Возникновение счета. 
История и методология науки и техники. 
Информационная сфера человеческой деятельности с древнейших времен до начала xvi века

Если возникновение языка со всей его сложной системой значений и грамматических категорий до сих пор представляется чем-то вроде чуда, то возникновение счета (а также измерения) кажется простым и естественным. Обычно пишут, что человек снабжен естественным счетным устройством — пальцами рук и ног, что первыми мерами были тоже части человеческого тела — пальцы, локоть, стопа и др. Но ведь для того, чтобы пользоваться этими естественными средствами, нужно было уже научиться считать и измерять!

Посмотрим, какими понятиями нужно было овладеть для счета. Первое условие — наличие индивидуальных объектов, поддающихся счету. Возможно, исходно такими объектами были сами люди.

Карл Маркс в одном из примечаний к знаменитой первой главе «Капитала» предположил, что человек, смотрясь, «как в зеркало, в другого человека», вырабатывал представление и о себе, и об этом другом человеке как индивидуумах. Это и было первое необходимое понятие. Вероятно, следующим шагом была индивидуализация животных (и крупных растений) — ведь первобытный человек относился к животным как к подобным себе.

Очень важной была выработка представления об однородности, повторяемости индивидуальных объектов. В этом отношении, наверное, сыграли свою роль происходившие перед глазами первобытного человека естественные повторяющиеся явления, такие как восходы и заходы Солнца, загадочные для него чередования лунных фаз, смена времен года. К этому вопросу мы вернемся, когда будем рассматривать происхождение измерения.

Далее могли проходить параллельно или с некоторым сдвигом во времени два процесса.

С одной стороны, должно было выработаться представление о небольших множествах однородных объектов как единых совокупностях — двое животных образуют пару и т. д. Для таких множеств могли появиться специальные обозначения — прототипы количественных числительных (возможно, сначала различные для объектов разного рода). Без наглядных примеров небольших множеств не могло бы возникнуть общее понятие совокупности объектов.

С другой стороны, человек должен был научиться ставить элементы разных совокупностей во взаимно-однозначное соответствие. Может быть, вначале играли роль соображения симметрии — кольев с одной стороны хижины должно быть столько же, сколько с другой. После этого или одновременно с этим могли вырабатываться навыки сравнения и различных совокупностей: обтесанных камней для топоров должно быть столько же, сколько рукояток.

Теперь для того, чтобы сформировалось общее (не зависящее от природы считаемых объектов) понятие числа, необходимо было найти стандартное множество, с которым можно было сравнивать все другие совокупности, — своего рода счетную валюту. Вот таким стандартным множеством и стали вначале пальцы рук и ног. Остатки «пальцевого счета» мы видим в форме римских цифр I (палец), V (ладонь с отставленным большим пальцем) и X (две ладони), в рудиментах двадцатиричной системы счисления, сохранившихся во французском языке; о счете на пальцах говорят многочисленные этнографические свидетельства.

Когда с помощью реальных стандартных множеств люди выработали названия хотя бы для нескольких первых чисел, произошло, как вслед за Карлом Марксом говорит в статье, вышедшей в 1936 году, замечательный советский философ и логик Софья Александровна Яновская [14], оборачивание ролей: названия чисел сами стали рассматриваться как элементы стандартного множества.

Момент оборачивания ролей важно хорошо понять, потому что были (а может быть, и есть) философы и математики, рассматривавшие натуральные числа как предшествующие вещам. Можно даже встретить такое высказывание: «Натуральные числа дал нам Господь Бог».

То, что первых названий чисел было немного, не очень мешало: совокупности объектов, выходящие за пределы известных людям чисел, можно было делить на равночисленные группы и считать уже эти группы — например, связки шкурок белок, о чем тоже будет сказано в разделе, посвященном измерению. Помогало этому наличие таких естественных групп, как «рука» (5 пальцев) или «целый человек» (20 пальцев).

Счет группами помогал выработке и систем записи чисел. Первыми появились непозиционные системы счисления, в которых группе единиц присваивался новый знак, группе этих групп — еще один новый знак и т. д. (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Египетская система записи чисел (по Э. Тэйлору).

После выработки понятия натурального числа (естественно, вначале совсем не строгого понятия) нужно было сделать еще один шаг — увидеть, что счет может продолжаться бесконечно. Но этот шаг вряд ли мог быть сделан в донаучную эпоху.