Многоэлементные уравнения для функций, голоморфных во внешности круговых многоугольников, и их приложения

1. Данная работа посвящена исследованию линейных функциональных уравнений вида п = Е M[°k{z)] = g (z), Z е D. (o.i) к=i.

Здесь D — некоторая область ограниченная кусочно-гладкой кривой, Ak — заданные постоянные. Дробно-линейные функции.

Н = С — U ah (D) (0.2) к=1 п несвязно. Другими словами, множество [J (Tk (D) разделяет область D и к=i бесконечно удаленную точку. Свободный член g (z) голоморфен в D (g (z) 6 A (D)), а решение ф (г) отыскивается в классе функций, голоморфных вне D и исчезающих на бесконечности (ф (г) € A{cD)). Предполагается, что граничное значение g+(t) € Hv (dD), 0 < v < 1 (удовлетворяет условию Гёльдера на границе области). Граничное значение неизвестной функции ф~ (t) должно удовлетворять условию Гёльдера на каждой гладкой компоненте границы, а в узлах допускаются, самое большее, логарифмические особенности. Такой класс решений обозначим через В.

Впервые такой подход встретился в работе Ф. И. Гарифьянова [6] в случае, когда область D — прямоугольник. Преобразования (?k{z) являлись порождающими преобразованиями соответствующей двоякопериодической группы или преобразованиями, обратными к ним. Предполагалось, что Ак = 1, к = 1,4. К этому линейному четырехэлементному разностному уравнению с постоянными коэффициэнтами нельзя было применить классические методы исследования операторов типа свертки [29], включая и преобразования Бореля ([5], гл. 1, § 1). Дело в том, что уравнение (0.1) задано лишь на одной связной компоненте множества (0.2), не содержащей бесконечно удаленную точку. Таким образом, функция д (г) не обязана быть аналитически продолжимой через какую-нибудь дугу границы ¿-Ш. Но даже дополнительное предположение о возможности такого аналитического продолжения (как, например, в случае однородного уравнения (д (г) = 0)) нисколько не облегчает исследование задачи (0.1). Поэтому решение ищется в виде интеграла типа Коши.

ФМ = Ь / г * ° №.

Узд т — г с неизвестной плотностью. С учетом представления (0.3) соотношение (0.1) записывается в виде интегрального уравнения.

А<�р)(г) = <�р (т)Е{г, т) Ат = д (г), z? В. (0.4).

Но.

Его ядро п.

Е&т) = 1? Мт-<�ТкШ-1 (0.5) к=1 голоморфно в области В по переменной 2. Далее, с использованием теории краевых задач со сдвигом Карлемана [20], рассматривается вопрос о равносильности регуляризации уравнения (0.4). Такой подход оказался применимым к многим случаям уравнения (0.1) (более подробно см. [7]). Интегральное уравнение (0.4) тесно связано и с проблемой обращения особого интеграла.

А*)®- = #), t € ад (о.б) к которой приводит задача о вычислении спектра особого интегрального оператора А, понимаемого в смысле главного значения по Коши (см., напр., [6]). Особый оператор, А обладает тем свойством, что А2 — —I+ К, где К — компактный оператор, а I — тождественный. Абстрактная теория таких операторов была впервые рассмотрена Г. И. Агаевым [2] (см. также монографию ([21], с. 101)).

Уравнение (0.1) имеет многочисленные приложения в самых различных разделах комплексного анализа. Уже отмечалось, что преобразование Бореля нельзя применить к исследованию этого уравнения даже в том простейшем случае, когда оно — разностное. Вместе с тем его решение ф (г) можно рассматривать как нижнюю функцию, ассоциированную по Борелю с некоторой верхней функцией Ф (г) — целой функцией экспоненциального типа (ц. ф. э. т.) ([24], гл. 1, § 20).

Применяя формулы преобразования Бореля и переходя от нижних функций в уравнении (0.1) к верхним, получаем равносильную задачу для верхних функций. Для этого область О интерпретируем как сопряженную индикаторную диаграмму (наименьшее выпуклое множество, содержащее все особенности нижней функции) ([25], с. 22 — 25). Приравнивая коэффициенты Тейлора левой и правой части уравнения (0.1), в некоторой точке го € И (обычно в качестве этой точки выбирается ноль), приходим к классической проблеме моментов Стильтьеса в ранее не изучавшихся классах ц. ф. э. т. (см., напр., [10], [12]) на одном или нескольких лучах. Этот же аппарат позволяет строить биортогонально сопряженные системы аналитических функций на некоторой замкнутой или разомкнутой кривой [8], [9], [И]. Здесь требуется выделить классы голоморфных функций, представимых в некоторых областях своими биортогональными рядами. Возникают различные интерполяционные задачи, а также теория абсолютно представляющих систем (а. п. с.) и тесно связанные с нею нетривиальные разложения нуля (н. р. н.). Эти проблемы подробно изучались в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников (см., [1], [22], [28]).

Область В удобно выбирать так, чтобы это было фундаментальное множество некоторой собственно разрывной группы дробно-линейных преобразований ([16], с. 361 — 369). Тогда для регуляризации уравнения (0.1) можно использовать теорию автоморфных функций [17]. Например, пусть область Б — прямоугольник. Это — реализация на плоскости римановой поверхности рода 1 и здесь может использоваться теория двоякоперио-дических функций. С другой стороны, это выпуклое множество интерпретируется как сопряженная индикаторная диаграмма для некоторого класса ц. ф. э. т. Появляется возможность применить теорию краевых задач на римановых поверхностях [19] к исследованию проблемы моментов в некоторых классах целых функций с экспоненциальным весом.

2. Теперь более подробно остановимся на одной проблеме моментов ц. ф. э. т., рассмотренной в диссертации. Проблема моментов Стильтьеса состоит в отыскании функции Ф (ж), для которой лоо.

Л ' ${х)хп<1х = сП1 п = 1,2,. (0.7) о где сп — заданные числа. Впервые четко сформулированная в 1894 г. в [31], она привлекла внимание ряда известных математиков [4]. В работах [42], [43] применялась теория трансформаций Фурье в комплексной области к решению проблемы (0.7). При Ф (ж)еА^ Е Ь (0, со), А > 0 задача (0.7) сведена к разрешимому в замкнутой форме уравнению.

•оо оо f-lW z2n.

J ф (х) cos Zy/xdx = Y, (2n)l — 'Im < A- ^.

Решение единственно с точностью до значений на множествах меры нуль. Существенно ослабить ограничения на скорость убывания Ф (ж) нельзя, так как, например, все моменты Стильтьеса функции.

ФДж) = expf-^cos^TrJsinfa^sin/OT), 0 < ц < ½ равны нулю ([33], гл. 11, § 9). Для функции класса Харди сумма ряда в уравнении (0.8) должна быть аналитически продолжима из круга сходимости в полосу (Im z < А и стремиться к нулю, когда z —> ±-оо внутри данной полосы.

В последнее время вновь возник интерес к проблеме (0.7). В [41] введен класс функций.

S+: Ф (*) G С°°[0, оо) — Ф (*}(0) = 0, lim ГФ{kt) = 0 Vfr, т. t—У 00.

Оказалось, что для любого набора {сп} С С проблема (0.7) разрешима в классе S+. В [30], в частности, установлено, что решение Ф (я) всегда можно выбрать в классе целых функций фиксированного порядка р>

3. Перейдем непосредственно к изложению содержания настоящей диссертации. Её основная цель — исследование некоторых частных случаев уравнения (0.1), а также некоторых его приложений (в основном к проблеме моментов ц. ф. э. т.).

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих семь параграфов, и списка литературы из 43 наименований. Нумерация теорем, лемм, следствий, предложений и формул ведется по параграфам.

1. Абанин А. В. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент// Мат. заметки — 1991. — Т.49. — Вып.2. — С. 3−13.

2. Агаев Г. Н. К теории сингулярного уравнения в пространствах Банаха// Тр. ин-та физ. и мат. АН АзССР. Сер. мат. -1959. Т.8. — С.23−27.

3. Аксентьева Е. П., Гарифьянов Ф. Н. К исследованию интегрального уравнения с ядром Карлемана// Изв. вузов. Матем. 1983. — № 4. — С.43−51.

4. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961. — 301 с.

5. Бибербах Я. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. — 240с.

6. Гарифьянов Ф. Н. Проблема обращения особого интеграла и разностные уравнения для функций, аналитических вне квадрата// Изв. вузов. Матем. 1993. — № 7. — С. 7−16.

7. Гарифьянов Ф. Н. Функциональные уравнения, связанные с авто-морфными формами. Казань: Изд=во КГЭУ, 2003. — 124 с.

8. Гарифьянов Ф. Н. Трансформации биортогоналъных систем и некоторые их приложения, I// Изв. вузов. Матем. 1996. — № 6. -С. 5−16.

9. Гарифьянов Ф. Н. Трансформации биортогоналъных систем и некоторые их приложения, II// Изв. вузов.Матем. = 1996. № 8. — С. 13−24.

10. Гарифьянов Ф. Н. Моменты Стильтъеса целых функций экспоненциального типа// Матем. заметки 2000. — Т.67. — Вып. 5. — С. 674−679.

11. Гарифьянов Ф. Н. Биортогоналъные ряды, порожденные группой диэдра// Изв. вузов. Матем. 2001. — ЛЧ. — С. 11−15.

12. Гарифьянов Ф. Н. О проблеме моментов для целых функций экспоненциального типа/У Изв. вузов. Матем. = 2003. № 6. — С. 37−43.

13. Гарифьянов Ф. Н., Туре Б. Проблема обращение особого интеграла на круговом секторе// Изв. вузов. Матем. 2005. — № 10. — С. 14−16.

14. Гарифьянов Ф. Н., Туре Б. Проблема обращение особого интеграла на границе кругового сектора // Тр. Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Казанск. матем. об-во, — 2005. — Т.ЗО. — 178 с.

15. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963. — 639 с.

16. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М. — Л.: ГИТТЛ, 1950. — 436 с.

17. Голубев В. В. Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции. М.: Физматтиз, 1961. — 456 с.

18. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. — 648 с.

19. Зверович Э. И. Метод локально конформного склеивания// ДАН СССР. 1972. — Т.205. — т. — С. 766−770.

20. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях// Успехи мат. наук. 1971. — Т.26. — М. — С. 113=179.

21. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-на Дону.: Изд-во Ростов ун-та. 1988. — 192 с.

22. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы// Успехи матем. наук. 1981. — Т.36. — т. — С. 73−126.

23. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958. — 678 с.

24. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. — 632 с.

25. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. — 536 с.

26. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М: Наука, 1977. — 448 с.

27. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М.: Наука, Т. 1. — 1967. — 488 с. и Т. 2. — 1968. — 624 с.

28. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах// Мат. заметки 1986. — Т.39. — № 6. — С. 877−886.

29. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. ~ М.: Наука, 1982. 240 с.

30. Попов А. Ю. О проблеме моментов быстро убывающих функций// Матем. заметки. 1996. — Т.60. — № 1. — С. 66−74.

31. Стильтьес Т. И. Исследование о непрерывных дробях. ХарьковКиев: ГНТИ Украины, 1936. — 156 с.

32. Титчмарш Е.

Введение

в теорию интегралов Фурье. М. Л., ГИТТЛ, 1948. — 479 с.

33. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. — 464 с.

34. Туре Б. Многоэлементные уравнения для функций, голоморфных в плоскости с разрезом// Ред. ж. <Изв. вузов. Матем.> Казань, 2006. -7с. — Деп. в ВИНИТИ 05.04.06. — № 375-В2006.

35. Туре Б. О двух уравнениях для функций, голоморфных в плоскости с разрезами// Казан, ун-т. Казань, 2005. — 11с. — Деп. в ВИНИТИ1107.05. № 985-В2005.

36. Туре Б. Об одном уравнении для функций голоморфных в плоскости с разрезом//Тр. Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Казанск. матем. об-во, — 2005. — Т.ЗО. — 178 с.

37. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: И. Л., — 1961. — 508 с.

38. Форд Л. Р. Автоморфные функции. М.- Л.: ОНТИ, 1936. — 340 с.

39. Чибрикова Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во КГУ, 1977. — 301 с.

40. Appel P. Developpements en serie d’une fonction holomorphe dans une aire limitee par des arcs de cercle// Math. Ann. 1883 — Bd. 21. — P. 118−124.

41. Duran A.I. The Stiltjes moments problem for rapidly decreasing functions// Proc. Amer. Math. Soc. 1989. — V. 107. — Р. 631−641.

42. Hardy G.H. On Stiltjes «probleme des moments» //Messenger of Math.- 1916. V.46. — P. 175−182.

43. Hardy G.H. On Stiltjes «probleme des moments» //Messenger of Math.- 1917. V.47. — P. 81−88.