В результате применения неявной формулы Эйлера на рассматриваемом интервале времени имеем выражение.

которому можно поставить в соответствие резистивную эквивалентную схему (рис. 7.8, а).

Соотношения напряжения источника V* и сопротивления R_c зависят от используемого метода интегрирования. Так, для метода трапеций соответственно получим: V* = и_си + Rc*cb Rc ⁼ h/(2C). Аналогично на основе неявного метода Эйлера можно получить дискретную схемную модель индуктивности (рис. 7.8, б).

Рис. 7.8. Дискретные схемные модели емкости (а) и индуктивности (б).

Замена в исходной схеме емкостных и индуктивных элементов их дискретными схемными моделями приводит к эквивалентной резистивной схеме анализируемой цепи на k-м интервале. Параметры резисторов в схеме неизменны для каждого шага, а параметры эквивалентных источников меняются.

Для расчета целесообразно применить уравнения с узловыми потенциалами _t, <�р₂,… ф,)^т, записанные в матричной форме,.

При этом матрица коэффициентов G постоянна, а от шага к шагу будет изменяться правая часть J_3K.

Основным методом численного решения полученного алгебраического уравнения является метод Гаусса, а также используются его разновидности. Алгоритм простого метода Гаусса содержит две стадии преобразования. На первой (прямой) стадии из уравнений исключаются переменные, расположенные ниже главной диагонали, т. е. матрица G (или расширенная матрица GJ_3K) преобразуется к верхнетреугольной форме, т. е. матрице с нулевыми элементами ниже главной диагонали. Вторая стадия заключается в вычислении искомых переменных методом подстановки, начиная с последнего уравнения.

Эффективным методом многократного решения алгебраических уравнений с изменяющейся правой частью является представление матрицы G в форме произведения нижнетреугольной L и верхнетреугольной U подматриц (G = LU). Таким образом, метод LU-разложения приводит к разделению матричного уравнения на два — LD = J_;)K и Ucp = D, после чего последовательно выполняется решение подсистем.

При наличии нелинейных индуктивностей и емкостей следует использовать их дифференциальные параметры. Интегрирование уравнения нелинейного емкостного элемента Iq = C (u)duc/dt> например, с помощью формулы трапеций приводит к соотношению которому на k-м шаге вычисления соответствует нелинейная резистивная эквивалентная схема.

Для расчета на каждом шаге, как правило, используют уравнения узловых потенциалов. Если выделить нелинейные ветви схемы, характеризуемые зависимостью и матрицу соединений записать в виде, А = [А_ЛА_Н], то узловые уравнения примут вид.

Переход от напряжений ветвей к потенциалам узлов схемы приводит к нелинейному уравнению

Численное решение полученной системы алгебраических уравнений выполняется с использованием одного из итерационных методов, например метода Ньютона — Рафсона. Для этого матричное уравнение приводят к виду.

и функцию F (cp) представляют в форме ряда Тейлора в окрестности приближенного решения <�р⁽⁷" Ограничившись первыми производными, получают расчетную формулу.

где обозначено F'(cp^{(, w)}) = rfF (cp^(w))A/cp.

Расчет повторяется до тех пор, пока на (т + 1)-й итерации приближенное решение ф^^{, и+1)} не будет достаточно близко к истинному значению и можно принять, что F (cp^(w+1)) ~ 0. При этом получается явное выражение итерационной формулы Ньютона.

Сходимость итерационного процесса существенно зависит от выбора начального приближения. Обращение матрицы производных на каждой итерации представляет собой достаточно трудоемкую операцию. При использовании узловых уравнений указанную матрицу можно представить в виде.

Запись производных нелинейных функций через дифференциальные проводимости:

В принятых обозначениях уравнение для расчета искомого вектора на (т + 1)-й итерации имеет вид.

Отдельный нелинейный элемент, описываемый зависимостью i_n(u_n), при расчете потенциалов па (т + 1)-й итерации характеризуется соотношением.

Этому уравнению можно поставить в соответствие эквивалентную резистивную схему, пригодную для расчета потенциала на (т + 1)-й итерации (рис. 7.9).

Таким образом, расчет нелинейной резистивной цепи с использованием итерационного метода содержит последовательность расче;

Рис. 7.9. Итерационная модель нелинейного элемента.

тов на каждой итерации линейных эквивалентных схем, описываемых системой линейных алгебраических уравнений. Уравнения, составленные для потенциалов узлов, имеют разреженную (квазидиагональную) матрицу коэффициентов, что учитывается при ее хранении и обращении, т. е. решении уравнений. Обычно используется метод разложения матрицы уравнений на нижнюю и верхнюю треугольные подматрицы, называемый методом LU-разложения.

Очевидно, что при таком методе расчета рациональной представляется кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных элементов, так как на линейных участках формируется система линейных алгебраических уравнений.

Методы анализа нелинейных устройств, основанные на различных способах линеаризации характеристик, включают вопросы, без анализа которых достаточно сложно судить об адекватности полученных решений процессам в реальных элементах. Во-первых, аппроксимация характеристики должна производиться на рабочем участке, который определяется положением на характеристике точки, соответствующей состоянию равновесия. Точность полученной модели определяется размером рабочего участка, который в свою очередь влияет на параметры элемента. Таким образом, первоначально следует установить наличие состояний равновесия, определить вид возможных установившихся движений и рассчитать их характеристики. Необходимо также выяснить влияние погрешности аппроксимации на характер поведения элемента вблизи состояния равновесия (установившегося режима).

Контрольные вопросы и задания

• 1. Сформулируйте последовательность операций расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях.
• 2. При каких условиях возможно возникновение и существование колебаний в электрической цепи?
• 3. Дайте определение устойчивого состояния равновесия.
• 4. В чем заключается идея метода медленно меняющихся амплитуд расчета переходных процессов в нелинейных цепях?
• 5. Сформулируйте основы подхода к численному расчету переходных процессов.