Разрядка емкостного (С) элемента в цепи с резистивным (R) и индуктивным (L) элементами

Большое практическое значение имеет цепь разрядки емкостного элемента через последовательно соединенные индуктивный и резистивный элементы, например, в генераторах импульсных напряжений с конденсаторами в качестве источника энергии.

Предположим, что емкостной элемент С (рис. 2.6) был сначала заряжен от источника постоянной ЭДС до напряжения, равного Е (ключ К в положении 1). Затем ключ К переводится в положение 2 и емкостной элемент подключается к последовательно соединенным индуктивному L и резистивному R элементам (эти элементы практически могут быть элементами схемы замещения катушки индуктивности).

Емкостной элемент начинает разряжаться (ток разрядки /), его заряд q и напряжение ис убывают. При этом энергия электрического поля емкостного элемента преобразуется в.

Рис. 2.6. Схема разряда емкости в цепи с резистором и индуктивностью

энергию магнитного поля индуктивного элемента и частично рассеивается в резистивном элементе. В зависимости от значений параметров элементов цепи процесс преобразования энергии может быть апериодическим или колебательным.

Запишем для контура, обозначенного пунктиром, дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:

Так как положительные направления тока и напряжения на емкостном элементе противоположны, т. е. ток i — это ток разрядки, то, как и для цепи по рис. 2.5, а,.

После подстановки (2.22) в (2.21) получим однородное дифференциальное уравнение цепи второго порядка:

характеристическое уравнение которого.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (2.23) состоит только из свободной составляющей:

где р ___/_?___L корни характеристического уравнения.

• 2 ^{21 41) LC}
• ^(2.24).

^{При R2/4L2 >/LC оба корня характеристического уравнения действительные и разрядка емкостного элемента имеет апериодический характер-, при R2/4L2 корни комплексно сопряженные и разрядка имеет колебательный характер.}

Рассмотрим сначала случай комплексно сопряженных корней характеристического уравнения:

где д = R/2L — коэффициент затухания, а со₀ = -Jl/LC — S² — собственная угловая частота колебательного процесса.

Подставив комплексные значения корней в (2.25), получим зависимости от времени при колебательном процессе напряжения на емкостном элементе, а затем по (2.22) разрядного тока:

Для определения постоянных интегрирования А и Аг обратимся, как и в других задачах, к законам коммутации для индуктивного и емкостного элементов. До коммутации и, в частности, в момент времени t=0_, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкостном элементе равнялось ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому

Из совместного решения этих уравнений получим:

Подставим эти значения в (2.27, а) и учтем, что по формуле Эйлера.

В результате получим зависимость изменения напряжения на емкостном элементе от времени в виде.

Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно заменить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение со₀/д = tgy/, т. е. будем считать, что со₀ и S — катеты прямоугольного треугольника (рис. 2.7), гипотенуза которого

Разделив и умножив (2.28) на /4Тс, получим.

1.

и по (2.27, б) разрядный ток.

Зависимости (2.29) и (2.30) показывают, что напряжение емкостного элемента и разрядный ток можно рассматривать как синусоидально изменяющиеся по времени величины, но с амплитудами, уменьшающимися по экспоненциальному закону при постоянной времени г = /S = 2L/R.

Для построения соответствующих зависимостей (рис. 2.8) можно сначала построить вспомогательные экспоненты.

±—4—expirbt) Д^ля напряжения (2.29) и _± JL__exp L. _ЬЛ

co₀VZcT ' (o₀L

для тока (2.30).

Рис. 2.7. Треугольник частот.

Кривые изменения напряжения и тока (рис. 2.8) должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами.

Для нахождения характерных точек кривой изменения напряжения емкостном элементе, таких как w_c(o) =? и u_c(f) — 0, на рисунке показана точками вспомогательная кривая — синусоида.

Рассмотрим теперь случай действительных отрицательных корней р_у2 характеристического уравнения (2.24).

Если R²/4Z,² >l/LC, то действительные корни имеют различные значения, причем р₂< р_{<0. Для нахождения А и Аг в общем решении (2.25) воспользуемся аналогично предыдущему законами коммутации для емкостного и индуктивного элементов:

Из совместного решения этих уравнений получим:

Подставив найденные значения постоянных интегрирования в (2.25), получим зависимости напряжения на емкостном элементе:

Рис. 2.8. Зависимости тока и напряжения от времени при разрядке емкости на катушку индуктивности.

и тока разрядки.

Кривые изменения напряжения и тока показаны на рис. 2.9, где пунктиром нанесены также вспомогательные экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение и ток не изменяют знака, т. е. разрядка емкостного элемента апериодическая.

Для предельного случая апериодического процесса, если R²/AL² = /LC, характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня р_х = р₂ = р = -R/2L (кратные корни). При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (2.23) отличается от (2.25) и имеет вид:

где постоянные Л и Л₂ определяются на основании законов коммутации.

Зависимости напряжения на емкостном элементе и тока для предельного апериодического процесса разрядки имеют вид:

Рис. 2.9. Кривые изменения напряжения и тока от времени по схеме рис. 2.6.