Многоточечная задача для уравнения Пуассона

Теория линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения Ьи = /, с оператором Ь: И —В, где Вбанахово пространство, линейное многообразие И изоморфно прямому произведению Вх Дт, развивалась и изучалась в работах Пермского Семинара под руководством проф. Н. В. Азбелева [1].

В работах [2],[4],[32],[42] заложены основы теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения (ФДУ), которая появилась в результате осознания общих приёмов исследования конкретных классов уравнений. Эти приёмы сводились к выбору банахова пространства В, построению линейной инъекции, А: В —В и указанию конечномерного пространства Е, расширяющего образ АВ. Приложениям общей теории посвящены работы [1],[3],[19]—[22].

Каждое пространство вида Б = АВф Е изоморфно В х Лто и определяет свой класс уравнений. Теория абстрактного ФДУ охватывает достаточно широкий класс уравнений. Удачный выбор пространства Б позволяет для изучаемого уравнения не доказывать заново общие утверждения о замкнутости, нормальной разрешимости и нётерово-сти, а сосредоточить усилия на получении таких утверждений, которые определяются спецификой данного уравнения.

Теория абстрактного ФДУ использует операторы, определённые на произведении В х К71 (здесь Вт изоморфно Е) или действующие в такое произведение. Такие операторы порождают пару линейных операторов, А: В —"• Б и У: Ят —" И так, что.

Л, У}{г,/?} = Лг + У/?, 2 е В,^Г. (0.1).

Линейные отображения 5: И М и г: И Ят зададим так, что.

6и — г, ги = (3. Тогда имеет место разложение и = А 5и + Уги.

В этом разложении инъекция Л и биекция У задаются, а конструирование отображений 6 и г представляет собой специальную задачу. Из (0.1) следует, что для любых 2? В, ?3? Ят г = 6Аг + 6У/3, (3 = г Ах + гУ (3. Отсюда получаем определяющее тождества.

8 Ах = г, гАг = 0, гУ (3 = /3, 8У/3 = 0,.

Норма в пространстве В х Ят определяется равенством.

Относительно этой нормы изоморфное В х К" 1 пространство И будет банаховым.

В рамках абстрактной теории линейного уравнения были доказаны теоремы о разрешимости краевых задач, их нётеровости, фредгольмо-вости и регуляризации, сформулированы утверждения о представлении решений, скорости конечной аппроксимации операторов Грина и полноте системы их корневых векторов [1],[3],[23].

Следует отметить, что большинство результатов применения теории абстрактного ФДУ, полученных до сих пор, относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Одно из немногих исключений — работа [16], в которой рассматриваются вопросы разрешимости одного класса уравнений в частных производных с вольтеровыми операторами.

Безусловно, основные результаты, полученные в теории абстрактного ФДУ, могут быть переформулированы для уравнений с частными производными, но это потребует дополнительных построений.

В настоящей работе методы теории абстрактного ФДУ применяются к линейным возмущениям оператора Лапласа.

В работе вместо привычных краевых задач Дирихле и Неймана рассматривается уравнение Пуассона с ограничениями в виде некоторых линейных функционалов, более подробно рассмотрены ограничения в виде точечных равенств или неравенств. Приведём несколько простых примеров, указывающих на правомерность такой постановки задачи.

В монографии[24], рассматривается задача о кручении балки с поперечным сечением В.

А и = -1 в Б, и = 0 на границе Г.

Граница Г состоит из двух отрезков прямых у = ±1 для |ж| < 1 и двух дуг полуокружностей радиуса 1 с центрами в точках ±1. у — 0 для |х| > 1 (см. рис. 0.1).

Рис. 0.1.

Решение задачи ищется в виде приближения ч v = ь0 + ]г ам, 1 где Vочастное решение задачи, а г^- - гармонические в В функции. Коэффициенты а^ определяются так, чтобы на границе нулевые граничные значения можно было достаточно хорошо аппроксимировать функцией v. Для этого берется 200 точек на границе Г, и с помощью симплекс-метода минимизируется величина тах (^), где ^ = |г>0(£*) + У^ |. г г—4.

3 = 1.

При этом получается решение, которое, очевидно, зависит и от выбора точек границы Г, и от их количества. Кроме того, даже в 200 выбранных точках не выполнено м (?г-) = 0.

Этот приведенный пример показывает, что некоторые методы решения краевых задач состоят в переходе к задаче с точечными условиями на границе.

Другой пример. Решение той же самой задачи конечно-разностными методами приводит к замене условий на границе условиями вида Ьц = 0, для сеточного решения уц краевой задачи Дирихле. В зависимости от шага сетки сеточное решение и^ может сильно варьироваться, что однако не мешает широкому распространению метода сеток для решения практических задач.

Почему, как правило, предлагаются первая, вторая и третья краевые задачи? Ответ на этот вопрос содержится в трудах по теории математической физики. Однако в случае задания каких-либо ненулевых граничных условий на криволинейной границе, очень трудно найти обоснование, почему выбрана та или иная функция. Как в практической задаче мы можем получить условия на границе, если они не являются однородными? Например, если имеет место неравномерный нагрев. Скорее всего, температура могла бы быть измерена в нескольких точках границ, а затем проведена подходящая интерполяция или приближение, но реально перед нами стояла бы задача.

Аи = О 7 г, где ¿-г- - точки границы.

Мнение о таких постановках задач и методах их решений можно найти в [6]: далее в случае двух переменных область Г2, имеющая криволинейные границы, уже довольно сложный объект, и для ее экономного описания нужно привлекать весь. аппарат приближенного представления функций,. Численные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных развивались в значительной степени под влиянием запросов чисто прикладных областей механики и физики, и это наложило свой отпечаток на их теорию.

Более того, многие мет, оды решения краевых задач были первоначально развиты не математиками-профессионалами, а специалистами в области механики или физиками, либо инженерами. Примерами могут служить метод Бубнова-Галёркина, метод Ритцаосновополагающие работы по методу конечных элементов принадлежат Дж. Аргирису, М. Тернеру, Р. Клафу, X. Мартину, JI. Топу и др. Вообще многие численные методы приобрели яркую инженерную окраску, и часто вопросы, математического обоснования приносились в жертву технологической простоте и доступности алгоритма, для широкого круга пользователей. Хотя в настоящее время ряд алгоритмов обладает широкой известностью и среди множества алгоритмов появились свои «звездыеще рано выносить какие-либо окончательные суждения.» .

Но, оказывается, можно найти примеры, в которых возникают задачи несколько другого вида.

Обратимся к истокам. Процитируем [35]: «Кирхгоф рассматривает систему находящихся в соприкосновении нелинейных проводников, через которую проникает электрический тюк. Он, выводит, сначала уравнение Лапласа, описывающее распределение напряжения v (x, y, z) в каждом проводнике системы. Дг> = 0. Кирхгоф выясняет дальше краевые условия для, напряжения тока v (x, y, z). На, части, соприкосновения поверхности S проводника с диэлектриком, например, с сухим воздухом, где нет утечки, электричества, должно быть dv дп ' на части соприкосновения S с другими проводниками, dv dv' on on v — V = с, (с = const), где v'(x, y, z) -напряжение тока соседнего проводника системы,' к, к.

— коэффициенты теплопроводности, п, п' - соответствующие нормали, к S, направленные внутрь проводниковсизвестная постоянная, определяющая электродвижущую силу на поверхности стыка проводников." .

Отсюда видно, что при наличии малой площади соприкосновения проводников, например, если проводник — провод малого диаметра, условия на поверхности соприкосновении проводников становятся точечными, то есть задача, рассматриваемая нами, может быть актуальна не только как метод решения известных краевых задач, но и использоваться там, где условия на границе по каким-то причинам не могут быть заданы в виде гладких функций.

Заметим также, что хотя до сих пор говорилось лишь о точках на границе, эта методика позволяет находить решения многоточечной задачи в случаях, когда заданы значения в точках, находящихся внутри рассматриваемой области.

В диссертации также исследуется ряд задач с неравенствами. Некоторые из них допускают физическую или экономическую интерпретацию, например в задаче.

Д" = /, и (и) — < ац, г, 3 е {1, • • •, т} ограничения вида м (^) — ¦и (^) < а^, г, ] Е {1,., т} означают, что работа в потенциальном поле с плотностью источников /(Ь) при перемещении из точки ti в точку не должна превышать заданного значения а^. Однако, для более общих задач.

Ьи = / внутри области, оц < и (и) < г, = 1,., га, на границе области, где Ь: дифференциальный оператор, /г- - линейные функционалы, можно предложить следующее обоснование.

Одним из приближённых методов решения краевой задачи.

Ьи = /, к (и) = 7,-, г = 1,., га, является следующий:

Подбирается некоторая функция V = такая что —.

7, для всех г = 1, ., га. Затем выбираются коэффициенты а^ так, чтобы минимизировать величину d = Ьу — f ||.

При альтернативном подходе выбирается такая функция Е 1.

IV = > ОуЭД/, что Ьги — /, и затем подбираются коэффициенты так, чтобы |/:(«.') — 7?-| < ь, г = 1,.. , га, где? допустимое для нас отклонение. Так мы приходим к задаче с краевыми неравенствами.

Основные теоремы данной работы опираются на классические результаты [28],[29],[33]. Этим определяется выбор в качестве основного пространства В класса непрерывных по Гёльдеру функций.

Для эллиптических уравнений второго порядка общего вида.

Ьи = /, (0.2).

Ьи — £" а=1 + ЬкЩк+си) классическими являются задача.

Дирихле, в которой на границе 80, области О,? Яп задаются значения и.

О.З) и задача Неймана, в которой на границе 80, задаются значения производной и по направлению внешней нормали к 80,.

6п = ф (*). (0.4).

Наиболее полные результаты по разрешимости задачи Дирихле в ограниченных областях О, были получены Шаудером, и, частично, Каччопполи в работах [45],[46],[43].

Они формулируются в терминах пространств Гёльдера С/+а (П), тдеП = ПидП.

Элементами Са (0) являются функции и (Ь), непрерывные в О в смысле Гёльдера с показателем (0,1], то есть и (1) непрерывна в О и для неё.

8иР и ?.|" = М" <

Норма в Ca (Q) определяется равенством.

H|? = sup|M (i)| + (w)5. ten.

Элементами Cl+a (Q), I > 1, являются непрерывные в Q функции, имеющие всевозможные производные до порядка /, причем производные порядка / есть элементы Ca (Q). Норма в Cl+a (Q) определяется равенством: 1 к=0 (к) tGQ (/).

Пространство I > 0 являются банаховыми.

Граница 8Q принадлежит классу С/+а, I > 1, а Е (0,1), если существует число р > О, такое, что пересечение сЮ с шаром Вр радиуса р с центром в произвольной точке t° Е dQ есть связная поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат (?/i,., уп) с началом в точке (ось у направлена по нормали к <90 в точке xq, а остальные, ортогональные друг другу лежат в гиперплоскости, касательной к dQ в точке хо), имеет вид уп = со (у,., уп-1), причем to есть функция класса С1+а в замкнутой области Bto pi являющейся ортогональной проекцией пересечения dQ и шара Вр на плоскость Уп = о.

Важным результатом Шаудера является следующая.

Теорема. Если коэффициенты и свободный член / эллиптического уравнения (0.2) являются элементами C,+a (Q), I > 0- где Q — ограниченная, область в Rn, и квадратичная форма aik^k является положительно определённой, т. е. п п.

У^ Q’ikiiik > V ii V — c0nst > i, k—l k= 1 и c (t) < 0, dQ принадлежит классу.

Cl+2+a, а правая часть краевого условия (р Е Cl+2+a (Q), то задача (0.2)-(0.3) имеет решение и, принадлежащее Cl+2+a (Q) и оно единственно.

Этот результат Шаудера указывает на целесообразность выбора класса гёльдеровских функций в качестве основного пространства В при применении теории абстрактного ФДУ.

На основе этой теоремы, а также факта компактности вложения С/+а (Г)) в С1 (О.) и спектральных свойств вполне непрерывных операторов может быть установлен аналог первой и второй теорем Фред-гол ьма для оператора Ь при условии Дирихле, которыми мы также будем пользоваться.

Ряд результатов, относящихся к свойствам решений задач эллиптического типа в пространствах Гёльдера, можно найти в [28], [29], [33], [38], [39],.

Идея сужения пространства решений исходного эллиптического уравнения (0.2) за счет выбора специальных функций у, таких, что Ьу = 0 встречается, например, в [26], таким образом, выбирая в качестве у специальные гармонические функции мы идем «по стопам» классиков.

В представленной работе помимо классического эллиптического уравнения Аи = / с некоторым набором дополнительных ограничений (здесь мы отказываемся от классических краевых условий, хотя приоритет здесь принадлежит не нам: «кстати, краевых задач для уравнения Гелъмголъца у самого Гельмголъца, нет «[35],) рассматривается возмущённое уравнение.

Аи + Ти = /, (0.5) где Тнекоторый линейный ограниченный оператор.

Подобные уравнения Аи (Ь) — Б^.и) = 0, где Б — конечная и непрерывная функция своих аргументов, положительная и возрастающая вместе с и, рассматривал Пикар [44, гл. З, § 1].

В нашем же случае в качестве оператора Т может быть выбран интегральный оператор, и идею рассмотрения такого рода уравнений можно найти в [36], где об уравнениях теплопроводности говорится, что «внутри стержня может возникать тепло, например, при прохождении тока, вследетвии химических реакций и т. д. «. Выделение тепла может быть характеризовано плотностью тепловых источников в точке х в момент времени В результате действия этих источников на участке стержня ж, х—ё, х за промежуток времени (?1, ?2) выделится некоторое количество тепла. При таких условиях в уравнение должен быть введен интегральный оператор, то есть возникает уравнение типа (0.5).

Перейдем к описанию основной части работы. Она состоит из 5 глав и приложения.

1. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. К абстрактной теории линейного уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. научных трудов/ ППИ. Пермь, 1989. С. 15−27.

2. Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. Структурные свойства операторов и функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. научных трудов/ ППИ. Пермь, 1988. С. 3−14.

3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф.

Введение

в теорию функциональнодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 240 с.

4. Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф. Абстрактное функционально-дифференциальное уравнение // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. с. 6. научных трудов/ ППИ. Пермь, 1987. С. 3−11.

5. Ашманов С. А. Линейное программирование. М.:Наука, 1981. 304с.

6. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

7. Бондарева. Г. С. Многоточечная задача для обобщенного уравнения Пуассона. // Изв. Ин-та матем. и информ./ УдГУ. Ижевск.1995. № 2. С.25−33.

8. Бондарева. Г. С. Разрешимость возмущенного уравнения Пуассона с точечными неравенствами: Тез. докл. 3-й рос. универ.-академ. науч.-практ. конф. Ижевск. 1997. Ч. 5.

9. Бондарева Г. С. Многоточечная задача для уравнения Пуассона // Изв. Ин-та матем. и информ./ УдГУ. Ижевск. 1998. № 4(15). С.3−80.

10. Бондарева. Г. С. О гармонической интерполяции в Rn: Тез. докл. 4-й рос. универ.-академ. науч.-практ. конф. Ижевск. 1999. Ч. б. С. 27.

11. Бондарева Г. С. Интегро-дифференциальные уравнения с точечными неравенствами: Тез. докл. 4-й рос. универ.-академ. науч.-практ. конф. Ижевск. 1999. Ч. 6. С. 28.

12. Бондарева. Г. С. Интерполяционная задача для уравнения Пуассона: Тез. докл. рос. математ. конф." Понтрягинские чтения-Х". Воронеж. 3−9 мая 1999.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1981.

14. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М.: Мир, 1986.

15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.:Мир, 1965.

16. Гусаренко С. А. Обобщенная вольтеровость и ее приложения к линейному функциональнодифференциальному уравнению с частными производными // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. научных трудов/ ППИ. Пермь, 1989. С. 53 57.

17. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехиздат, 1953.

18. Еремин И. И., Астафьев H.H.

Введение

в теорию линейного и выпуклого программирования. М.:Наука, 1976. 192 с.

19. Исламов Г. Г. Критерий разрешимости уравнений с краевыми неравенствами // Изв. Ин-та матем. и информ. /УдГУ. Ижевск, 1994. Вып.2.

20. Исламов Г. Г. О некоторых приложениях теории абстрактного дифференциального уравнения I // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25, С.1872−1881.

21. Исламов Г. Г. О некоторых приложениях теории абстрактного дифференциального уравнения II // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, № 11. С.224−232.

22. Исламов Г. Г. Оценки минимального ранга конечномерных возмущений операторов Грина // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.26, № 9. С. 1496−1503.

23. Исламов Г. Г. Экстремальные возмущения линейных операторов: Автореф. дис.. докт. физ.-мат. наук/ ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1993. 30 с.

24. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. 448 с.

25. Коллатц Л., Крабе В. Теория приближений. Чебышевские приближения. М.: Наука, 1978. 272 с.

26. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М., Л.:Гостехиздат, 1951.

27. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

28. Ладыженская О. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.:Наука, 1973.

29. Миранда С. Уравнения в частных производных эллиптического типа. М.:ИЛ, 1957 (1970).

30. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

31. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982.

32. Рахматуллина Л. Ф. О регуляризации линейных краевых задач// Изв. вузов. Математика. 1987. № 7(302). С. 37−44.

33. Ремпель Ш., Шульце Б. -В. Теория индекса эллиптических краевых задач. М.:Мир, 1986.

34. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике. М.: Статистика, 1974. —374 с.

35. Сологуб B.C. Развитие теории эллиптических уравнений в XVIII-XIX столетиях. Киев: Наукова думка, 1975. 230с.

36. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.:Наука., 1953.

37. Треногий В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

38. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.:Мир, 1980.

39. Трибель X. Теориия функциональных пространств. М.:Мир, 1986.

40. Черников С. Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. 488 с.

41. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. 1072 с.

42. Azbelev N.V., Rakhmatullina L.F. Theory of linear abstract functional differential equations and application // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Phisics, 1996. Vol.8.

43. Cacciopolli R. Sulle equazioni ellittiche a derivate partiali con n variabili independenti— Rend. Acc. Lincei, 1934, 19.

44. Picard E. Memoire sur la theorie des equation aux derivees partielles etla methode des approximations successives.—J.math. pures et appl. Ser.4,t.6. 1890. P.145−210.

45. Scauder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung—Math. Z. 1934, 38.

46. Scauder J. Numerische Abschatzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen— Studia Math. 1934, 5.