Метод моментов в задачах идентификации объектов химической технологии

Этот метод успешно применяется как при автономной, так и при последовательной идентификации. Метод моментов охватывает следующие аспекты: 1) определение передаточных функций объектов по экспериментальным данным; 2) нахождение усредненных по времени характеристик динамических систем; 3) идентификация объектов в режиме нормальной эксплуатации (метод решения уравнения свертки (6.27)); 4) реализация непрерывной подстройки модели объекта в контуре адаптивного управления; 5) определение параметров гидродинамической структуры потоков в технологических аппаратах по экспериментальным данным.

1. Напомним, что моментом л-го порядка весовой функции называется выражение.

Моменты весовой функции имеют определенный геометрический смысл. Момент нулевого порядка Н₀ равен площади под кривой весовой функции, т. е. передаточному коэффициенту объекта к. Момент первого порядка Н_х соответствует первому моменту площади под кривой К (t) относительно оси ординат. Момент второго порядка Н₂ равен моменту инерции этой площади относительно оси ординат. Аналогичным образом может быть определен смысл моментов более высоких порядков.

Выше (см. § 4.1) было показано, что передаточная функция системы W (р) допускает представление через моменты весовой функции в виде.

Для систем, состоящих из нескольких подсистем, важно знать, как связаны моменты весовой функции системы, состоящей из последовательно соединенных подсистем, с моментами весовых функций [51 этих подсистем. Рассмотрим систему, состоящую из двух последовательно соединенных подсистем. Для каждой из двух подсистем с передаточными функциями W_x[p) и W₂(p) справедливо разложение (6.35).

Ввиду того, что будем иметь.

Раскрывая скобки в правой части и приравнивая выражения при одинаковых степенях р, получим искомые соотношения.

Аналогичным путем могут быть построены формулы связи моментов для случая последовательного соединения трех и более подсистем.

2. Когда полезная информация, поступающая от объекта, сильно искажена шумами, вместо определения точного описания объекта иногда более целесообразно искать некоторые усредненные его динамические показатели, к которым обычно относят (101 среднее время запаздывания Т_г=Н_х!Н₀ и время дисперсии.

Если при анализе гидродинамической структуры потоков в технологическом аппарате весовая функция интерпретируется как функция распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате, то величина Т_ш равна среднему времени пребывания, а Т — дисперсии функции распределения.

Учитывая соотношения (6.36), получим.

т. е. среднее время запаздывания для системы, состоящей из двух последовательно соединенных подсистем, равно сумме средних времен запаздывания этих подсистем: т_л=т₉₁+т_лг.

Из соотношений (6.37) и (6.36) также следует.

т. е. при последовательном соединении подсистем выполняется правило аддитивности квадратов времен дисперсии.

3. При решении интегрального уравнения свертки (6.27) методом моментов вводятся понятия момента л-го порядка корреляционной функции.

и момента п-то порядка взаимной корреляционной функции.

причем интегралы в правых частях равенств (6.38), (6.39) сходятся, если подынтегральные корреляционные функции убывают к нулю быстрее, чем растет т, и не содержат постоянной или периодической составляющих.

Связь между корреляционными функциями R_m(x) и Д_уи(т) определяется уравнением свертки (6.27), которое можно записать в виде.

Заметим, что структура этого выражения аналогична структуре интегрального уравнения свертки, связывающего весовые функции последовательного соединения двух динамических систем.

В самом деле, пусть K_x(t) и K₂(t) — весовые функции двух последовательно соединенных динамических систем; u_x(t) и u₂(t) — сигналы на входе первой и второй систем; y_x(t) и y₂(t) — сигналы на выходе первой и второй систем. Тогда соответствующие уравнения свертки примут вид.

Если на вход первой системы подать возмущение в виде о-функции, то в этом случае будут справедливы следующие соотношения:

с учетом которых выражение (6.41) определяет весовую функцию последовательного соединения двух систем:

где в силу условия физической осуществимости верхний предел интегрирования может быть заменен на *=оо, и аналогия соотношений (6.42) и (6.40) становится очевидной.

В пространстве изображений по Лапласу интегральному уравнению (6.42) соответствует известное операторное соотношение между передаточными функциями соответствующих систем:

В силу отмеченной аналогии это же соотношение справедливо для уравнения (6.40) в пространстве изображений:

где.

Воспользовавшись (6.35), равенство (6.43) можно переписать в виде.

Приравнивая выражения, стоящие при одинаковых степенях р, получим.

Отсюда вытекают формулы для определения моментов весовой функции через моменты корреляционной и взаимнокорреляционной функций:

Если учесть, что корреляционная функция R, Jt) стационарного случайного сигнала является, как правило, четной функцией, а следовательно, ее моменты нечетного порядка равны нулю А_Х=А₃=.. .=0, то формулы (6.44) упрощаются:

Таким образом, зная моменты А_п и В_п, можно найти моменты, #_я, определяющие передаточную функцию, обратное преобразование Лапласа которой представляет искомую весовую функцию динамической системы.

В практических расчетах обычно интервал наблюдения системы [ — Т, Т] конечен, поэтому вычисление моментов корреляционных функций производится по приближенным формулам.

причем Т выбирается так, чтобы.

Разобьем промежуток [—Г, Т на 2т равных частей с шагом Д, так что 2Г=2тД, где т — четное число. Тогда с учетом четности функции R_M( т) приближенные выражения для моментов А_п и В_п примут вид.

4. При последовательной (непрерывной) идентификации в контуре адаптивного управления объектом с изменяющимися динамическими характеристиками возникает необходимость непрерывной оценки моментов корреляционных функций, которые в этом случае являются функциями времени A_n(t), BJt). Алгоритмы (6.45) и (6.46) для этого не пригодны, так как они ориентированы на автономную идентификацию, когда необходимый статистический материал (в виде заиисей реализаций случайных сигналов) существует в готовом виде и обрабатывается отдельно от объекта.

Для расчета моментов A_n(t) и BJt) в режиме непрерывной идентификации могут быть использованы формулы вида [101

где lt—T, /1 — промежуток времени, на котором производится вычисление корреляционных функций; а и b — конечные величины, заменяющие бесконечные пределы интегрирования в формулах (6.38) и (6.39).

Заметим, что точность формул (6.47) и (6.48) существенно зависит от длины промежутка [t—T, t и величины интервала от а до —Ь, на котором выполняется интегрирование при вычислении моментов корреляционных функций. Для обеспечения удовлетворительной точности величина последнего интервала должна во много раз превышать длительность переходного процесса объекта.

5. Широкое распространение метод моментов получил при исследовании гидродинамической структуры потоков в аппаратах химической технологии. Задачи, решаемые нри этом, в основном относятся к классу задач автономной идентификации, хотя не исключена возможность разработки на их основе методов, пригодных для непрерывной идентификации.

Как уже отмечалось (см. § 4.1), при подаче на вход аппарата импульсного возмущения по концентрации индикатора в потоке функцией отклика является весовая функция системы у (t)=K (t), которая статистически интерпретируется как функция распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате К (t)= =С (0 и характеризуется соответствующими начальными.

и центральными моментами.

Здесь начальный момент нулевого порядка М₀ соответствует общему количеству введенного в поток индикатора. Начальный момент М₁₀ определяет среднее время пребывания потока в аппарате М₁₀=1. Центральный момент второго порядка М₂ характеризует дисперсию или разброс элементов потока по времени пребывания в аппарате относительно среднего значения Центральный момент третьего порядка М₃ определяет асимметрию функции распределения M₃=pJ. Момент М_А характеризует островершинность или крутость кривой распределения и т. д.

С одной стороны, все перечисленные числовые характеристики легко определяются по экспериментальным кривым отклика на импульсное или ступенчатое возмущение, но концентрации индикатора, вводимого в поток. С другой стороны, аналитические выражения для этих же числовых характеристик, содержащие искомые параметры структуры потоков, могут быть получены путем аналитического решения уравнений математической модели объекта. Приравнивая аналитические выражения для моментов соответствующим числовым значениям, найденным из эксперимента, получаем необходимые расчетные соотношения для определения неизвестных параметров модели. Такие соотношения могут быть получены в любом количестве и число их определяется количеством искомых параметров.

Тот факт, что решение прямой задачи относительно моментов, как правило, много проще поиска точного решения уравнений математической модели относительно концентрации вещества в потоке, является основным достоинством данного метода. Такой способ идентификации особенно удобен при анализе объектов с распределенными параметрами и объектов со сложной комбинированной структурой потоков.

Решение прямой задачи относительно моментов производится путем свертки исходных уравнений и дополнительных данных по временной координате. При этом способ решения задачи определяется видом свертки. Наиболее эффективны два способа свертки.

При первом способе свертки каждый член исходного дифференциального уравнения и дополнительных условий умножается на tⁿ и затем интегрируется в пределах от 0 до оо. Если исследуемый объект рассматривается как система с сосредоточенными параметрами, то эта процедура приводит к конечным (алгебраическим) уравнениям относительно момента л-го порядка, которые, как правило, решать значительно проще, чем исходные дифференциальные уравнения. Если объект рассматривается как система с распределенными параметрами, то данный способ свертки приводит к краевой задаче по пространственной координате для обыкновенного дифференциального уравнения относительно момента л-го порядка, что существенно упрощает решение исходной задачи.

При втором способе свертки каждый член дифференциального уравнения математического описания объекта и дополнительных условий умножается на е~^р*_у где р — комплексная переменная, и затем интегрируется в пределах от 0 до оо, т. е. применяется преобразование Лапласа. Решение прямой задачи ищется в преобразованном по Лапласу виде. На этом этапе используются все преимущества операционного исчисления.

После того как задача решена в пространстве изображений, возникает необходимость перехода в пространство оригиналов, однако обратное преобразование Лапласа, как правило, является не простой задачей.

Одно из главных достоинств метода моментов состоит в том, что если искать не само решение, а его моментные характеристики, то необходимость в обратном преобразовании Лапласа на конечном этапе решения задачи отпадает.

Действительно, пусть С (р) есть изображение по Лапласу С-кривой, т. е. функции отклика системы на импульсное возмущение по концентрации индикатора в потоке:

Отсюда сразу следуют очевидные соотношения:

Формулы для определения среднего времени пребывания I и центральной дисперсии oj функции распределения имеют вид.

Соотношения (6.49)—(6.51) могут быть получены и другим способом, основанным на разложении (6.35) передаточной функции W (р)=С (р) по степеням р, коэффициентами в котором служат моменты весовой функции К (t)=:C (*).

Таким образом, решая прямую задачу в пространстве изображений и пользуясь формулами (6.49)—(6.51), можно получить необходимое число расчетных соотношений, связывающих выражения типа lira [д"? {р)/др^п] (в эти выражения входят искомые.

р-+о параметры объекта) с соответствующими числовыми характеристиками, полученными из эксперимента.