Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных v — v' и пара выходных k — k' зажимов.

Операторной или обобщенной частотной характеристикой Hfo (p) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цени = s^t) к операторному изображению внешнего воздействия x_v = x_v(t) при нулевых начальных условиях:

где,

Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений линейной цепи, находящейся под экспоненциальным воздействием, численно равно отношению операторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида (6.80):

Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике Я*_У0'со) достаточно в выражении (6.81) заменить р наусо. Следовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной характеристики при Re (/;) = а = 0.

Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов.

Как и комплексные частотные характеристики, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует одноименная операторная. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия на цепь, а какая в качестве отклика цепи, различают:

• операторное входное сопротивление

• операторную входную проводимость.

• операторные коэффициенты передачи по напряжению и току .

• операторное передаточное сопротивление

• операторную передаточную проводимость.

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости — размерность проводимости.

Методы определения операторных характеристик. Для нахождения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить усо на р. В общей случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения уравнений электрического равновесия цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях.

Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов v — V. Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения e_v(t) и построим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях. Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы ветвь, содержащая источник e_v(t) = E_v(p), явилась главной ветвью v-ro контура, составим систему контурных уравнений цепи в операторной форме. Используя формулы Крамера (4.11), находим ток v-й ветви, совпадающий с током v-ro контура:

где А (р) — определитель системы контурных уравнений, составленных в операторной форме; A_vv — алгебраическое дополнение элемента Z_vv(p).

С учетом выражения (6.88) определяем операторное входное сопротивление Z_vv(p) и операторную входную проводимость цепи со стороны зажимов v — v':

Аналогичным образом можно получить и передаточные функции цепи. С этой целью в соответствии с выражением (4.11) определяем ток и напряжение ветви, содержащей сопротивление Z/,(p) и являющейся главной ветвыо k-ro контура:

Подставляя выражения (6.88)—(6.90) в выражения (6.84)—(6.87), находим.

• операторный коэффициент передачи цепи по напряжению.

• операторный коэффициент передачи по току.

• операторную передаточную проводимость.

• операторное передаточное сопротивление.

В связи с тем, что определитель Д(р) и алгебраические дополнения A_vv(p), A_vk(p) представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а сопротивления контуров являются рациональными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная характеристика линейной электрической цепи НМ, не содержащей независимых источников энергии, также является рациональной функцией р с вещественными коэффициентами, т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов:

где а_х, Ь_х — вещественные коэффициенты, значения которых определяются параметрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.

Напомним, что значения аргумента ро/> ^ПР^И которых N (p) = 0, М (р) 5* 0, называются нулями, а значения аргумента p_xj, при которых М (р) = 0, N (p) ^ 0, — полюсами функции Hfa (p) — Решая уравнения Nip) = 0, М (р) = 0 и разлагая полиномы N (p) = 0 и М (р) = 0 на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду.

где К = а_п/Ь_т — вещественное число, называемое масштабным коэффициентом.

Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции НМ определяют ее значения с точностью до постоянного коэффициента К. Зная расположение нулей и полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное действие или построить ее АЧХ и ФЧХ.

Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексного переменного р = а + jco называется диаграммой нулей и полюсов или полюсно-нулевой диаграммой функции. При построении полюсно-нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственного) и а, нули изображают кружками, а полюсы — крестиками.

Пример 6.5. Для цени, схема которой приведена на рис. 6.12, а, найдем операторное входное сопротивление Z _1х(р) со стороны зажимов 1 — Г и операторный коэффициент передачи по напряжению К_2х(р) от зажимов 1 — Г к зажимам 2 — 2' в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2'. Построим диаграммы нулей и полюсов функций Z_Ux(p) и K_2xip).

Рис. 6.12. К примеру 6.5.

Ранее (см. п. 3.1) были получены выражения для комплексного входного сопротивления (3.9) и комплексного коэффициента передачи (3.14) данной цепи:

Заменяя в этих выражениях усо на р, находим операторное входное сопротивление и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

Нетрудно убедиться, что аналогичные результаты получаются при рассмотрении операторной схемы замещения цепи (рис. 6.12, а).

Полюсно-нулевые диаграммы функций Z_%(p) и К_2х(р) изображены на рис. 6.12, б_} в. Функция Zi_lx(p) имеет один нуль Ро 1 = -R/L, функция К_2х(р) имеет один нульр₀j = 0 и один полюс р_х1 = -R/L.

Пример 6.6. Найдем операторное входное сопротивление %х (р) последовательного колебательного контура (см. рис. 3.25, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диаграмму функции Z_llx(p).

Операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов:

Используя введенные ранее обозначения 6 = R/(2L) и coq = ⁼ l/VlC> запишем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде.

В зависимости от соотношения между величинами б и оз₀ операторное входное сопротивление может иметь:

• два различных вещественных нуля.

• два одинаковых вещественных нуля.

• два комплексно-сопряженных нуля

Рис. в.13. К примеру 6.6.

Во всех случаях функция Z, _1х(р) рассматриваемой цепи имеет один полюс р_х = 0.

Диаграммы нулей и полюсов функции 7._{{ [к}(р) для 5 > со₀, 6 = со₀ и 6 < щ изображены на рис. 6.13, а — в. Очевидно, что нули функции Z] |_х(р) являются полюсами функции У_11х(р), а полюсы Z_llx(p) — нулями Уц_х(р).

Из примеров 6.5 и 6.6 следует, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы операторной входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи. Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения.

Дифференцирующие и интегрирующие цепи. В радиотехнической практике широко используются устройства, напряжение м₂ ^на выходе которых практически пропорционально производной или интегралу от входного напряжения щ. Такие устройства называются соответственно дифференцирующими или интегрирующими цепями. В простейшем случае дифференцирование или интегрирование напряжения может производиться с помощью пассивных цепей (рис. 6.14).

Для определения требований к элементам, входящим в состав дифференцирующих и интегрирующих цепей, рассмотрим обобщенную схему замещения таких цепей (рис. 6.15). Если напряжение на выходе цени и₂ пропорционально производной от входного напряжения U (и₂ = a(du/dt), где aj — некоторое действительное число), то в соответствии с теоремой дифференцирования операторные изображения этих величин U₂(p) = и₂ и U (p) = и при нулевых начальных условиях должны быть связаны соотношением

Рис. 6.14. Схемы простейших дифференцирующих (а, б) и интегрирующих (в, г) цепей Следовательно, операторный коэффициент передачи, но напряжению дифференцирующей цепи должен быть пропорционален р: .

Аналогичным образом устанавливаем, что операторный коэффициент передачи по напряжению интегрирующей цепи должен быть пропорционален р^-1:

где а₂ — постоянный коэффициент.

Полагая, что сопротивление нагрузки обобщенной цепи столь велико, что током /₂(р) можно пренебречь по сравнению с 1(р), находим выражения для коэффициента передачи обобщенной цепи по напряжению:

Очевидно, что операторный коэффициент передачи обобщенной цепи может быть пропорционален р или р ¹ только при.

Рис. 6.15. Обобщенная схема замещения простейших дифференцирующих и интегрирующих цепей.

В этом случае для дифференцирующей цепи приближенно выполняется соотношение Z_a(p)/Zb (p) = ар> для интегрирующей цепи — Z_a(p)/Zb (p) = а ₂/р.

Для дифференцирующей цепи соблюдение условия (6.93) равносильно тому, что постоянная времени цепи x_L = L/R (см. рис. 6,14, а) или тс = RC (см. рис. 6.14, б) намного меньше длительности дифференцируемого сигнала.

Для интегрирующей цепи условие (6.93) означает, что постоянная времени цени должна быть значительно больше интервала интегрирования. Из условия (6.93) также вытекает, что напряжение на выходе щ простейших дифференцирующих и интегрирующих цепей оказывается намного меньшим, чем напряжение на входе их этих цепей. Увеличение напряжения и₂ может быть достигнуто путем усложнения схем дифференцирующих и интегрирующих цепей, в частности путем применения цепей, содержащих не только пассивные, но и активные элементы (см. п. 7.4).