Обратные задачи для осесимметричных конструкций

Среди методов решения задач теории упругости неоднородных тел особую группу составляют обратные методы, суть которых заключается в определении таких функциональных зависимостей механических характеристик от координат, при которых напряженно-деформированное состояние тел либо совпадает с аналогичным в однородном теле, либо позволяет относительно просто получить решение задачи.

В настоящем параграфе на примере решения задачи о плоском деформированном состоянии (ПДС) толстостенного цилиндра и плоском напряженном состоянии (ПНС) тонкого кольца рассматривается обратный метод, в котором разыскивается такая зависимость модуля упругости от радиуса, при которой напряженное состояние цилиндра является заданным. Идея такого метода основана на приведенных выше результатах расчетов неоднородных тел, в которых показано, что если в некоторой области тела модуль упругости меньше, чем в однородном материале, то напряжения в этой области также уменьшаются, и наоборот.

Из решения задачи Ляме следует, что в толстостенном однородном цилиндре или кольце как при внутреннем, так и при внешнем давлении наибольшие напряжения <�т₀ возникают вблизи внутренней поверхности.

На рис. 3.21, а показано поперечное сечение толстостенной цилиндрической оболочки (кольца), загруженного изнутри постоянным давлением р_а. Для однородного материала (пунктирные линии на рис. 3.21, б) напряжения а₀ достигают наибольшего значения вблизи внутреннего контура тела (рис. 3.21, в), а для неоднородного (сплошные линии), когда Е = Е (г), эпюра а₀ выравнивается, приближаясь к постоянному значению. На напряжения а_г неоднородность прак;

Рис. 3.21. Напряженное состояние в толстостенном цилиндре.

(кольце) тически не влияет благодаря граничным условиям для них. Идея метода оптимизации напряженно-деформированного состояния таких элементов конструкций состоит в создании их из разных материалов. Для этого необходимо решить обратную задачу теории упругости неоднородных тел.

Поставим задачу отыскания такой зависимости Е (г), при которой напряженное состояние будет заданным. В зависимости от теории прочности для данного материала могут быть поставлены разные задачи. Если, например, для данного материала справедлива первая теория прочности (максимальных нормальных напряжений) и при изменении модуля упругости предел прочности материала не меняется (а_в = const), то цилиндр (или кольцо) будет равнопрочным при условии ст_тах = ст_в = const. Если же предел прочности также является функцией от радиуса, то конструкцию можно назвать равнонапряженной (эквивалентное напряжение во всех точках будет постоянным, но не равным а"). В случае, когда, например, справедлива третья теория прочности (максимальных касательных напряжений), функция Е (г) должна разыскиваться из условия т_П1М = const. В общем случае для произвольной теории прочности условием равнонапряженности или равнопрочности должно быть постоянство эквивалентного напряжения, соответствующего данной теории.