Метод решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью формализации операций компьютера

Многие научные, технические, экономические и другие задачи приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Однако, класс дифференциальных уравнений (см. например [1−3]), допускающих аналитическое решение, достаточно узок. Поэтому обычно не удается избежать численного моделирования. Заметим, что в некоторых случаях, когда аналитическое решение уравнения существует, но требует большого объема алгебраических выкладок, компьютерные методы могут оказаться даже предпочтительнее аналитических, так что эти подходы в принципе способны взаимодополнять друг друга. И хотя применение современной компьютерной техники дает возможность разрешать многие сложные задачи, поиск аналитических (или полуаналитических) подходов не теряет актуальности. В отличие от численного, решение в явном аналитическом виде позволяет получить больше информации о задаче, увидеть решение в целом с его качественными особенностями, асимптотиками и т. д., — что важно, например, для физического описания явлений. Также существенно, что аналитические решения, даже частные, могут являться тестами, играющими большую роль при разработке численных методов.

В классических численных подходах используется вычислительное устройство (компьютер), определяющее представление решения фактически в виде чисел. Тем самым теряется общность, присущая явному представлению решения в аналитической форме. Также существенными являются вопросы выбора подходящей численной схемы, исследования ее на устойчивость, трудности, связанные с программированием и т. д. Поэтому возможность получения явного представления решения привлекательна. Поиск новых методов (тем более обладающих достаточной общностью), которые приводили бы к получению явных аналитических решений является актуальной задачей.

Для построения решений дифференциальных уравнений в явном виде существуют различные подходы. Отметим известный метод представления решения в виде ряда по степеням аргумента, который имеет, однако, существенные ограничения: точность приближения бывает трудно оценить, коэффициенты сложно вычислить, а сходимость ряда может оказаться медленной. Но основной недостаток такого подхода (применяемого в основном к линейным уравнениям) заключается в том, что часто ряд имеет конечный радиус сходимости (в частности, радиус может быть равен нулю), т. е. удается получить решение лишь для ограниченного значения аргумента. Продвижение на величину отрезка, меньшего радиуса сходимости, и получение затем новых граничных условий с повторением процесса приводит, по сути, к рекуррентным формулам (как в разностных схемах), для разрешения которых требуется вычислительная техника.

Среди численных подходов решения задач для дифференциальных уравнений особое место принадлежит методу конечных разностей ввиду его универсальной применимости. Однако конечно-разностные методы, представляющие собой рекуррентные формулы, также требуют использования компьютеров для вычисления значения искомой функции на требуемом слое.

В данной работе предлагается новый метод решения дифференциальных уравнений (основной интерес представляют нелинейные, но он применим, конечно, и к линейным уравнениям) с помощью математической модели вычислительного устройства, в которой формализуются и обобщаются фундаментальные свойства компьютера при работе с числами. Заметим, что рассматриваемый метод направлен на получение именно аналитического представления решения, которое, в принципе, не требует применения вычислительной машины, то есть идеологически метод направлен «от компьютера к аналитике». Известные логические модели компьютеров, например Тьюринга или Поста, явились прообразом будущих реальных вычислительных устройств. Также аналогичную цель (направленности «от формул к машине») имеют современные теоретические разработки новых типов компьютеров, например, квантовых. Компьютерная алгебра (в частности символьные вычисления) имеет целью разработку новых алгоритмов и аналитических методов, но для использования в вычислительных устройствах.

В настоящей диссертационной работе разрабатывается новый метод для решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем. В данном подходе исключаются решения на промежуточных слоях в разностной схеме и тем самым можно получить явное представление решения. В результате значение искомой функции на последнем слое выражается через начальные условия (в задаче Коши). При этом используется произвольная сходящаяся к решению исходного уравнения разностная схема, которую мы называем «руководящей». Решение ищется в виде отрезков ряда по степеням шага независимой переменной. При построении решения проводится математическая формализация основных операций над числами в компьютере, а именно ограничения количества разрядов при задании числа и переноса значений из разряда в разряд. Поэтому данный метод может быть назван «методом компьютерной аналогии». В процедуре переноса разрядов также используются операции выделения остатка от деления чисел, старшие разряды фактически являются генераторами псевдослучайных чисел. С использованием вероятностных методов проводится осреднение и исключение промежуточных действий. Приводятся примеры решения нелинейных дифференциальных уравнений и систем уравнений.

Подчеркнем, что смысл создания такого метода — попытка найти алгоритм для получения аналитического (или полуаналитического) явного представления решения.

Основные результаты по построению и применению этого подхода отражены в наших работах [4−15].

Опишем кратко содержание работы.

В первой главе рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Вводятся основные понятия, термины и обозначения. Формулируются основная проблема данной работы — изучение возможности построения явного решения для нелинейных дифференциальных уравнений. В общем виде рассматривается разностное решение, которое будет использоваться для построения аналитической аппроксимации. На примерах показывается, что в простейших случаях точное решение можно получить непосредственно из разностного за счет последовательного раскрытия рекуррентной зависимости и предельного перехода при стремлении шага схемы к нулю. Рассматривается простая модельная нелинейная задача Коши, на примере которой изучаются основные этапы алгоритма. Для модельной задачи показывается, что представление решения в виде отрезка степенного ряда, где коэффициенты при степенях шага ничем не ограничены, не обеспечивает сходимость к точному решению (или требует быстрого нарастания количества членов отрезка ряда с ростом величины аргумента).

Во второй главе вводится понятие «позиционной Тсистемы счисления», в которой в качестве основания выбирается величина, обратная к шагу разностной схемы. Описывается представление чисел в такой системе счисления. Формулируется и доказывается теорема о том, что численное решение может быть представлено в виде ряда по степеням шага выбранной разностной схемы. Выводится формула для такого представления. Указывается, что в общем случае невозможно обеспечить сходимость к решению исходной задачи, если на каждом слое удерживать лишь фиксированное количество членов в представлении решения. Вводится процедура переноса разрядов, гарантирующая, что при переходе от п-то шага к [п + 1) -му коэффициенты в представлении решения в виде т-системы счисления не превысят основания этой системы, а следовательно, представление решения будет отрезком сходящегося ряда. Формулируются и доказываются теоремы о достаточном количестве членов в отрезке ряда для представления решения.

В третьей главе описываются стохастические свойства старших разрядов в представлении решения в предлагаемом методе. Показывается, что некоторые коэффициенты в представлении решения можно рассматривать как линейные конгруэнтные генераторы, связанные между собой через операции переноса разрядов. Рассматривается численное моделирование стохастического поведения коэффициентов и проверяется справедливость предположения о случайном распределении величин старших коэффициентов. Важным является приближенное совпадение математического ожидания и дисперсии с идеальными теоретическими аналогами, подтвержденное численными экспериментами. Оценивается ошибка при замене величин переноса разрядов их математическими ожиданиями.

В четвертой главе приводятся основные шаги алгоритма в методе компьютерной аналогии, которые используются для всех задач. На примерах демонстрируется решение дифференциальных уравнений разработанным методом. Рассматривается усеченное и полное решение модельной задачи, и решение простой системы нелинейных дифференциальных уравнений.

В пятой главе приводятся примеры построения решения методом компьютерной аналогии для задач, не разрешимых в квадратурах или не имеющих решения в элементарных функциях. Для некоторых задач приводится оценка времени вычислений. Рассматривается задача Коши, не разрешимая в элементарных функциях, задача Коши для уравнения Риккати, не разрешимая в квадратурах, приводится пример нелинейной системы, не имеющей аналитического решения (для нее строятся также асимптотики при малых и умеренных значениях аргумента), на примере осциллятора Ван дер Поля показывается, что в случае, когда не удается выразить решение через начальные условия, решение предлагаемым методом воспроизводит качественные особенности точного решения, причем даже в тех случаях, когда сходимость не гарантируется.

Заключение

.

В настоящей работе проанализирована возможность формализации операций компьютера и на этой основе предложен принципиально новый подход, позволяющий искать представление решения для любых нелинейных дифференциальных уравнений, для которых выписана сходящаяся (аппроксимирующая уравнение и устойчивая) разностная схема. Основные этапы построения решения заключаются в выборе руководящей схемы, представлении решения в виде ненормированной разрядной сетки, определения необходимого числа членов отрезка ряда, чтобы обеспечить требуемую точность, приведения ее к нормированному виду и нахождению прямой или обратной зависимости коэффициента линеаризации и номера шага.

Полученное представление решения, ~ подчеркнем это, — не содержит рекуррентной зависимости, что отличает его от формулы разностной схемы и дает преимущества явного задания решения. По сравнению с известными методами представления решения, например, в виде ряда по степеням аргумента, предложенный метод обеспечивает сходимость ряда по степеням шага аргумента при условии сходимости руководящей схемы, что существенно расширяет область применимости метода по сравнению с такими традиционными подходами.

Применяя вероятностные методы, удается исключить промежуточные слои, которые дает руководящая схема. При этом, конечно, требуется выполнить предварительную аналитическую работу при нахождении теоретических вероятностей, трудоемкость которой зависит от сложности задачи.

Рассмотрены простые примеры нелинейных уравнений, допускающих квадратуры, а также уравнений и систем, не имеющих известных аналитических представлений. Безусловно, метод нацелен на применение для сложных нелинейных систем уравнений. Одно из возможных перспективных.