Учет сезонности при построении модели регрессии

При отсутствии тенденции в рядах динамики и при наличии сезонной компоненты в модели регрессии зависимая переменная может рассматриваться как функция объясняющих переменных и сезонного фактора , который можно ввести в модель в виде фиктивных переменных 0 и 1: например, для квартальных данных в модель вводятся фиктивные переменные , учитывающие информацию I, II и III кварталов:

в остальных случаях

В общем виде линейная модель регрессии имеет вид.

(6.39).

где (для квартальных данных); (для месячных данных). Построение подобного рода моделей требует достаточно длинных рядов динамики, чтобы параметры модели были статистически надежны.

Коэффициенты регрессии , показывают воздействие соответствующего фактора на у при устранении сезонности. Влияние сезонности оценивается через коэффициенты , которые представляют собой разность среднего уровня/для і-го квартала по сравнению сбазовым, т. е. если за базу сравнения взят IV квартал, то при условии, что факторы неизменны. Соответственно Чтобы оценить влияние сезонности I квартала по сравнению со II, можно использовать разность , а влияние III квартала по сравнению со II — и т. п.

Практическое использование рассматриваемой модели затруднено следующими обстоятельствами:

• — ограничено число объясняющих переменных X ввиду сравнительно коротких динамических рядов в экономических исследованиях. Так, по данным за 5−7 лет в поквартальном разрезе в модели может быть учтена одна объясняющая переменная;
• — сезонность по у и по X может не совпадать по кварталам (например, пик доходов может приходиться на зиму, а пик расходов — на лето);
• — коэффициент регрессии при факторе X может подвергаться сезонности, а в модели он предполагается независимым от сезонной компоненты;
• — ряды динамики обнаруживают тенденцию.

Рассмотрим содержание линейной модели

на следующем примере.

Пример 6.5

Объем продаж товара фирмой (у — в тыс. ед.) исследуется в зависимости от объема продаж его дочерним предприятием (х- в тыс. ед.) по данным за 5 лет.

Таблица 6.4. Объем продаж фирмы за 5 лет.

Таблица показывает, что объем продаж практически стабилен по годам, но сильно варьирует по кварталам. Если строить модель, не обращая внимания на сезонность, то результаты моделирования окажутся плохими:

Они существенно улучшаются, если в модели будет учтена сезонность. Введем в модель сезонную компоненту с помощью фиктивных переменных. Взяв за базу сравнения IV квартал, построим модель зависимости объема продаж фирмой от объема продаж дочерним предприятием с учетом сезонности:

где для I квартала и 0 для остальных; для II квартала и 0 для остальных; для III квартала и 0 для остальных.

Результаты регрессии оказались следующими:

Как видим, существенно повысился коэффициент детерминации. Все параметры модели статистически значимы и отсутствует автокорреляция в остатках. Параметр при переменной* означает, что независимо от сезонного фактора с ростом объема продаж дочерним предприятием на 1 тыс. ед. объем продаж головной организации возрастает в среднем на 0,319 тыс. ед.

Для отдельных кварталов модель регрессии составит:

Коэффициенты регрессии при 2 показывают влияние сезонности: изменение объема продаж в головной организации в соответствующем квартале по сравнению с IV кварталом, когда , в условиях неизменности объема продаж в дочернем предприятии. Все коэффициенты регрессии при сезонном факторе z согласовываются в примере с изменением средних уровней результата по отдельным кварталам в сравнении с IV кварталом:

Наибольшие изменения в средних уровнях наблюдаются в III и II кварталах (по сравнению с IV кварталом). Автокорреляция в остатках по модели практически отсутствует:

Если в рядах динамики наблюдается тенденция и сезонная компонента одновременно, то модель регрессии может иметь вид (при двух временных рядах).

(6.40).

Следует заметить, что при наличии четкой тенденции как в ряду зависимой, так и в рядах объясняющих переменных модель с сезонной составляющей в виде линейно введенных фиктивных переменных не всегда может давать хорошие результаты ввиду мультиколлинеарности факторов, особенно, если корреляция объясняющих переменных с фактором времени выше их корреляции с результативным признаком. В этом случае коэффициенты регрессии часто статистически не значимы или имеют неинтерпретируемые знаки.

Предположим, что строится модель регрессии объема продаж фирмой туристических путевок в Австрию от цены на них за последние 3 года (данные характеризуются тенденцией и сезонностью; пользуются спросом горнолыжные маршруты зимой и термальные озера летом). Располагая информацией по месяцам, вводим в модель фактор времени t и сезонную компоненту в виде фиктивных переменных и принимающих значение 1 соответственно для зимних и летних периодов года и 0 — для остальных. Модель имеет вид

Параметр Ъ показывает, что независимо от тенденции и сезонности рост цен на 1 ден. ед. соответствует изменению числа проданных путевок на Ь ед. Ежемесячно под воздействием тенденции и независимо от периода времени объем продаж возрастает в среднем на с ед. При абстрагировании от влияния тенденции и фактора цен сезонность проявляет себя в значениях параметров : в зимний период объем продаж возрастает на , а летом — на ед. (все коэффициенты регрессии при сезонной компоненте больше нуля и статистически значимы по t-критерию Стьюдента). Сезонность можно рассматривать и в более крупном плане: например, осенне-зимний период и весенне-летний период. В этом случае фиктивная переменная может принимать значение 1, например, для I и IV кварталов, а для II и III кварталов — значение 0 (или наоборот). Такой подход уменьшает число вводимых в модель фиктивных переменных, что может быть полезным при сравнительно коротких рядах динамики. Этот подход возможен также, если в каком-то из периодов влияние сезонности оказалось по t-критерию Стьюдента статистически незначимым.