Оптимальная линейная фильтрация сигналов

Передача сигналов сопровождается шумами, которые искажают передаваемую информацию. Поэтому на протяжении всего развития техники связи центральной проблемой остается борьба с помехами и шумами (далее, обобщенно, — шумами). Если мощность полезного сигнала соизмерима со средней мощностью шума, трудно не только выделить, но и обнаружить сигнал. Одним из путей повышения помехоустойчивости является различение сигналов, соответствующих разным сообщениям. Затем нужно выбрать такой метод приема, который наилучшим образом реализует это различие. При этом важнейшей задачей является выделение информации с максимальной достоверностью — оптимальный (согласованный) прием. Для этого в состав приемника включают оптимальный фильтр, цепи последетекторной обработки, следящие схемы АПЧ и ФАПЧ.

Оптимальный (согласованный) линейный фильтр

Уменьшение влияния шумов достигается различными способами, в том числе выбором наилучших характеристик цепей, через которые проходит смесь сигнала и шума. Основой большинства практических методов выделения сигнала из аддитивной смеси сигнала и шума в приемниках является оптимальная линейная фильтрация, использующая линейные частотные фильтры. Удобнее всего описывают оптимальные фильтры с помощью импульсной или частотной (коэффициент передачи) характеристики.

Критерии оптимального приема сигналов. В зависимости от назначения системы передачи информации и характера принимаемого сигнала на фоне действующих помех принимают различные критерии оптимального приема. В одних случаях критерием является обнаружение полезного сигнала, в других — разрешение сигналов, в третьем — измерение параметров этого сигнала.

Обнаружение — это сам факт приема полезного радиосигнала. Такой случай характерен для радиолокации.

Поп разрешением сигналов понимают, какое именно из нескольких возможных переданных сообщений поступило на вход радиоприемного устройства. Например, при передаче цифровых сообщений двоичным кодом необходимо определить, какой бит, 1 или 0, передан в данный момент по радиоканалу.

Измерение параметров сигналов позволяет извлечь необходимую информацию об объекте, с которого она поступила.

Качество принятого сообщения в зависимости от его характера оценивается по-разному. В цифровых системах передачи битовой информации это качество определяется вероятностью ошибки принятого символа. Например, если вероятность составляет 10 ³, то это означает, что из тысячи принятых бит один может быть ошибочным. При передаче речи качество принятого сообщения оценивается по его разборчивости, т. е. по числу правильно понятых слов, смысл которых не искажен. При передаче телевизионного сигнала вводится несколько критериев, по которым оценивается качество принятого изображения. Отмеченные разнородные критерии при передаче аналоговых сообщений являются функцией отношения мощности сигнала к мощности шума на выходе приемника.

При обнаружении сигнала в шумах наиболее эффективен критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности на выходе фильтра. Линейный фильтр, для которого отношение максимально, называют оптимальным (подразумевая — наилучшим) или согласованным фильтром, а также коррелятором.

Отношение сигнал/шум. Используем в приемнике линейный фильтр с таким частотным коэффициентом передачи К (со), что значения его модуля |К (со)| велики в частотном диапазоне, где сконцентрирована основная доля мощности полезного сигнала, и малы в частотных областях, где существенна спектральная плотность мощности шума. Следует ожидать, что при подаче на вход оптимального фильтра аддитивной суммы полезного сигнала и шума на его выходе можно получить заметное увеличение отношения сигнал/шум. Оценим количественно данное положение. Пусть на входе линейного фильтра радиоприемника присутствует входное колебание, являющееся суммой полезного сигнала u (t) и шума r (t):

На практике и сигнал, и шум являются узкополосными с одинаковыми центральными частотами со₀. Кроме того, они некоррелированны, т. е. среднее значение их произведения на некотором интервале Т равно.

Также предположим стационарность шумов на протяженном интервале времени.

Интенсивность колебаний на входе линейного фильтра характеризуют значением среднего квадрата (средней мощности) входного сигнала, которая в силу равенства (7.2) есть сумма средних квадратов полезного сигнала и шума:

где о² — дисперсия (мощность) входного шума.

Для описания относительного уровня полезного сигнала вводят так называемое отношение сигнал/шум на входе фильтра.

Отметим, что безразмерное число Q_nx характеризует уровень сигнала по отношению к уровню шума весьма приближенно. Пользоваться этим отношением целесообразно лишь тогда, когда заранее известно, что колебания сигнала и реализации шума «схожи» между собой. Так, входной шум обычно хорошо описывается моделью нормального узкополосного случайного процесса. Отдельные реализации шума представляют собой квазигармонические колебания. Естественно, что в этом случае можно пользоваться формулой (7.3) для оценки уровня полезных сигналов с амплитудной или частотной модуляцией.

Пример 7.1.

Пусть на входе линейного фильтра действуют однотональный АМ-сигиал ^мдм (0 ⁼ U_n[l + Mcos (Q/ + e₍₎)]cosoy и гауссов шум г (?) с односторонним спектром мощности

Найдем отношение сигнал/шум на входе фильтра.

Решение

Средняя мощность АМ-сигпала согласно формуле (2.70).

Здесь первое слагаемое 0,5U² соответствует средней мощности несущего колебания, которое не содержит информации о передаваемом сообщении. Поэтому при расчетах помехоустойчивости принято опускать эту составляющую и считать.

Дисперсия шума на входе фильтра.

Отношение сигнал/шум <2_ВХ = 0,0625U"M²/(F₀Q) оказывается прямо пропорциональным квадрату коэффициента модуляции и обратно пропорциональным частоте модуляции.

Одним из основных параметров фильтров приемника является коэффициент передачи. Определим коэффициент передачи оптимального фильтра приемника при условии, что сигнал принимается на фоне белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности W₀ (односторонней N_n = 2W_tt).

Представим коэффициент передачи оптимального фильтра в виде.

где К{со) — АЧХ; (р^(со) — ФЧХ фильтра.

Пусть входной сигнал u (t) имеет спектральную плотность.

Здесь S (со) и ф_с(со) — амплитудный и фазовый спектры принимаемого сигнала.

Отметим некоторый, пока неизвестный, момент времени t = ?₀, при котором отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет максимальным. В соответствии с формулой (4.5) сигнал на выходе фильтра (линейного четырехполюсника).

Поскольку *?_вых(со) = 5_цх(со)/С (со), то с помощью соотношения (3.28) находим среднюю мощность (дисперсию) белого шума на выходе фильтра'.

Используя формулы (7.5) и (7.6), найдем отношение мощностей сигнала и шума:

Введем эквивалентный коэффициент передачи линейного фильтра:

Оптимальный коэффициент передачи анализируемого фильтра максимизирует правую часть выражения (7.7).

Задачу нахождения оптимального коэффициента передачи К ((о) решают на основе неравенства Буняковского — Коши — Шварца, имеющего вид.

Прямая подстановка показывает, что неравенство обращается в равенство, если

где А — постоянный коэффициент; S*(со) — функция, комплексно-сопряженная с 5(со).

Представим эквивалентный коэффициент передачи (7.8) в виде произведения с фазовым множителем:

Отсюда находим коэффициент передачи фильтра.

Формула (7.9) полностью определяет коэффициент передачи оптимального фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум. Отсюда же следуют требования к АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра:

По определению частотный коэффициент передачи — безразмерная величина, поэтому постоянный коэффициент, А должен иметь размерность, обратную размерности амплитудного спектра входного сигнала S (со).

Суть метода обработки принимаемого сигнала оптимальным фильтром приемника поясняет рис. 7.21, где показаны спектры входных сигнала 5(со), белого шума W₀ и выходного сигнала 5_ВЬ1Х(со), а также АЧХ фильтра К (со) и энергетический спектр выходного шума aj (co).

Рис. 7.21. Оптимальная фильтрация:

а — спектры входных сигнала и шума; б — спектр выходного сигнала и АЧХ фильтра;

в — спектр выходного шума Соотношение (7.10) устанавливает, что АЧХ фильтра К (со) должна с точностью до масштабного множителя А совпадать по форме с амплитудным спектром S (со) входного сигнала. Благодаря этому подавляющая часть спектральных составляющих входного сигнала, имеющих наибольшие амплитуды, проходит на выход оптимального фильтра без ослабления и вносит основной вклад в образование пикового значения. Из множества спектральных компонентов входного белого шума, располагающихся в бесконечной полосе частот, на выход фильтра проходят и не ослабляются те, которые находятся иод кривой его АЧХ, т. е. в ограниченной полосе частот. Это приводит к ослаблению средней мощности шума а²_х на выходе фильтра по сравнению со спектральной плотностью мощности белого шума W₀ на входе. В результате этого действия отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра увеличивается.

Формула (7.11), описывающая ФЧХ оптимального фильтра, трактуется как условие компенсации начальных фаз гармонических составляющих спектра выходного сигнала. Согласно этому условию оптимальный фильтр должен иметь такую ФЧХ, чтобы получаемый в нем фазовый сдвиг каждой гармоникиф_с(со) был равен по значению и противоположен по знаку начальной фазе соответствующей составляющей спектральной плотности S (со) входного сигнала. Оптимальный фильтр проводит компенсацию начальных фаз всех спектральных составляющих входного сигнала u (t), в результате чего и образуется пик выходного сигнала. Составляющая ФЧХ —со?₀ указывает на то, что пик выходного сигнала задержан относительно начала действия входного сигнала на интервал t₀. Связь между фазовой характеристикой ф_с(со) входного сигнала, компенсирующей ее фазовой характеристикой —ф_с(со) и ФЧХ фильтра поясняется на рис. 7.22. Фазовая характеристика выходного сигнала, определяемая формулой.

показана на рис. 7.22 прямой линией.

Рис. 7.22. Связь между фазовой характеристикой сигнала и ФЧХ фильтра

Итак, коэффициент передачи фильтра, описываемый формулой (7.4), согласован с амплитудным и фазовым спектрами входного сигнала. Поэтому рассмотренный оптимальный линейный фильтр часто называют согласованным.

Вернемся к формуле (7.7) и рассмотрим энергетические соотношения между принимаемым сигналом и шумом на выходе исследуемого оптимального фильтра. Так как квадрат модуля комплексного числа равен квадрату его действительной части, то после несложных преобразований получим выражение.

Числитель в формуле (7.13) в соответствии с равенством Парсеваля представляет собой энергию входного сигнала Э. Тогда последнее соотношение примет вид

Согласно формуле (7.14) оптимальный фильтр максимизирует отношение сигнал/шум, которое зависит от энергии входного сигнала и спектральной плотности мощности белого шума и не связано с формой входного сигнала.

Пример 7.2.

Сигнал, поступающий на вход оптимального фильтра, представляет собой прямоугольный видеоимпульс с некоторой амплитудой Е и длительностью т_н = = 10 мкс. Белый шум на входе фильтра имеет спектральную плотность мощности W₀ = 25 • 10 ¹⁸ В²/Гц. Определим минимальное значение амплитуды Е, при котором возможно обнаружение сигнала, если приемник регистрирует его присутствие при отношении сигнал/шум Q_mls = 3/W_n = 2 дБ.

Решение

Требуемое значение отношения сигнал/шум найдем из условия 101g (3/W₀) = 2, откуда 3/W₀ = 1,57. Поскольку энергия импульса 3 = Е¹ т_и, то.

Импульсная характеристика оптимального фильтра. Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, вычислим обратное преобразование Фурье от частотного коэффициента передачи (7.9). Используя уже применяемую ранее формулу для определения импульсной характеристики через коэффициент передачи.

получим.

Поскольку 5*(со) = -5(со), то, переходя к новой переменной (о₂ = -со, после несложных преобразований запишем.

Следовательно, импульсная характеристика оптимального фильтра совпадает с зеркально отраженной относительно оси ординат копией входного сигнала, сдвинутой на интервал ?₀ по оси времени. Об этом говорит отрицательный знак при аргументе t в формуле (7.16). На рис. 7.23 показан прин;

Рис. 7.23. К построению импульсной характеристики оптимального фильтра цин построения импульсной характеристики оптимального фильтра применительно к некоторому импульсному сигналу u (t) длительностью т_и. Поскольку при t < О импульсная характеристика линейной цени не существует, то временная задержка t₀ между началом действия сигнала на входе фильтра и моментом образования максимального пика сигнала на его выходе должна быть не менее длительности сигнала т_и. Это одно (но недостаточное) из условий физической реализуемости оптимального фильтра, показывающее, что для создания максимального пика сигнала на выходе надо провести обработку фильтром всего входного сигнала u (t).

Фундаментальной особенностью оптимального фильтра является то, что обнаружение с его помощью сигнала в шумах зависит не от формы, а от его энергии. В частности, путем увеличения длительности входного импульса можно надежно обнаруживать сигналы небольшой амплитуды. Однако при этом проигрывают в скоростях обработки информации. Как правило, формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра существенно отличаются друг от друга. В частности, задачей согласованного фильтра для двоичной системы является не восстановление формы сигнала, искаженной шумом, а получение одного отсчета, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

За согласованным фильтром в приемнике может находиться выравнивающий фильтр, или эквалайзер; он необходим только в цифровых системах связи, в которых сигнал может искажаться вследствие межсимвольной интерференции, внесенной каналом. Принимающий и выравнивающий фильтры являются отдельными устройствами, что подчеркивает различие их функций. Впрочем, в большинстве случаев при использовании эквалайзера для выполнения обеих функций (а следовательно, и для компенсации искажения, внесенного передатчиком и каналом) можно включать единый фильтр. Такой составной фильтр называют просто выравнивающим или принимающим и выравнивающим.

Согласованным фильтром может быть пассивный фильтр на линиях задержки, или коррелятор, или специальное цифровое устройство, преобразующее входную смесь сигнал/шум в частотную область, умножающее полученный спектр на спектр, комплексно-сопряженный со спектром входного сигнала, на который настроен оптимальный приемник, и возвращающий результат обратно во временную область. Но в любом случае это будет устройство, АЧХ которого повторяет амплитудный спектр сигнала, а ФЧХ есть зеркальное отражение фазовой характеристики сигнала. Согласованный с неким сигналом фильтр — это линейный четырехполюсник, импульсная характеристика которого является зеркальным отражением этого сигнала.

Отметим, что функцию оптимального фильтра для входного сигнала в приемнике может выполнять коррелятор, что имеет важное практическое значение, поскольку в ряде случаев реализовать коррелятор проще, чем оптимальный фильтр. В возможности выполнять коррелятором функцию оптимального фильтра можно убедиться, сравнив спектры сигналов на выходе оптимального фильтра и коррелятора.