Классическое определение вероятности

Случайные события обладают некоторой степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей. Для некоторых из них сразу можно решить, какое более, а какое менее возможно. Чтобы такие события сравнивать между собой, нужно с каждым событием связать число, которое тем больше, чем более возможно событие ((вероятность).

Вероятность события — численная мера степени объективной возможности этого события. Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятными. Вероятность события А оценивают по относительной доле благоприятных событий. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих ему исходов т к общему числу всех равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу л, которое вычисляется по «классической формуле»:

Число благоприятных событий всегда заключено между 0 и л. Для невозможного события Р (А) = — = - = 0, для достоверного — Р (А) = — = — = 1. По;

л л л л этому вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0 < Р (А) й 1.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют наиболее употребительные формулы комбинаторики, связанные с подсчетом числа перестановок, размещений и сочетаний элементарных исходов.

Число возможных перестановок — комбинаций из л различных элементов, отличающихся только порядком их расположения, определяется как Р_п = п, где rA = 1 • 2 •… • л; по определению 0! = 1.

Например. число возможных комбинаций расположения фаз Л, 5, С трехфазной ЛЭП при транспозиции равно Р₃ = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Число возможных размещений — комбинаций из п различных элементов по т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, определяется как Д," = п (п — 1)(л — 2)…(л — т +1).

Например. число сигналов, состоящих из двух комбинаций импульсов из 6 возможных, поступающих диспетчеру ЭЭС, равно Д* = 6 • 5 = 30.

Число возможных сочетаний — комбинаций из п различных элементов по /я,.

п}

отличающихся хотя бы одним элементом, определяется как С" = —-—^:—г-.

т (п — ту.

Пример. Число сигналов, состоящих из 2 разных, не повторяющихся импульсов из 6 возможных, поступающих диспетчеру ЭЭС, равно С" — ^6! -15.

⁶ 2! (6 — 2)!

Размещения, перестановки и сочетания связаны равенством ДГ = Р_тС".

Пример. В РП установлено 0 = 5 автоматических выключателей. Нормальная работа потребителей обеспечивается при их исправном состоянии. При монтаже РП выключатели выбирались из партии объемом к = 1000 штук, в которой было к — 950 исправных выключателей и кг = 50 неисправных (к+ к} = к). Найти: а) вероятность исправной работы РП (Q = 5); б) вероятность того, что в РП окажется два (02 ⁼ 2) неисправных выключателя (0i+ 0₂ = 0 ~ 5).

Решение, а) Событие А — исправная работа РП. Оно осуществляется если все выключатели выбраны из числа исправных (0i = 0=5). Общее число элементарных событий — п = С? = Cfgoo, а число событий, благоприятствующих событию А: т = С% = С^. Тогда вероятность события А определится как.

б) Событие А — среди 0=5 установленных на РП выключателей 0₂ = 2 оказались неисправными. Число событий, благоприятствующих событию А: т = С? ? CfJjf = Сзд С?. Общее число элементарных событий то же, что определенное ранее — п = Cf = С,⁵^. Вероятность искомого события А

Если проведена серия из п опытов, в каждом из которых могло появиться событие А, то частотой этого события называется отношение числа опытов, в которых оно появилось т, к общему числу произведенных опытов п:

При относительно небольшом числе опытов частота события в значительной мере случайна и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Частотное определение вероятности наиболее широко применяется в современной математической статистике.

Например. число ежегодных повреждений ЛЭП при одинаковых условиях их эксплуатации может существенно отличаться.

При увеличении числа опытов (периода наблюдений) частота события все более теряет свой случайный характер. Случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, «сходиться по вероятности», приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней, постоянной величине.

Математическую формулировку этой закономерности дал Я. Бернулли¹ в теореме, представляющей простейшую форму закона больших чисел (см. п. 7.9). Величина Х_п сходится по вероятности к величине а, если при сколь угодно малом е вероятность неравенства Х"-а<�е с увеличением п стремится к 1. При неограниченном увеличении числа опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте: при п -> «вероятность Р{Х_Я — д|} < е -* 1.

Вероятность Р (А) можно рассматривать и как показатель степени уверенности в справедливости суждения А. В этом случае вероятность связывается с шансами выигрыша при определенных условиях.

Например, угверждение о том, что изменение конструктивных особенностей изделия или системы приведет к повышению эффективности их функционирования, определяется вероятностью равной 0,75. Это то же самое, что шансы на успех составляют один к трем. Такая вероятность является субъективной, поскольку отражает степень нашей уверенности в эффекте изменения конструкции, основанной на инженерной оценке или личном опыте.

На основании изложенного отметим, что случайные события могут описываться с помощью вероятностного пространства, задаваемого триадой (5, Е, Р), где S — пространство элементарных событий, Е — подмножества пространства элементарных событий, Р — вероятностная мера подмножеств событий (вероятность элементарного исхода).

При менее строгом, но более наглядном статистическом определении вероятность Р (А) случайного события А представляется как предел частоты появления события А при проведении опытов в одинаковых условиях и устремлении количества опытов п к бесконечности. При относительно небольших значениях п частота события Р'(А) может колебаться, однако по мере увеличения п постепенно стабилизируется и при п -+ ос стремится к пределу Р (А).

Рассмотрев два подхода к исходным понятиям теории вероятностей — на основе теории множеств и классический, — установлено соответствие терминологических рядов теории вероятностей и теории множеств [19] (табл. 7.2).

Таблица 7.2.

¹ Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский учёный, профессор математики Базельского университета, доказавший одну из теорем закона больших чисел.