ХХУ1 съезд КПСС на одиннадцатую пятилетку поставил задачу еще большего подчинения развития науки и техники решению экономических и социальных задач советского общества, ускорению перевода экономики на путь интенсивного развития, повышению эффективности общественного производства. В связи о этим необходимо расширить автоматизацию цроектно-консарукторских и научно-исследовательских работ с црименением электронно-вычислительной техники, развивать математическую теорию, повышать эффективность ее использования в прикладных целях, совершенствовать вычислительную технику, ее элементную базу и математическое обеспечение.
I].
С увеличением парка ЭВМ возникла проблема повышения эффективности их использования. Критерием эффективности использования ЭВМ становится время, затрачиваемое на решение задачи от ее постановки до получения результатов в надлежащей форме.
То программное обеспечение, которое поставляется вместе с ЭВМ не может удовлетворить многогранные потребности практики. В связи с этим во многих организациях под руководством видных советских ученых академиков А. А. Дородницына, А. А. Самарского,.
A.Н. Тихонова, Н. Н. Яненко и членов — корреспондентов Ш СССР Н. Н. Говоруна, А. П. Ершова, Н. Н. Моисеева ведутся работы по созданию комплексов программ и специализированного математического обеспечения, направленного на решение актуальных народнохозяйственных задач, требующих быстрого и качественного решения. Интересные научные результаты в этом направлении получены.
B.В. Воеводиным, В. П. Ильиным, А. Н. Коноваловым, И. Н. Молчановым, В. Л. Рвачевым, И. В. Сергиенко, Б.Г. ТаммОм, Э. Х. Тыугу, И. В. Вельбицким и др.
Особо важное значение имеет создание автоматизированных проблемно-ориентированных пакетов программ (Генераторов Программ) [2,3], основанных на принципе интеграции ресурсов ЭВМ, программных средств обслуживания задач, специфики отдельных компонент общесистемного математического обеспечения. Генераг-торы црограмм (И) реализуют более рациональную организацию ведения диалога с пользователями, позволяющую скрыть от них сложный процесс управления передачи информации между ГП, ОС и внешней средой и упростить входные языки. При этом возможность обращения к машине помогает пользователю найти за цриемлемое время нужное решение при условии оперирования относительно небольшим числом параметров и вариантов решения задачи [4] .
В качестве примеров специализированных систем црограширо-вания можно цривести:
— пакеты црограмм для решения задач линейной алгебры [5−8];
— пакет npoipaMM численного интегрирования [ 9 ] ;
— пакет программ «Вектор-I» [ю] для одного класса дискретной оптимизации;
— пакеты црограмм для решения задач, относящихся к определенным областям науки и техники [П-1б].
Среди проблем, на которые должны быть сориентированы автоматизированные пакеты программ, особое место занимают разработки цредназначенные для решения краевых задач математической физики [17]. Дело в том, что с проблемой математической физики тесно связан широкий круг научно-технических направлений как у нас в саране, так и за рубежом. Это цроблемы электростатики и электродинамики, теории упругости и пластичности, теплофизики, гидродинамики, теории фильтрации и многие другие [16, 17−30] .
Можно без преувеличения отметить, что принципиально наиболее сложными цроблемами в этих научных направлениях являются именно краевые задачи математической физики, связанные с расчетом и исследованием тех или иных физико-механических полей в Характерной особенностью полей является их зависимость как от вида уравнений и краевых условий, так и от геометрических форм, имеющих в реальных конструкциях часто весьма сложную конфигурацию, которую необходимо учитывать при составлении разрешающего алгоритма.
В последние годы наряду с такими эффективными методами решения краевых задач как сеточные, конечных элементов и др., получил широкое распространение предложенный B.JI. Рвачевым структурный метод [31], который в сочетании с вариационными, а также некоторыми аналитическими методами, например интегральных преобразований и др., позволил решать широкий круг задач математической физики [32−37] .
Структурный метод (метод Ц — функций) позволяет решить задачу построения пучка функций, цринимающих в точках границы области заданные значения. Входящее в структуру решения уравнение границы области строится с помощью И — функций [38], позволяющих все данные о геометрической форме цревращать в четкую математическую формулу, которую легко задать ЭВМ. Простота метода R, — функций делает его широко доступным, а возможность использования типовых структур и стандартных базисных областей позволяет црименять методы системного программирования. Этот метод позволяет строить структурные формулы для краевых задач с различными типами зраничных условий и всему процессу построения координатных последовательностей придать рекуррентный характер.
В Институте цроблем машиностроения Ш УССР к настоящему времени уже созданы и эксплуатируются ори версии генераторов программ СГП) серии «Поле», базовым математическим аппаратом которых, является структурный метод (метод Q. — функций), который оказался весьма удобным цри автоматизации решения широкого класса краевых задач для областей сложной формы со сложным характером граничных условий.
Следует отметить, что в генераторе црограмм заложены возможности, позволяющие отыскивать неопределенные компоненты структуры решения не только вариационными методами Ритца, Бубнова — Галеркина и др., но и раз ноет, но — аналитическими методами с новыми подходами, позволяющими исключить из вычислительного процесса вычисление производных как от неопределенных ком-, понеш?, так и от функций Ю, СО^, с помощью которых учитываются геометрические компоненты краевой задачи. С другой стороны, при отыскании неопределенных компонент структуры можно осуществить разбиение рассматриваемой области на характерные зоны, руководствуясь, как и в методе конечных элементов, геометрическими и физическими соображениями о поведении решения, т. е. так называемый региональный подход [39 ] .
Щ «Поле» — система црограммных модулей с гибкой и открытой для изменения структурой. Программные модули координируются управляющей программой, которая по заданию пользователя, написанному на входном языке, сходным с естественным математическим, создает вычислительную схему реализации задания, и затем увязывает соответствующие программные модули в программу [40 ] .
Выработанные цринщшы построения генераторов программ серии «Поле» позволяют ставить задание генератору как в виде приказа решить конкретную паевую задачу из заданного класса, так и в виде ряда предписаний, позволяющих сформулировать новый алгоритм решения задачи.
Таким образом, для работы с генератором программ «Поле» остается выполнить только некоторый подготовительный этап с минимальными требованиями, относящимися к постановке задачи и описанию формы области и ее граничных участков [42] .
Цри редукции задач математической физики от непрерывных аргументов к дискретным в конечном итоге получаются алгебраические уравнения той или иной структуры [43 ]. При решении краевых задач прямыми методами как вариационными, так и црсекционными получается один и тот же вычислительный алгоритм, который сводится к решению систем алгебраических уравнений. Отсюда следует, что главными цри разработке программирующих систем и пакетов црограмм в математической физике являются воцросы о формировании матриц упомянутых систем уравнений и о решении этих систем (или решении задач на собственные значения). Немаловажными являются, конечно, и другие воцросы, касающиеся обработки и оценки полученных результатов, сервиса, дисциплины работы с пакетом и др. [44] .
Системы алгебраических уравнений, к которым цриводят цря-мые методы, сводя бесконечномерную краевую задачу к конечномерной, должны достаточно полно вобрать в себя всю информацию, содержащуюся в постановке краевой задачи. Главная трудность при этом заключается в том, что наряду с аналитической информацией об уравнениях и Даевых условиях, в постановке краевой задачи присутствует и информация геометрического характера о форме области, в которой ищется решение, форме участков границы, на которых заданы краевые условия и др.
Второй вопрос, касающийся решения систем получаемых алгебраических уравнений, связан с их обусловленностью, которая, как правило, является хорошей для разреженных матриц и плохойда плотно заполненных.
Известно, что при применении сеточных методов (в их классическом варианте) цриходят к хорошим системам уравнений, однако значительные трудности возникают при учете геометрической информации и заданных краевых условий [45]. Метод конечных элементов и возник из стремления, сохранив достоинства сеточного метода — хорощую обусловленность систем, получить достаточно эффективные средства для привязки к геометрическим формам областей произвольного вида. Однако цри этом возник ряд других цроблем, связанных с формализацией процесса дискретизации и зависимостью от нее результатов решения задачи, учетом краевых условий, большим объемом вычислений и получаемых результатов в виде таблиц, которые трудно использовать при проведении расчетов, необходимых для принятия инженерных решений и т. д. [46] .
Этих недостатков лишены классические вариационные методы, в которых в качестве апцр океимационного аппарата используются не сплайны, как в методе конечных элементов, а те или иные классические полиномы. Однако, с одной стороны, до последнего времени не было универсальных методов, позволяющих цри построении базисных функций обеспечить удовлетворение краевых условий, а с другой — цри таком подходе получались плотно заполненные матрицы, обусловленность которых быстро ухудшалась с ростом размерности аппроксимирующих цространств. Эти трудности считались цринципиальными и сдерживали применение вариационных методов цри решении краевых задач. Оказалось, однако, что их можно цреодолеть на основе теории Ц — функций [31,38]. В качествеаппроксимационного аппарата можно использовать как классические полиномы, так и функции с локальным носителем (сплайны, атомарные функции [34]).
Решение задач алгебры является одним из сегментов единого пакета решения задач математической физики в условиях ГП «Поле» и поэтому обладает своей спецификой и оцределенными трудностями, некоторые из которых перечислим:
— все известные пакеты црограмм по линейной алгебре разрабатывались для их индивидуального использования, поэтому без серьезных переделок они не могут быть включены в более общие пакеты, так и в ГП серии «Поле» ;
— отдельные модули по решению конкретных задач обработки матриц, имеющиеся в библиотеках стандартного математического обеспечения ЭВМ не обладают црограммной совместностью с ГП серии «Поле», т.к. имеют разное количество формальных параметров и их назначение;
— существующие црозраммы в большинстве своем не снабжены модулями, производящими диагностику матриц, а в их описаниях отсутствуют указания об области оптимального црименения конкретной црозраммы;
— практически отсутствуют программы для решения систем большого порядка с профильными матрицами и еще трудней обстоят дела с обобщенными задачами на собственные значения с разреженными матрицами больших порядков (1000 и более).
В связи с вышейзложенным возникла необходимость в создании специального математического обеспечения, которое бы не только пощшвало цредметную область задач математической физики, решаемых в условиях ГП серии «Поле», но и автоматически стыковалось со всем вычислительным цроцессом.
В настоящее время библиотекой модулей ГП серии «Поле» адекватно покрывается цредметная область задач алгебры, возникающих при решении задач расчета полей различной физико-механической природы.
Предметная область данного сегмента состоит из.
1) формирования соответствующих 1фаевым задачам матриц;
2) решения систем линейных алгебраических уравнений;
3) решения обобщенной проблемы собственных значений;
4) решения нелинейной цроОлемы собственных значений для полиномиальных матриц [48] .
Данная диссертационная работа: посвящена математическому обеспечению задач линейной алгебры, возникающих цри расчете полей различной физической црироды, в условиях эксплуатации генератора црограмм (ГП) «Поле-3» .
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и цриложения.
В первой главе приводится основная система R — функций, рассматриваются вопросы математической постановки задач расчета физических полей, делается краткое описание структурно-вариационного метода рещения задачи, решается задача обтекания бесконечного цилиндра, для которой автор построил структурную формулу, делается анализ источников и типов вычислительных задач алгебры, возникающих цри редукции задач математической физики, излагаются основные принципы построения автоматизированной системы программирования «Поле-3», базовым математическим аппаратом которой является метод й — функций.
Вторая глава посвящена воцросам реализации задач алгебры в ГП «Поле-3. Приводится.
— язык заданий блока матричной алгебры;
— функциональное и системное наполнение вышеуказанного блока;
— банк модулей, реализующих различные задачи алгебры.
Все это иллюстрируется конкретными примерами решения задач математической физики.
В третьей главе рассматривается цроблема тестирования матриц в ГП «Поле-3». Метод Ц — функций позволил создать блок тестовых матриц, в котором матрицы задаются специализированными формулами, учитывающими не только конфигурацию матриц, но и законы изменения элементов матриц. На таких матрицах легко осуществляется проверка работы отдельных модулей по решению задач алгебры, а также ставятся численные эксперименты, подтверждающие теоретические выводы, касающиеся достоверности получаемых решений.
В цриложении цриведены листинги с фрагментами текстов цро-цедур, реализующих методы решения задач алгебры, результаты решения некоторых задач математической физики в виде распечатки коэффициентов и таблиц искомой функции, цримеры тестовых матриц различных конфигураций в виде картин линий уровня, построенных на ЯШУ.
Система программ решения задач алгебры реализована в ГП «Поле-3» и оцробована цри решении реальных задач математической физики в условиях ГП «Поле-3» на ЭВМ БЭСМ-6 в мониторной системе Дубна.
Бри реализации математического обеспечения задач алгебры использовались материалы учебных и справочных пособий по линейной алгебре [49−57 ], а также по программированию [58−61 ], рассматривались некоторые аспекты языков программирования и методов в реализации [ев-и], учитываюсь вопросы элективно&tradeсоздания машинно-независимых проблемных программ [72−79] .
— 12.
Г I, А В A I.
ТЕХНОЛОГИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В УСЛОВИЯХ ГП СЕРИИ «ПОЛЕ» .
Краевые задачи для уравнений с частными производными представляют собой одно из наиболее важных направлений в современной прикладной математике. С ними связаны исследование и расчет различных физико-механических полей [32−39], и в этом состоит главная цричина того постоянного интереса, который проявляют к ним специалисты, работающие в самых различных областях науки и техники. Особенно актуальной является разработка таких методов решения краевых задач, которые имели бы универсальный характер и не требовали от исследователя (как цравило, не математика) знания тонких воцросов теории. Кроме того, универсальность обусловливает возможность привлечения методов системного программирования, что имеет существенное значение для автоматизации научных исследований в области краевых задач.
Это обстоятельство учтено цри разработке црограширущих систем серии «Поле» [44], основной теоретической базой которых выбран метод R. — функций.
I.I. Основная система R, — функций.
Одна из важных цроблем, которая решена В. Л. Рвачевым с помощью R. — функций, относится к области аналитической геометрии. Речь идет о посароении уравнений вида 60 (х) — О для заданных геометрических объектов. Известно, нацример, что душ сферы радиуса й с центром в начале координат можно на.
Йй Z z 2. Г.
— ХА — ЗС ^ - осj = 0 • Левая часть этого уравнения, которую обозначим со (ос), СС={х1} X* х5 «в0 ВНУТрентах точках сферы — положительна, на ее границе — равна нулю, а вне — отрицательна. Метод И — функций предлагает способ построения и для сложных областей уравнений границ, «равноправных1 с уравнением сферы. Для таких, нацример, объектов, как усеченный конус с цилиндрическим отверстием, многоугольники и многогранники, головка цилиндра двигателя внутреннего сгорания, двутавр и т. п. сложных тел и фигур оказывается возможным строить уравнение вида СО (Х)-0, где со (х) — формула, имеющая, подобно формуле ft2-X*- «ВИД единого аналитического выражения, не содержащего каких бы то нибыло «склеек» ,» сшивок», заданий функций со Сх) разными формулами в разных подобластях и т. п. Поскольку в диссертационной работе используется метод Л — функций при построении сложных геометрических объектов, то не излагая теоретической стороны метода, покажем на цримере, как он работает цри написании границ сложных областей.
Пусть требуется написать уравнение границы области Q, изображенной на рис. I, где АО Б — синусоида хг= бьггх, «А&и ВС — отрезки прямыхЗГ и х, =5Г соответственно. DSF — парабола ОС^ ~ Xi о •.
Интересующую нас область О можно получить воспользовавшись логической формулой.
С?=СО, ГЮг) П (05и0Д (I.I.I) где ПД — символы операций пересечения, объединения и дополнения множеств, а О^, Ог, Q3 и 0А называются «опорными областями» и задаются неравенствами:
Q= (х<) — область, расположенная выше синусоиды X^siinoc^;
Q «- вертикальная полоса, ограниченная прямыми х4 — - (X — Хг ^ 0) — часть плоскости, расположенная ниже горизонтальной пря-^ мой Хг = 5 Г ;
О, ~ - часть плоскости, расположенная внутри параболы х* + f •.
От формулы (I.I.I) перейдем к искомой функции со (X), заменив Q. (Л -12.5,4) левыми частями соответствующих им не.
I ' ' равенств, символ П заменим на символ tQ, символ Uна символ V0. Символы AQ, V0 и называются соответственно R — конъюнкция, R — дизъюнкция ийотрицание [3l] и цредставляются формулами xV0y = х*у * Jx2+y2, (1.1.2) cc = - X.
В данном цримере уравнение границы 3 О получим в виде.
30={cocx)s[cxa-6taх<)Л0 СЗГг-х')] А.
Ae[C3T-xOVe)]"0}. (I.I.3).
Воспользовавшись формулами (I.I.2) можно в (I.I.3) перейти к привычной элементарной функции. фи создании автоматизированных систем формулы (I.I.3) с учетом (I.I.2) легко реализуемы и поэтому не надо переходить к записи элементарной функции.
В работе [31] рассмотрены различные особые ситуации, которые могут возникнуть цри построении уравнений границ областей сложной формы (появление точек недифференцируемости внутри или вне области, образование «оврагов» и т. п.). Учет таких особенностей имеет важное значение цри построении приближенных решений краевых задач.
Кроме того, можно строить такие уравнения сложных геометрических объектов, которые удовлетворяют нормализованноети.
Зсо| i (I.I.4).
Щю или некоторым другим условиям.
Результаты, полученные В. Л. Рвачевым в области аналитической геометрии, нашли приложение в области краевых задач, а также использованы для построения тестовых матриц систем алгебраических уравнений, возникающих цри решении задач расчета физико-механических полей.
Результаты работы внедрены в генераторе программ «Поле-3″ Института цроблем машиностроения АН УССР, отчет о научно-исследовательской работе по теме В 56−78: 'Разработка пакета алгоритмов и программ, реализующих метод R — функций для двумерных задач математической физики», У гос. регистрации: 78 069 289- в версии ГП «Поле-3» для ЕС ЭВМ в Харьковском авиационном институтев версии ГП «Поле-3» на ВЦ СО АН СССР г. Новосибирск и в Днепропетровском госуниверситете.
Данное математическое обеспечение разрабатывается в рамках тематического плана Института цроблем машиностроения АН УССР: бюджетная тема № 69, № ГР 80 023 021 «Развитие математической теории R — функций и создание автоматизированного цро-граммного обеспечения современных ЭВМ для решения задач исследования, расчета и оптимизации физико-механических полей», руководитель академик АН УССР Рвачев В. Л., 1979;1983 г., постановление Президиума АН УССР от 16.02.79 г. № 81.
Автор выражает благодарность всем участникам разработки генератора программ серии «Поле», и в особенности своему научному руководителю академику АН УССР Рвачеву Владимиру Логвиновичу.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В настоящей диссертационной работе получены следующие основные результаты:
1. Разработан пакет по линейной алгебре, функциональное наполнение которого, адекватно покрывает цредметную область генератора программ «Поле-3», цредназначенного для расчета полей различной физической црироды и включает:
— формирование систем линейных алгебраических уравнений;
— решение систем линейных алгебраических уравнений с различными матрицами;
— решение задач на собственные значения для регулярного и квадратичного пучка.
2. Разработан и реализован входной язык, обеспечивающий постановку задач алгебры в естественном для математики виде.
3. Создан цроцессор директивы по решению задач линейной алгебры, связанный с генератором црограмм посредством управляющей программы монитор. Созданы свои транслятор и компилятор. Интерфейс между рабочим комплексом программ генератора и пакета по линейной алгебре осуществляется с помощью сменного блока управления.
4. Создан блок тестовых матриц, математической основой которого является метод R. — функций. Матрицы строятся цри помощи специализированных формул, которые несут информацию о геометрии матриц и законах изменения их элементов. Это позволяет оперативно тестировать алгоритмы, программы и пакеты программ по линейной алгебре на квазиреальных задачах в условиях реальной конкретной ЭВМ.
5. Предложенные результаты реализованы в системном наполнении генератора цро1рамм «Поле-3», который в течении 5 лет успешно эксплуатируется в Институте цроблем машиностроения АН УССР цри решении задач математической физики на ЭВМ БЭСМ-6.
Содержание диссертационной работы отражено в публикациях [36, 37, 90, 91, 92].
