Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Рассмотренный в предшествующем параграфе пример показывает, что в определенных случаях от сверхидентифицируемого уравнения требуется переход к его точной идентификации, хотя бы в определенных условиях. Разрешить проблему можно при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

• ? составление приведенной формы модели:
• ? применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;
• ? определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;
• ? определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на первом шаге.

Рассмотрим всю процедуру применения КМНК и ДМНК на примере.

Предположим первоначальное моделирование динамики спроса на инновации следующей структурной формой модели спроса и предложения:

В данной модели эндогенными переменными (т. е. определяемыми внутри модели) являются взаимозависимые переменные: Р_х — цена, Q — количество предлагаемого в момент t инновационного продукта. Предопределенными переменными (т. е. теми, которые определяют значения эндогенных переменных) являются:

/, — доход потребителя;

Р_м — цена в предыдущий период времени (лаговая переменная). Случайность процесса отражают переменные u_1f, u_2t. Параметрами структурной модели будут коэффициенты а₀, a_v а₂, Ь₀, b_v b₂. Данные о спросе и предложении инновации, доходах потребителя за шесть периодов отражаются таблицей 9.

Тоблииа 9.

Осуществив проверку на идентифицируемость по необходимым и достаточным условиям, приходим к выводу, что данная система точно идентифицирована. Поэтому допустимо применить к ней КМНК.

Первый шаг. Составляем приведенную форму для исходной модели:

Второй шаг. С помощью обычного метода наименьших квадратов ищем оценки приведенных коэффициентов по системе нормальных уравнений. Для расчета параметров: (Д, Д, Д) первого уравнения она имеет вид:

Осуществив суммирование по данным табл. 9, получим следующую систему:

Решив систему, найдем значения приведенных коэффициентов: Д = 1,55; Д = 1,55; Д =7,16.

Аналогично можно определить параметры (B_VB₂, B₉) второго приведенного уравнения.

Окончательно оцененная приведенная форма модели будет выглядеть следующим образом:

Третий шаг. По оцененной приведенной форме (154) восстановим первое уравнение структурной формы модели, т. е. зависимость предложения инновационного продукта Q от цен P_t и Р_м. Воспользовавшись вторым уравнением приведенной формы, выразим функцию дохода потребителя /₁:

Подставив полученное вьюажение в пеовое уоавнение. найдем.

Следовательно, а₀ = 38,54; а, = -2,07; а₂ = 9,21.

Аналогично можно определить параметры второго структурного уравнения, представляющего собой зависимость Q от Р, и /,.

В результате структурная форма модели примет вид:

Введем теперь в исходную модель новую предопределенную переменную R_f — благосостояние потребителей. Очевидно, что оно существенно влияет на функцию спроса. Таким образом, ситуация должна описываться системой.

Исходные данные с учетом благосостояния потребителей приведены в табл. 10.

Таблица 10

Введение

новой переменной привело к тому, что в модели (160) функция спроса точно идентифицирована, а функция предложения сверхидентифицирована. Вместе с тем, достаточное условие идентифицируемости выполняется.

Параметры сверхидентифицированной функции предложения теперь уже нельзя определить косвенным МНК. Традиционный МНК также нельзя применять, поскольку корреляция переменных нарушает его предпосылки. Поэтому переходим к использованию ДМНК.

Первый шаг. Записываем приведенную форму модели:

Из второго уравнения можно найти оцененные значения и переписать его в виде

Таким образом, переменная Р₍ определяется линейной комбинацией предопределенных переменных (/_t, P_M, R_t) и случайной компонентой С/₂, которая не коррелирует с переменной F_t. Но тогда сверхидентифицированную функцию предложения можно переписать в виде: или.

где u'_v = и" + a, U₂.

Полученное уравнение отличается от исходной функции предложения тем, что переменная Р, заменена на ее оценку P_t'. Ошибка и сохраняет стохастический характер. При этом переменная Р/ тесно коррелирует с P_t, но не коррелирует с ошибкой и. Следовательно, она может служить инструментальной переменной.

Второй шаг. Используя обычный МНК, определяем параметры приведенной формы модели. По данным табл. 10 строим систему:

Третий шаг. Подставив во второе уравнение приведенной формы фактические значения /_р P_t__v R₍ из таблицы, найдем расчетные значения Р₍' для всех периодов. Например, /^=11,79+ 0,4−14−1,14−12+ 0,445−25 = 14,85.

Четвертый шаг. Применив обычный МНК к уравнению Q_f = а₀ + a_t • Р/+ +а₂ • Р_м + и'_м, получим:

Таким образом, структурные параметры уравнения предложения найдены.

Параметры точно идентифицированной функции спроса определим косвенным МНК.

Выразим из второго уравнения приведенной формы переменную Р_м:

Найденное выражение подставим в первое уравнение:

Выпишем теперь структурную форму модели в целом:

Можно заключить, что хотя функция предложения по сравнению с предыдущей моделью не изменилась, оценки ее структурных параметров изменились.

В заключение отметим ряд особенностей двухшагового метода наименьших квадратов.

В данном методе первый этап (этап построения приведенных уравнений) применяется для конкретных уравнений, не затрагивая оставшиеся уравнения модели. Это позволяет минимизировать объем вычислений. При наличии переопределенных уравнений ДМНК в отличие от метода наименьших квадратов определяет единственные оценки параметров модели. Наконец, применяя этот метод, можно использовать лишь экзогенные и предопределенные переменные модели.

Вместе с тем, применение ДМНК будет эффективным лишь в том случае, когда коэффициенты детерминации R² для приведенных уравнений, построенных на первом этапе, достаточно высоки. Тогда и инструментальные переменные слабо коррелируют со случайным отклонением и будут близки к истинному значению заменяемых переменных. При низких же значениях R² использование ДМНК малопродуктивно, т. к. в этом случае инструментальные переменные весьма слабо соответствует истинному значению заменяемой переменной.

Заметим, что использование метода инструментальных переменных как составной части двухшагового метода наименьших квадратов позволяет получать состоятельные оценки и для выборок больших объемов. Однако для малых выборок выводы будут не столь конкретными.