Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений.
Многие задачи прикладного характера приводят к рассмотрению переопределенных систем дифференциальных уравнений.
Поэтому исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящено много работ.
Особый интерес представляет изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.
Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами достаточно разработана в работах Якоби и др. Дальнейшее развитие эффективных методов исследования совместности переопределенных систем уравнений в частных производных и построение многообразия решений как с регулярными, так и с сингулярными коэффициентами получили в работах Л. Г. Михайлова [20−23 ].
В частности работах Л. Г. Михайлова опубликованных в ДАН России в 1997 найдено формулы представления для переопределенной системы п ди / ч п ди г / ч г — = а (х, у), г — = Ь (х, у) ох ду где n-целое положительное число.
Фундаментальные результаты по теории дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, вырождающимся эллиптическим и гиперболическим уравнениям, получены в работах М. В. Келдыша [16], A.B. Бицадзе [4], М. М. Смирнова [53], Л. Г. Михайлова [21], В. Ф. Волкодавова [6], Н. Раджабова [28]-[34] З. Д. Усманова [56], А. Д. Джураева [14], М. М. Салахитдинова [52], R.P. Gilbert [13], R.W. Carroll [12], R.E. Showalter [12],.
В.Н.Врагова [9], С. А. Терсенова [55], А. И. Янушаускаса [61], A.M. Нахушева [24] и их учеников.
Фундаментальные результаты по гиперболическим уравнениям с сингулярными коэффициентами и вырождением того или иного порядка получены в работах A.B. Бицадзе [5], М. М. Смирнова [54], М. М. Салахитдинова [52], В. Ф. Волкодавова [7], В. Н. Врагова [10], O.A. Репина [51], Н. Раджабова [35]- [45] и других авторов.
Некоторые вырождающиеся системы первого порядка рассматривались в работах A.C. Янушаускаса [61], А. В. Бицадзе [2], Н. Раджабова [49], Т. В. Чекмарёва [60], М. И. Лернера [18] и И. Е. Плешинской [26].
Имеется ряд работ, посвященных изучению переопределенных систем первого порядка с сингулярными линиями и сингулярной точкой.
Существенные результаты по переопределенным системам с регулярными и сингулярными коэффициентами получены в работах Л. Г. Михайлова [21], А. Д. Джураева [14], Н. Р. Раджабова [46], Э. Рузметова [50], Р. Пирова [27], Ф. Шамсиддинова [61] и других авторов .
В частности, в работах Н. Раджабова была исследована переопределенная система первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями и сингулярной и сверхсингулярной точкой. Там же ставится задача о нахождении многообразия решений для переопределенных систем первого порядка, когда одно из уравнений системы имеет сингулярную линию, а второе уравнение имеет сингулярную точку. Кроме того, представляет большой интерес изучение таких систем, когда порядок особенности больше, чем единица, то есть когда одно из уравнений системы имеет сверхсингулярную линию, а второе уравнение имеет сверхсингулярную точку.
Основной целью настоящей диссертации является исследование таких систем.
В дальнейшем через Б обозначим прямоугольник 0={0<�х<�с, 0<у<ё}. Соответственно обозначим Г1={0<�х<�с, у=0 }, Г2={х=0, 0<у<ё}. Кроме того через Бо1 обозначим область В01={(х, у): -с<�х<�с, 0<у<(1}. Соответственно обозначим Г1°={-с<�х<�с, у=0 }, Г11={-с<�х<0,у=0}. Б≠{(х, у): -с<�х<0, 0<�у<�с1} В2={(х, у): 0<�х<�с, 0<у<ё>.
Соответственно в областях Б и Бо' рассмотрим переопределенных систем дифференциальных уравнений первого порядка следующих видов: а&Я Г №.
Х X X оу г г дх х х О ди Ьх (х, у) + и (х, у) =.
Г^у).
2).
2 2 X +у ду х2+у2 где а (х, у), Ь (х, у), ^(х, у), Г2(х, у)-заданные функции в области Б, г2=х2+у2, а=сопБ1>0, (3=сопз£>0, а!(х, у), Ь1(х, у), fз (x, y), ?4(х, у)-заданные функции в области БоЧ Г2.
Цель работы — найти многообразия решений переопределенной системы (1) в зависимости от показателей особенности, а и Ризучение поведения решения в окрестности особых многообразийвыяснение корректных постановок задач и их исследование.
Система (2) также изучено в области О0' Г2, при 1) Ь^у^уЬо^у), 2) Ь,(х, у) е С (2>Ш0,0)*0, 3) Ъх{х, у) = гЪ2{х, у).
В настоящей работе в зависимости от числа а (а<1- а=1- а>1), (3(Р<2−3=2- |3>2), а также значении знака коэффициентов системы в точке (0,0), т. е в зависимости от знака значении а (0,0), Ь (0,0) получены многообразия решений системы (1) через произвольные постоянные.
Изучено свойство решений в каждом случае. Полученные интегральные представления можно использовать для корректной постановки граничных задач и их исследования.
Для системы (2) при условии 1) и 2) получено многообразия решений через две произвольные постоянные. Заметим, что на характер решения существенно влияют знаки чисел ^ (±0,0), ?,(±0,0), Ь2 (0,0). Изучено всевозможные случаи.
Доказано, что для переопределенных систем дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами в зависимости от дополнительных условиях на сингулярных многообразиях, можно получить решений с различными условиями на особых многообразиях.
Ниже приводим необходимые в дальнейшем результаты из теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.
Пусть Ь={а<�х<�Ь} - интервал вещественной оси. На Ь рассмотрим обыкновенное линейное уравнение первого порядка следующего вида 0 = 7^ ' И х-а) (х-а) где р (х)^(х)-заданные функции в Ь, а^сошР-О.
В случае, когда в уравнении (3) а<1, оно называется обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка с одной левой слабой сингулярной точкой.
При а=1 оно называется линейным уравнением первого порядка с левой сингулярной точкой.
При а>1 это уравнение называется линейным уравнением первого порядка с левой сверхсингулярной точкой.
Как следует из [31], для уравнения (3) имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Если в уравнении (3) а<1, р (х), д (х) еС{Ь), то любое решение уравнения (2) из класса С1 (Ь) представимо в виде у (х)= ехр[~№г1(х){с1 + |ехр[Жр (0]' где (3.1).
ЦГа{х) = ] Р ({) Ж,.
УУ р !^-а)а С] -произвольная постоянная.
Теорема 2. Пусть в уравнении (3) а—1, р (х) еС{Ь) и удовлетворяет условию Гелъдера, ц (х) — непрерывная функция. Допустим, что выполнено одно из условий:
1. р (а)>0.
2. В окрестности точки х=а, р (х)=0((х-а)^), Р>|р (а)| ир (а)<0. Тогда любое решение уравнения (3) из класса С1(Ь) представимо в виде:
У{х) = ехр[^(х)](х-а)" КО)(с2 + ]ехр|^(0](Г-А)Р (в)-^/Г), а «/ где (3.2) а с2 — произвольная постоянная.
Теорема 3. Пусть в уравнении (3) а>1, р (х) в окрестности точки х=а удовлетворяет условию Гелъдера с показателем а-1, т. е, р (х)~ р{а)<�Нх5,5 > а д (х)-непрерывная функция. Кроме того допустим, что выполнено одно из условий р (а)>0 или р (а)<0, д (х) при х—>а обращается в нуль и её поведение определяется из асимптотической формулы.
4 (х) = о[ехр (-|/?(я)|й>" (х))(ха)г], у> а-1. Тогда любое решение уравнения (3) из класса С1 (И) представимо в виде:
Я*) = ехр р{а)соаа{х)-]уар{х){съ + }ехр цгар (0 -р (а)а>" (/)] ц!^" Ж), где (3.3).
ГМЧ^фл, <(*)= 1 Ъ {г-ау ' {а-1х-а)а-1 '.
Сз — произвольное постоянное число.
В частности, при а=о, уравнение (2) на Ь={0<�х<�Ь} имеет следующий вид уХх)+ту (х)=2М (4).
ОС X.
Для этого уравнения, согласно [2], в случае а>1 имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть в уравнении (4) а>1. р (0)>0 ир (х) прих—>0 удовлетворяет условию р{х)-рЩ<�Н1ХХ, АУа-1. (4.1).
Тогда любое решение уравнения (4) из класса С1 (И) можно представить в виде у (х) = ехр р (0)фа (х) — цгар (х)] (с4 +)ехр угар (0 — р (0)юа (о]^Г где (4.2) р > а (а-)ха-1.
С4~произволъная постоянная.
Некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка с сингулярной линией.
В области В рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка следующего вида: + = (5) а 4 ' а ' ^ '.
X X где а=сопз1>0,а (х, у),^(х, у)-заданные функции в области И.
Это уравнение при а<1 называется линейным дифференциальное уравнением в частных производных первого порядка со слабой сингулярной линией.
При а=1 уравнение (5) называется линейным дифференциальное уравнением в частных производных первого порядка с сингулярной линией.
При а>1 уравнение (5) называется линейным дифференциальное уравнением в частных производных первого порядка со сверхсингулярной линией.
Теорема 5. Пусть в уравнении (4) а<1. а (х, у), /?(х, у) еС (?)). Тогда любое решение уравнения (4) из класса С](П) представимо в виде: и (х, у) = ехр [- ЦГа (х, Уу {у/ (у) + |ехр [ ЦТ (*, у)] Л), о 1 где (5.1).
О t.
1(у)-произвольная непрерывная функция точек Г2.
Теорема 6. Пусть в уравнении (5) а>1 и а (х, у), /](х, у) еС (D). Кроме того, пусть а (0,0)>0 и функция а (х, у) удовлетворяет условию я (х,-и)-а (0,0}.
