Тензор инерции, моменты инерции, эллипсоид инерции твердого тела

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О, которую примем за начало инерциальной системы координат Если О — мгновенная угловая скорость твердого тела, то момент количеств движения и кинетическая энергия тела определяются формулами.

поскольку согласно формуле Эйлера г = Пхг. Отметим также равенство 2r=Gft, вытекающее из формул (2.1). Обозначая проекции векторов Йигна оси системы координат через.

(П, П₂, Q₃), ($" ^2″ 5з). получим.

Величина У" называется моментом инерции тела относительно оси 0^" а величина J_:j (i*f) — центробежным моментом инерции. Квадратичная форма (2.2) представляется в виде.

0.2.1. Симметричный тензор J называется тензором инерции тела в системе координат ₃, или оператором инерции.

Очевидно, что G = JCI. Заметим, что компоненты оператора инерции J₄ зависят от ориентации тела в системе координат и, следовательно, зависят от времени, если тело вращается вокруг неподвижной точки О.

Перейдем к новой системе координат Ох, х₂х₃ с помощью ортогонального оператора Г. Справедливы формулы.

Отсюда следует закон преобразования тензора инерции при переходе к новой системе координат У' = Г’УГ. Пусть оператор Г, зависящий от времени, таков, что система координат Ox_lx^c_i жестко связана с телом. Тогда компоненты тензора У' будут постоянными величинами. Согласно теореме алгебры существует ортогональное преобразование Г₀, приводящее квадратичную форму (У'со', со') к каноническому виду, когда матрица Г₀^_1УГ₀ = diag{^, В, С) и.

Ортогональное преобразование Г₀ эквивалентно переходу к новой системе координат Oxyz, также жестко связанной с телом, в которой оператор инерции имеет диагональный вид. Оси Ox, Оу, Oz называются главными осями инерции, а постоянные величины А, В, С — главными моментами инерции тела относительно точки.

О. В главных осях инерции центробежные моменты инерции равны нулю.

Остановимся на ряде свойств тензора инерции.

• 1°. Задача отыскания главных осей инерции совпадает с задачей определения собственных векторов оператора инерции, когда справедливо соотношение Ло = Хд>, и совпадает с задачей отыскания условного экстремума кинетической энергии на сфере S² = = {(в: ю² = 1}.
• 2°. Главные моменты инерции являются корнями характеристического уравнения

• 3°. Собственные векторы, отвечающие различным корням Х_к характеристического уравнения, ортогональны, а корни Х_к действительны.
• 0.2.2. Моментом инерции тела относительно оси е, проходящей через начало координат и имеющей орт е, называется величина

Величина [е, г]² равна квадрату расстояния от точки, радиусвектор которой равен г, до оси е.

Т (Штейнер). Момент инерции тела относительно оси е равен сумме момента инерции относительно оси е‘, проходящей через центр масс тела и параллельной оси е, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями е и е'.

? Пусть ось е совпадает с осью Oz системы координат Oxyz, а г — радиус-вектор точки твердого тела. Обозначим через г_с радиус-вектор центра масс тела точки С и получим равенство г = г_с + г', где г' — радиус-вектор точки твердого тела относительно осей Кенига. Тогда.

Второе слагаемое равно нулю по определению центра масс, а первый и последний члены равны Md² и J, соответственно. Здесь d — расстояние между прямыми е и е', М — масса тела. Таким образом, справедлива теорема.

Если мгновенная угловая скорость твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, направлена по оси е и равна те, то кинетическая энергия тела где J_e — момент инерции тела относительно оси е. С другой стороны, Г= ½ (Уоо, со) и, следовательно, J_e = (Уе, е), где J — тензор инерции тела относительно неподвижной точки.

0.2.3. Главные оси инерции тела относительно центра масс называются главными центральными осями инерции.

Л. Если точка К принадлежит главной центральной оси инерции, то одна из главных осей тензора инерции относительно точки К совпадает с главной центральной осью инерции.

А Пусть точка К принадлежит оси Сг и рассматривается оператор инерции относительно репера Kx’y’z координатные оси которого параллельны главным центральным осям Сх, Су, Cz (рис. 33). Используя свойства главных центральных осей инерции и определение центра масс, получим

Аналогично имеем J_y._t = 0. Следовательно, Kz' — главная ось инерции тензора инерции относительно точки К. ?

Главные моменты инерции тела относительно некоторой точки удовлетворяют неравенствам А + В г С, В+ С? А, С+А> В,.

поскольку.

0.2.4. Поверхность второго порядка (Jp, р) = 1 называется эллипсоидом инерции Коши.

В главных осях инерции уравнение эллипсоида инерции имеет _{Рис 33} вид Ах² + By² + Cz² = 1. Эллипсоид инерции есть геометрическое место концов векторов угловых скоростей со, при которых кинетическая энергия тела равна ½. При этом нормаль к поверхности эллипсоида совпадает с вектором момента количеств движения g, так как n = VJ/co, со) = 2/со = 2g.