Метод общих нормалей по Г. Н. Кирсанову

Геометрической сутью метода общих нормалей является поиск общих нормалей в точках характеристики, которые всегда пересекают ось режущего инструмента, так как он представляет собой тело вращения.

Согласно обобщению теоремы Виллиса, выполненной Г. Н. Кирсановым в 1980;х гг., для технологической пары «исходная инструментальная поверхность вращения — винтовая поверхность детали» существует полюсная ось профилирования, роль которой аналогична роли полюса для плоского зацепления: нормали в точках характеристики проходят через полюсную ось профилирования П₍₎ (рис. 20.1).

Положение П₀ относительно оси детали определяется расстоянием а и углом, а между ними из соотношения.

где Р — винтовой параметр, мм;

Рис. 20.1. Схема метода общих нормалей где Н — шаг винтовой линии, мм; г — угол скрещивания, рад; А_и. — межосевое расстояние, мм.

Винтовая проекция оси П₍₎ на торцовую плоскость П_т, проходящая через общий перпендикуляр к осям инструмента и винтовой поверхности, является центроидой детали Ц_д. Она находится как след, который оставляет на этой плоскости ось П₍₎ при ее винтовом перемещении с параметром Р относительно оси детали.

Поверхность детали задается параметром Р и обобщенными координатами т, п_у V}/ точек профиля в торцовом сечении, где для каждой точки i_t: т — расстояние от касательной к поверхности детали до ее оси; п — расстояние от нормали N, к винтовой поверхности до оси детали; vj/ — угол между положительным направлением оси Х₀ и касательной к профилю.

Знаки этих координат принимаются следующим образом. При обходе профиля в направлении от точки е к точке / вектор касательной направлен навстречу обходу. При этом т > 0, если центр 0_{ детали находится справа от касательной, и п > 0, если центр 0₁ располагается выше N-_t.

Нормаль N_i в винтовом движении относительно оси обрабатываемой заготовки воспроизводит поверхность, которая в правой системе координат Х₀Y₀Z₀ записывается системой уравнений:

где z'₀ — координата текущей точки нормали ЛГ, — в ее исходном положении по оси Z₀; ср — независимый угловой параметр; v — угол скрещивания нормали с осью детали;

Из совместного решения уравнений винтовой проекции нормали, вытекающих из уравнений (20.3) при условии, что z_Q = 0, и уравнений центроиды, получающихся аналогичным путем, следует уравнение для нахождения точки искомой характеристики:

где Полученное уравнение является трансцендентным. Для его решения необходимо применение численных методов. Решение уравнения (20.4) дает формулу для расчета значений его корней.

Для использования формулы (20.5) необходимо знать первое приближенное значение угла ф_и, выбор которого целесообразно проводить на основе использования мгновенной центроиды обработки детали. Последняя получается при разложении винтового движения оси П₀ на два составляющих движения, одно из которых — прямолинейное движение вдоль оси П₀, а другое — вращательное движение вокруг оси Z', параллельной оси обрабатываемой заготовки и отстоящей от нее на расстоянии b = Ptga. Прямолинейное движение оси П₀ как таковое не меняет положения ее в пространстве, и его можно не принимать во внимание. Поэтому остается только вращательное движение вокруг оси Z'. Если принять положение оси Z' постоянным, то возникает погрешность определения угла ср", что вполне возможно, так как на первом этапе требуется приближенное значение угла.

Координаты точек, принадлежащих профилю ИИП, определяют с помощью системы уравнений: