Постановка задачи об оптимальном портфеле

В литературе широко представлены подходы к формированию оптимального портфеля с помощью моделей Блека, Марковица, Тобина. Задача оптимизации заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвесторов. Например, целевой функцией может быть минимизация риска при заданной доходности, или максимизация дохода при риске не выше заданного. При этом на компоненты вектора X, представляющего портфель, могут накладываться различные ограничения, зависящие от вида сделки, типа участвующих активов, величины открываемых позиций и т. д. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, называются допустимыми.

1. В модели Блека допустимыми являются любые портфели. Это значит, что вектор X удовлетворяет лишь основному ограничению.

Наличие коротких позиций (отсутствие условия неотрицательности) позволяет реализовать любую, сколь угодно большую доходность, естественно за счет большого риска.

• 2. В модели Марковица допустимыми признаются только стандартные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на вектор X накладываются два ограничения:
  • o основное = 1;

і.

o неотрицательности X; > 0 для всех и

Портфель называют стандартным, если инвестор по каждому активу находится в длинной (long) позиции. Длинная позиция — это, как правило, приобретение актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиций). Такая покупка в основном осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи. Допустим, что относительно некоторого актива инвестор уверен в обратном, т. е. в понижении его стоимости. В этом случае он может совершить сделку, которая называется короткой продажей (shortsale). Для этого он берет данный актив взаймы у другого инвестора (кредитора), сразу же продает его, а впоследствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает его своему кредитору. При этом он обязан выплатить кредитору текущий доход по активу за время сделки и некоторый процент за предоставление самой возможности сделки (за кредит). На большинстве фондовых бирж короткие продажи вполне допустимы и часто используются, но ввиду их особой рискованности биржи могут вводить ограничения на общую величину коротких позиций в сделках.

Особенность модели Марковица состоит в том, что доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

3. Модель Тобина — Шарпа — Литнера. В этой модели предполагается наличие так называемых безрисковых активов, доходность которых не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение.

Пример 30.4. Сформируйте портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг — APT с эффективностью 12% и риском 21,1 и ВЕРМ с эффективностью 5,1% и риском 8,3 при условии, что обеспечивается доходность портфеля (тпр = =^Х (пи) не менее 8,9%. Коэффициент корреляции 0,18.

Решение. Модель Марковица может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти вектор X = (Xt, Х2), минимизирующий риск портфеля с,; Х — доля в портфеле ценных бумаг APT; Х2 — доля в портфеле ценных бумаг ВЕРМ;

При ограничениях:

Графический метод решения задачи дает следующие результаты (рис. 30.10).

Минимальный риск портфеля 12,88% достигается в точке пересечения линий (Х = 0,55 и Х2 = 0,45), соответствующих ограничениям Хх + Х2 = 1 и 12Xt + 5,1Х2 > 8,9 и целевой функции.

Ответ. Минимальный риск портфеля 12,88% будет достигнут, если доля акций APT составит 0,55, а доля акций ВЕРМ 0.45.

Рис. 30.10. Определение минимального риска портфеля инвестиций.

Пример 30.5. Найдите оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг КЕХХ, 5ЛК и ЫКХ с доходностью и риском.

Матрица коэффициентов корреляции.

Верхняя граница риска задана равной 16. Решение. Модель может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти вектор X = (X, Х2, Х3), максимизирующий доходность портфеля тр.

Х1 — доля в портфеле ценных бумаг ЯЕХХ. Х'і - доля в портфеле ценных бумаг 5/^5. Хз — доля в портфеле ценных бумаг ЫКХ.

Матрица ковариаций получена с использованием формулы.

Coij =

В результате решения получена максимально возможная доходность портфеля 11,29%.

Ответ. Максимальную доходность 11,324% можно получить, если доли акций ЯЕХХ, Ш и ЫКХ составят 0,47, 0,29 и 0,25% соответственно.