Скалярное поле.
Градиент
Вектор-градиент имеет направление быстрейшего возрастания функции в данной точке, а длина его равна скорости изменения функции Тх, у z) в этой точке. Скорость изменения функции Т в любом направлении, исходящем из некоторой точки А/, равна проекции вектора-градиента в точке Л/ на это направление. Где F (x, y, z)= Ft (x.y.z)i+ Fy (x, y, z) j + Ft{x, y. z) k F — векторная функция точки с координатами… Читать ещё >
Скалярное поле. Градиент (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Пусть нам задана некоторая скалярная функция (например, температура) Т{х, у z) от координат точки, определенная в некоторой части пространства или во всем пространстве. В таком случае говорят, что в этой части пространства задано скалярное поле [14,15].
Если в поле отметить все точки, в которых функция сохраняет постоянное значение, то эти точки образуют поверхность уровня. Уравнение поверхности уровня:
При перемещении по поверхности уровня функция Т не меняется. Если переместиться по направлению нормали к поверхности уровня, то в этом направлении функция 1х, у, z) будет изменяться быстрее, чем в любом другом направлении. Построим в точке М (х, у, z) поля вектор, перпендикулярный к поверхности уровня, проходящей через эту точку, направленный в сторону возрастания функции Т и имеющий своими проекциями на оси координат частные производные функции: 
Вектор этот называется градиентом скалярного поля:
где / , j, k — единичные векторы (орты) вдоль направления осей координат, соответственно х, уи2.
Модуль градиента функции Т:
Для градиента справедливы следующие соотношения:
Вектор-градиент имеет направление быстрейшего возрастания функции в данной точке, а длина его равна скорости изменения функции Тх, у z) в этой точке.
Скорость изменения функции Т в любом направлении, исходящем из некоторой точки А/, равна проекции вектора-градиента в точке Л/ на это направление.
Для обозначения градиента иногда применяют символический дифференциальный оператор, называемый наблаЧ. Вектором набла называют оператор Гамильтона:
Будучи применен к скалярной функции Г, дифференциальный оператор V соответствует градиенту функции Т [3].
При этом в декартовых координатах (рис. 2.1) имеем:
где F (x, y, z)= Ft(x.y.z)i+ Fy(x, y, z)j + Ft{x, y. z) k F — векторная функция точки с координатами (х, у, г); Ф (х, у, г) - скалярная функция этой точки.
В цилиндрических координатах:
где.
В сферических координатах:
Действия с оператором V:
Легко показать, что.
Оператор Лапласа А определяется по формуле:
Его действия на скалярную Ф=Ф (х, у, z) и векторную F = F (x, у, z) функции равны соответственно:
Если функция Ф задана в цилиндрических координатах Ф = Ф (г,^, г), то действие оператора Лапласа сводится к выражению:
Если Ф задана в сферических координатах Ф = ф (г, 0,<�р), то.
