Теплопроводность в объемных телах неограниченных размеров (одномерная задача)
Общее решение уравнения (14.1) запишется в виде интеграла от частных решений вида (14.24). Из этого уравнения следует, что величина С равна площади под кривой (14.22). Подставив значение С в (14.22), получим решение (14.1) в другой форме: С начальным условием Ранее (14.7) было показано, что температура. Так как jexp (- р2) dp = л/я, то Г (х, т = 0) = F (x) и, значит, функция (14.27). Где С… Читать ещё >
Теплопроводность в объемных телах неограниченных размеров (одномерная задача) (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим задачу для бесконечно твердого тела с заданным начальным распределением температуры, когда она меняется только в направлении х.
Для определения температурного поля в любой момент времени т > О [Тх>0 = /С*, т)] требуется решить уравнение (14.1).
с начальным условием Ранее (14.7) было показано, что температура.
удовлетворяет уравнению (14.1).
Для выяснения физического смысла постоянной С, входящей в уравнение (14.22), определим количество теплоты 0, содержащейся в бесконечном параллелепипеде (вдоль оси х) с основанием dydz.
Количество теплоты элементарного объема dydzd (? -х) (рис. 14.2, а) параллелепипеда заштриховано:
где С — теплоемкость тела; I- — длина бесконечного тела.
Интегрируя последнее выражение с учетом (14.7) получим количество теплоты бесконечного параллелепипеда:
Рис. 14.2. К определению постоянной С в уравнении (14.22): а — параллелепипед бесконечных размеров; б — зависимость температуры Т=/(х, т) для параллелепипеда.
Из этого уравнения следует, что величина С равна площади под кривой (14.22).
Из (14.22) видно, что в зависимости от времени т кривая Г = /(т) тем круче, чем меньше время т (рис. 14.2, б). При переходе к пределу т -> 0 в (14.22) площадь под кривой сохраняется.
Начальную температуру Тх=0 можно рассматривать как высоту элементарной площадки с основанием d? (рис. 14.3), площадь которой равна ПОСТОЯННОЙ С|.
Используя (14.23) и учитывая, что для элементарной площадки вместо Q следует взять bQ, получим:
Подставив значение С в (14.22), получим решение (14.1) в другой форме:
Общее решение уравнения (14.1) запишется в виде интеграла от частных решений вида (14.24).
Известно, что общее решение линейного дифференциального уравнения (14.1) для рассматриваемой задачи:
Произведем замену переменной в (14.25).
р = Д== или 4 = * + (W4or, d?, = лМатсф, (14.26).
л/4ат после такой замены уравнение (14.25) примет вид:
или Теперь покажем, что (14.27) удовлетворяет не только (14.1), но и начальному условию: т = 0, Т = F (x). 
Соответственно уравнение (14.27) примет вид:
+°° / V.
Так как jexp (- р2)dp = л/я, то Г (х, т = 0) = F (x) и, значит, функция (14.27).
— со удовлетворяет начальному условию (т = 0).