Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Стабилизаторы минимальной размерности

Диссертация: Стабилизаторы минимальной размерности
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Целью диссертационной работы является получение необходимых и достаточных условий существования стабилизатора фиксированной размерности, разработка алгоритмов синтеза стабилизаторов минимальной размерности. Также целью работы является анализ. и сравнение существующих оценок на размерности стабилизаторов, задающих наперед заданный спектр замкнутой системы. Все результаты диссертации строго… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Обзор современного состояния проблемы
  • Глава 2. Стабилизация с назначением произвольного спектра замкнутой системе
    • 2. 1. Постановка задачи
    • 2. 2. Оценки сверху на размерность стабилизатора
      • 2. 2. 1. Сравнение оценок на размерности стабилизатора
      • 2. 2. 2. Объединение оценок ко, к, к2 и к-у. оценка ктгп — min{A-?}
  • Глава 3. Задача синтеза стабилизатора минимальной размерности
    • 3. 1. Постановка задачи
    • 3. 2. Основные обозначения
    • 3. 3. Скалярные (SISO) системы
      • 3. 3. 1. Примеры
    • 3. 4. Векторные (MISO или SIMO) системы
      • 3. 4. 1. Пример
    • 3. 5. Матричные (MIMO) системы
      • 3. 5. 1. Пример
  • Глава 4. Численные методы решения задачи пересечения линейного многообразия с множеством устойчивых полиномов
    • 4. 1. Символьный подход. Программа QEPCAD
      • 4. 1. 1. Пример
    • 4. 2. Эквивалентная задача минимизации. Программа НОМ4РЗ
      • 4. 2. 1. Пример
    • 4. 3. Метод ветвей и границ. Полиномы Бернштейна
      • 4. 3. 1. Пример

Стабилизаторы минимальной размерности (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность работы.

В диссертационной работе рассматриваются различные постановки задачи построения стабилизаторов минимальной размерности для линейных стационарных динамических систем, а также численные алгоритмы их решения. Выделятся два вида стабилизаторов минимальной размерности: стабилизаторы, присваивающие замкнутой системе любой наперед заданный устойчивый спектр, и стабилизаторы, присваивающие замкнутой системе некоторый («какой получится») устойчивый спектр. Первая задача интенсивно исследовалась в зарубежной и отечественной литературе, тогда как вторая привлекла внимание исследователей ненадолго и была слабо изучена. В представленной работе для этой задачи получен ряд новых результатов, в частности, было показано, что линейные уравнения, описывающие многообразие характеристических полиномов замкнутой системы, имеют ганкелеву структуру, также получены критерий существования стабилизатора фиксированной размерности и алгоритм построения стабилизатора минимальной размерности.

Стабилизаторы низкой размерности обладают рядом преимуществ перед стабилизаторами высокой размерности: простота физической реализации (меньше функциональных элементов), более высокая скорость численной реализации таких стабилизаторов (решается система дифференциальных уравнений низкой размерности). Одним, из возможных мест применения полученных алгоритмов или их модификаций являются системы высокой размерности, требующие быстрого реагирования стабилизатора (такими системами является, например, системы управления ТОКАМАК или другими сложными объектами). Понижение размерности стабилизатора также может быть удобно на практике тем, что конечному пользователю проще настраивать систему автоматического управления (САУ) с меньшим числом параметров.

Необходимые требования к качеству САУ могут быть запрограммированы заранее, а конечному пользователю представляется стабилизатор наименьшей размерности.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является получение необходимых и достаточных условий существования стабилизатора фиксированной размерности, разработка алгоритмов синтеза стабилизаторов минимальной размерности. Также целью работы является анализ. и сравнение существующих оценок на размерности стабилизаторов, задающих наперед заданный спектр замкнутой системы.

Научная новизна.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Получены критерии существования стабилизатора фиксированной размерности для скалярных (SISO, Single Input Single Output), векторных (SIMO, Single Input Multiply Output и MISO, Multiply Input Single Output) и матричных систем (MIMO, Multiply Input Multiply Output);

2. Получены алгоритмы построения минимального стабилизатора в 3-х случаях: скалярном, векторном и матричном;

3. Предложены численные методы реализации алгоритмов построения стабилизатора минимальной размерности;

4. Проведен анализ и сравнение существующих оценок сверху на размерность стабилизаторов с наперед заданным спектром;

5. Введено обобщение матрицы Сильвестра для семейства из I полиномов, изучены её свойства (в частности, в терминах обобщенной матрицы Сильвестра получен критерий существования ровно к общих корней с' учетом кратности у семейства полиномов).

Практическая значимость.

Ценность полученных результатов носит в первую очередь теоретический характер. Полученные критерии существования стабилизатора фиксированной размерности раскрывают особую структуру (а именно ганкелеву структуру) системы уравнений, задающих многообразие характеристических полиномов замкнутой системы. Учет этой структуры в численных методах повышает эффективность решения задачи синтеза стабилизатора.

Проведенный сравнительный анализ существующих оценок может послужить основой для выбора стабилизатора наименьшей размерности среди рассматриваемых стабилизаторов, наделяющих замкнутую систему заданным спектром.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

Критерии существования стабилизатора фиксированной размерности для скалярных, векторных и матричных систем;

Алгоритмы построения минимального стабилизатора в 3-х случаях: скалярном, векторном и матричном;

Численные методы построения стабилизатора минимальной размерности;

Сравнительный анализ (из рассматриваемых в работе) оценок на размерность стабилизатора с наперед заданным спектром, найдены множества, где одна из оценок является наилучшей;

Введено обобщение матрицы Сильвестра для семейства из / полиномов, получены ряд её свойств (в частности, критерий существования ровно к общих корней с учетом кратности у семейства полиномов).

Апробация работы.

Основные результаты работы и отдельные её части докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.

1. На XV международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008» ;

2. На XVII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» ;

3. На научной конференции «Тихоновские чтения — 2010» ;

4. На научной конференции САИТ-2009.

5. На специальном семинаре «Семинар по проблемам нелинейной динамики и управления при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова» при кафедре нелинейных динамических смистем и процессов управления.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано б статей (5 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ).

Достоверность.

Все результаты диссертации строго математически доказаны, апробированы на международных научных конференциях и семинарах. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах в ведущих математических жураналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и рецензируемых сборниках.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация содержит 139 страниц текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений, библиографии.

Заключение

.

К основными результатам работы относятся следующие новые критерии существования стабилизатора фиксированной размерности: Теорема 3.1, Теорема 3.2 и Теорема 3.3. Первые два критерия существенно отличаются от последнего, так как коэффициенты характеристического полинома 7(s) замкнутой системы (2.3) в этих случаях описываются линейным многообразием, в Теореме 3.3 это описание нелинейно. Опираясь на эти критерии, были построены алгоритмы поиска стабилизатора (2.2) минимальной размерности для исходной системы (2.1). Применение алгоритмов сопровождено примерами. Кроме того, явно присутствующие в критериях уравнения ганкелевого вида на коэффициенты полинома 7(s) могут в будущем послужить базой для синтеза более экономных алгоритмов построения минимальных стабилизаторов.

В работе также рассмотрена численные методы решения задачи поиска устойчивого полинома в линейном многообразии в пространстве коэффициентов полинома, которая является самым сложным (с вычислительной точки зрения) шагом в алгоритме синтеза минимального стабилизатора. Рассмотрены три метода решения этой задачи с примерами их применениями. Все алгоритмы были запрограммированы в системе Matlab и Octave.

Как вспомогательный результат получено обобщение понятия матрицы Сильвестра для семейства полиномов и критерий, связывающий ранг обобщенной матрицы Сильвестра с числом общих корней у семейства полиномов.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Ф. Р. Теория матриц. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 1967. С. 177−182.
  2. Ф. Р. Теория матриц. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 1967. С. 508−512.
  3. А. В., Коровин С. К., Фомичев В. В. Синтез минимальных линейных стабилизаторов // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 5. С. 675−685.
  4. Е. А., Ю. У. А. Теория исключения. Санкт-Петербург: Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2002. ISBN: 5−7997−0419−3.
  5. И. В. Верхние оценки размерности стабилизатора для линейных конечномерных систем // Вестник МГУ. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2011. № 2. С. 13−19.
  6. И. В. Минимальная стабилизация динамических систем // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 8. С. 1214−1216.
  7. И. В., Фомичев В. В. О построении минимальных стабилизаторов для скалярных систем // Нелинейная динамика и управление. 2009. Т. 7. С. 37−52.
  8. И. В., Фомичев В. В. Минимальная стабилизация векторных (MISO и SIMO) систем // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1573−1582.
  9. И. В., Фомичев В. В. Свойства обобщенной матрицы Сильвестра // Вестник МГУ. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2011. № 3. С. 16−23.
  10. Д., Литтл Д., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Москва: Мир, 2000. С. 70−136. ISBN: 5−03−3 320−3.
  11. С. К., Капалин И. В., Фомичев В. В. Минимальные стабилизаторы для линейных динамических систем // Доклады РАН. 2011. Т. 441, № 5.
  12. С. К., Фомичев В. В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007. С. 23−37. ISBN: 978−5-9221−0834−8.
  13. Benallou A., Mellichamp D. A., Seborg D. E. On the Number of Solutions of Multivariable Polynomial Systems // IEEE Transactions On Automatic Control. 1983. Vol. AC-28, no. 2. Pp. 554−567.
  14. Brasch F. M., Jr., Pearson J. B. Pole Placement Using Dynamic Compensators // IEEE Transactions On Automatic Control. 1970. Vol. AC-15, no. 1. Pp. 34−43.
  15. Collins G. E. Quantifier Elimination by Cylindrical Algebraic Decomposition, Ed. by B. F. Caviness, J. R. Johnson. New York, 1998. Pp. 8−23.
  16. Davison E. J. A Note oil Pole Assignment in Linear Systems with Incomplete State Feedback // IEEE Transactions On Automatic Control. 1971. Vol. 16, no. 1. Pp. 98−99.
  17. Davison E. J. On Pole Assignment in Linear Systems with Incomplete State Feedback // IEEE Transactions On Automatic Control. 1971. Vol. 15, no. 3. Pp. 348−351.
  18. Davison E. J., Chatterjee R. A Note on Pole Assignment in Linear Systems with Incomplete State Feedback // IEEE Transactions On Automatic Control. 1971. Vol. 16, no. 1. Pp. 98−99.
  19. Davison E. J., Wang S. H. On Pole Assignment in Linear Multivariate Systems Using Output Feedback // IEEE Transactions On Automatic Control. 1975. Vol. 20, no. 4. Pp. 516−518.
  20. DeShelter W. B., Ridgely D. B. On Minimal Order Stabilization of Multivariable Plants // Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and
  21. Control 1992. New York, N.Y. USA: IEEE, 1992. Pp. 851−853.
  22. Desoer C. A., Chen M. J. Design of Multivariate Feedback Systems with Stable Plant // IEEE Transactions On Automatic Control. 1981. Vol. AC-26, no. 2. Pp. 408−415.
  23. Dorato P. Quantified multivariate polynomial inequalities // IEEE Control Syst. Mag. 2000. Vol. 20. Pp. 48−58.
  24. Emre E. The Polynomial Equation QQC + RPC = $ With Application To Dynamic Feedback // SIAM J. Control And Optimization. 1980. Vol. 18, no. 6. Pp. 611−620.
  25. Garloff J. Convergent bounds for the range of multivariate polynomials // Proceedings of the International Symposium on interval mathematics on Interval mathematics 1985 / Ed. by K. Nickel. London, England: Springer-Verlag, 1985. Pp. 37−56.
  26. Gu D.-W., Choi B. W., Postlethwait I. Low-Order Stabilizing Controllers // IEEE Transactions On Automatic Control. 1993. Vol. 38, no. 11. Pp. 1713−1717.
  27. Gutman S., Chojnowski F. Fixed and Minimal Order Compensators // IMA J. Math. Control Inform. 1991. Vol. 7, no. 4. Pp. 361−373.
  28. Jirstrand M. Cylindrical Algebraic Decomposition an Introduction. Linkop-ing, Sweden: Technical Report, Automatic Control Group, 1995.
  29. Jirstrand M. Nonlinear Control System Design by Quantier Elimination //J. Symbolic Computation. 1997. Vol. 24. Pp. 137−152.
  30. Kailath T. Linear Systems. Englewood Cliffs, N.J. 7 632: Prentice-Hall, Inc., 1980. Pp. 345−499.
  31. Kamat P. S. Comments on «On the Number of Solutions of Multivariate Polynomial Systems» // IEEE Transactions On Automatic Control. 1986. Vol. AC-31, no. 8. P. 796.
  32. Kimura H. Pole assigment be Gain Output Feedback // IEEE Trans. Automatic Control. 1975. Vol. AC-20. Pp. 509−517.
  33. Kimura H. A further result on the problem of pole assignment by output feedback // IEEE Trans. Automatic Control. 1977. Vol. AC-22. Pp. 458−463.
  34. Lee T.-L., Li T.-Y., Tsai C.-H. HOM4PS-2.0: a software package for solving polynomial systems by the polyhedral homotopy continuation method // Computing. 2008. Pp. 109−133.
  35. Li T.-Y. Numerical solution of multivariate polynomial systems by homotopy continuation methods // Acta Numerica. 1997. Vol. 6. Pp. 399−436.
  36. Li T.-Y. Solving Polynomial Systems By Polyhedral Homotopies // Taiwanese Journal Of Mathematics. 1999. Vol. 3, no. 3. Pp. 251−279.
  37. Li T.-Y., Tsai C.-H. HOM4PS-2,Opara: Parallelization of HOM4PS-2.0 for Solving Polynomial Systems // Journal Parallel Computing. 2009. Vol. 25, no. 4. Pp. 226−238.
  38. Luenberger D. G. Observers for Multivariable Systems // IEEE Transactions On Automatic Control. 1966. Vol. AC-11, no. 2. Pp. 190−197.
  39. Misra P., Patel R. V. Numerical Algorithms for Eigenvalue Assigment by Constant and Dynamic Output Feedback // IEEE Transactions On Automatic Control. 1989. Vol. 34, no. 6. Pp. 579−588.
  40. Rantzer A. On The Minimal Stabilizing Feedback Order Of Linear Siso-Sys-tems // Proceedings of Ihe 26th Conference on Decision and Control. New York, N.Y.: IEEE, 1987. Pp. 459−460.
  41. Silverman L. M. Realization of Linear Dynamical Systems // IEEE Transactions On Automatic Control. 1971. Vol. AC-16, no. 6. Pp. 554−567.
  42. Smith M. C. Stabilization by Reduced-Order Controllers // IEEE Transactions On Automatic Control. 1991. Vol. 36, no. 1. P. 120.
  43. Stengel R. F., Wang Q. Searching for Robust Minimal-Order Compensators // Proceedings of the American Control Conference. Evanston, Illinois: American Automatic Control Council, 1998. Pp. 3138−3142.
  44. Wonham W. M. On Pole Assignment in Multi-Input Controllable Linear Systems // IEEE Trans. Automatic Control. 1967. Vol. AC-12, no. 6. Pp. 660−665.
  45. Zhang S.-Y., Chen C.-T. Design of Unity Feedback Systems to Achieve Arbitrary Denominator Matrix // IEEE Transactions On Automatic Control. 1983. Vol. AC-28, no. 4. Pp. 518−521.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?