Элементы алгебры логики

Алгебра логики — это раздел математической логики, значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1.

Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями, которые принимают значение истинности или ложности. Логическое высказывание удовлетворяет закону «исключающего третьего», т. е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Пример Логические высказывания:

¦ «Программа работает хорошо» — это утверждение может быть истинным или ложным;

¦ «2 умножить на 2 равно 4» — истинное утверждение;

¦ «Частное от деления 10 на 2 равно 3» -ложное утверждение.

В алгебре логики все высказывания имеют символьное обозначение (например, а, b, с), над ними можно производить действия (операции). Результаты операций будут также элементами алгебры логики.

К простейшим операциям в алгебре логики относятся:

¦ логическое сложение или операция ИЛИ (OR), операция дизъюнкции, обозначают как + или ?;

¦ логическое умножение или операция И (AND), операция конъюнкции, обозначают как * или ?.

Для операций алгебры логики используются аксиомы, теоремы и следствия, применяются следующие законы.

1. Сочетательный:

2. Переместительный:

3. Распределительный:

Справедливы соотношения:

Наименьшим элементом в алгебре логики является 0, наибольшим — 1. Операция отрицания (операция НЕ (NOT)) — инверсия, обозначается чертой над элементом.

По определению:

Справедливы, например, такие соотношения:

Функция в алгебре логики — выражение, которое содержит элементы алгебры логики а, b, с, связанные операциями.

Примеры логических функций:

Согласно теоремам разложения функций на конституанты (составляющие) любая функция может быть разложена на конституанты:

Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.