Основные результаты настоящего параграфа следующие:
1) найдено общее решение однородного уравнения (4.32)в указанном классе функций;
2) произведена диагонализация оператора II в двумерном случае (п=1) и показано, что достаточно научиться решать уравнение (4.32) в этом случае, случай произвольной размерности сводится к двумерному.
4.4.2. НАРУШЕНИЕ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ. Легко проверяется, что единственность решения в поставленной задаче утрачивается. Действительно, попытаемся искать решение однородной задачи в виде полинома от г с коэффициентамифункциями от х, т. е. т.
ЗД = ?/*(?)¦ (4.35) к+О.
Подставляя (4.35) в уравнение (4.32) при К=0, получим т г / Мх){р-(х, у))кс1х = 0. (4.36) 0.
Очевидно, уравнение (4.36) удовлетворено, если все моменты каждой функции /¿-(ж) до порядка к равны нулю. Обратно, пусть равенство (4.36) имеет место. Тогда выражение, стоящее в левой части равенства, есть полином от р и у степени га. Он представляет собой сумму однородных полиномов степеней, не превышающих т. При этом слагаемое, являющееся однородным полиномом степени к, есть.
I с! х/к (х)(р — (х, у))к = 0. (4.37).
Очевидно, из (4.37) следует / йх Д (ж)(ж, у)1 = 0 при всех I < к. Наконец, из последнего равенства вытекает, что все моменты /¿-(ж) степеней, не превышающих к, равны нулю. Ниже доказано, что иных решений однородного уравнения, кроме решений вида (4.35), нет.
4.4.3. ОЦЕНКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА. Нетрудно проверить, что при наложенных ограничениях на ?
КрШР) < Са1 + у + |р||т°, (4.38) где-то < т. Действительно, ПЦ^у, р) | = 11 Пх, у) + г-р) йхйг = | II ?{х^)5^{х, у) + г-р)-Яа (х)(1хйг = | Ц Б^Цх, г)5((х, у) + г — р) • Я*{х) йхйх.
Здесь (^а (х) — полином от х степени, не превышающей |а|. Применяя оценку (4.34) с 5 > п+ а | +т + 1, получим.
КуМ оо гп-1 + |а| • (1 + р + ут) т <1Г. о ^ '.
Последнее выражение есть, очевидно, полином степени т от |у| и |р|, откуда вытекает оценка (4.38) с то = т. Не исключена однако ситуация, когда показатель то в оценке (4.38) в действительности меньше т.
4.4.4. РЕДУКЦИЯ ЗАДАЧИ К ДВУМЕРНОЙ СИТУАЦИИ.
Очевидно, что достаточно научиться исследовать уравнение (4.32) в двумерном случае (п=1). Действительно, пусть фиксировано направление вектора у: у = уш, где ш — фиксированный единичный вектор, ш? ffin, у — вещественное число. Тогда уравнение (4.32) может быть записано в виде:
У J dzdq5(qy + z-p)f (q,?3,z)=F (io, y, p)t (4.39) где f (q, w, z) := J f{x, z)8((x, cu) — q) dx.
Функция f (q, Си, z) является преобразованием Радона быстро убывающей функции /(¦, z) в Rn (z выступает в роли параметра). Задача нахождения f (x, z) по известной при всех q, си, f (q, ¿-и, z) есть хорошо изученная классическая задача Радона. Приведем, ради полноты, известные формулы восстановления f (x, z) по f (q, си, z) z) = / ^ ' (4−4°) где функция G (x, z, си) определяется формулой.
G (x, z, u) = J f ({x, cu)+p, Q)^Jp.
О 2 /.
Величина интеграла понимается как аналитическое продолжение по параметру Л от его значений, для которых ReX > —1, (см. [37]). Тем самым поставленная выше задача свелась к решению уравнения (4.39), при каждом фиксированном значении си. Уравнение (4.39) — это по существу одномерный вариант уравнения (4.32) при произвольном фиксированном си. Дальнейшее исследование будем вести именно для этого случая.
4.4.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СФОРМУЛИРОВАННЫХ ВЫШЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. Итак, перепишем уравнение (4.32) применительно к случаю п=1, зависимость от си, а также птичку над f при дальнейшем исследовании при записи отмечать не будем.
J J f (x, z)5(z + xy-p)dxdz = F{y, p). (4.32').
Пусть рассматриваются интегралы от f вдоль прямых, проходящих через фиксированную точку x0, z0 т. е. z)5(z + ху — zQ — xQy) dx dz = F (y, z0 + x0y). (4.41).
Функции f и F удовлетворяют тем же оценкам (4.34) и (4.38) соответственно. Завышая при необходимости степень m в оценке (4.34), всегда можно считать, что m — нечетно.
Умножая равенство (4.41) на (1 + у2)-" ½−1 и интегрируя по у в пределах от минус до плюс бесконечности, получим:
J dy{ 1 + у2)-&trade-/2−1 J J f (X) 2щг 2о (XQ х) у) dxdz = х — жо|т+1 J J dxdzf (x, г) х — х0)2 + + г0)2)т/2+1 = Н (х0,г0), (4.42) где.
Н (х0,гь) = / йу (1 + у2)-т^-1Р{у, г0 + х0у).
Левая часть равенства (4.42) представляет собой свертку функций Г (х, г) и хт+1г~(т+2 где г = /х2 + г2. Интеграл, входящий в эту свертку, очевидно, сходится. Перейдя к преобразованию Фурье, получим:
Тт+1.
Ж’СН^) = Я (?, С). (4.43).
Здесь волна обозначает преобразование Фурье, переменные С — двойственные х, ъ. Ниже будем использовать также р = /?2 + (2. Воспользовавшись известными свойствами преобразования Фурье, а также легко проверяемой формулой АгА = А2г А2, найдем т+Т^т-2) = (т!!)~2(-г|р)т+1(д^ • 1) =.
Наконец (см. [37]) (?) = 27Г^, что приводит к равенству: а-т+1Т7-т-2) = 27 Г (т!!)-2(^)т+1рт.
Обозначая далее к-кратное дифференцирование ио? символом или (в случае производных 1-го или 2-го порядка) штрихом, докажем, что рт)(т+1) = (тН)2^"+1. р-т-Ъщ (4.44).
Напомним, что мы считаем ш — нечетным.
Простым дифференцированием легко проверяется, что формула (4.44) верна в случае т=1.
Пусть формула (4.44) доказана для некоторого нечетного т. Проверим, что тогда она остается справедливой, если заменить т на т+2. Действительно, по формуле Лейбница: (П{т+3) ¦ Р2 + С (т+3)(рт)Ст+2) ¦ (Р2)' + С1т+3)(рт){т+1р2)" = (т\)2[(С+1р~т~2)" р2 + (т + 3)(Ст+1рт2)/2^+ т + 3)(т + 2) Ст+1р" т" 2] = = (т!!)2Ст+1[ ~ (гп + 2)(/9-т-40'р2—2 (т + 3)(т + 2) р—4)е2 + (т + 3)(т + 2) р-т~2] = = (т!!)2(т + 2) Ст+1[(т + 4) р-т~6?2 • р2~.
— р-т~4р2 — 2(т + 3)/Гт-4£2 + (т + 3) р-т" 2] = = (т!!)2(ш + 2) Ст+1[(т + 2) р~т~2 — (т + 2)?2 • р" «1″ 4)] = ((т + 2)!!)2Ст+1/5т» 4(р2 — ?2) = ((т + 2)!!)2Ст+3р" т4.
Формула (4.44) доказана, и доказано, что т+1~-т-2) = 2тгСт+1рт2-Итак, уравнение (4.43) имеет вид:
Г+1. с) = с)< (4 45).
Формула (4.45) решает задачу диагонализации оператора.
Остановимся на рассмотрении однородного уравнения (4.45). Очевидно, при Н — 0 решением этого уравнения могут быть только линейные комбинации ¿-© и ее производных до порядка т с коэффициентами — функциями от Отсюда следует, что решениями уравнения (4.42) могут быть только функции вида.
771 гк/к (х) — полиномы от г с коэффициентами, зависящими от 0 х. Из равенства (4.40) вытекает, что-то же утверждение переносится на случай произвольной размерности.
1. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики. В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных, Наука, М., 1967, с. 9−84.
2. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Наука, Новосибирск, 1978.
3. Аниконов Ю. Е. Формулы обращения для задач кинематической сейсмики и интегральной геометрии. В кн.: Мат. проблемы геофизики, вып.1. Новосибирск, 1971, с. 41−47.
4. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Наука, М., 1972, 456 с.
5. Бабич В. М., Булдырев B.C., Молотков И. А. Пространственновременной лучевой метод. Изд. ЛГУ, Ленинград, 1985, 272 с. 7. Баев A.B.
6. Белинский С. П. Об обратной задаче для линейных симметрических t-гиперболических систем I порядка. В кн.: Математические проблемы геофизики, вып. 6, ч.2. Новосибирск, 1975, с. 100−109.
7. Белинский С. П. Об одной обратной задаче для нелинейных симметрических t-гиперболических систем с п-ь1 независимыми переменными. Дифференциальные уравнения, 1976, N 1, с. 1523.
8. Белинский С. П. Теорема единственности одной обратной задачи для гиперболической системы первого порядка. В кн.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1976, с. 24−30.
9. Белишев М. И. Обратные задачи рассеяния плоских волн для одного класса слоистых сред. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 78, 1978, с. 30−53 .
10. Белишев М. И. Уравнения типа Гельфанда-Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения, В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 165, N 17, 1987, с. 15−20.
11. Белишев М. И., Благовещенский A.C. Динамические обратные задачи теории волн. Изд. СПбГУ, 1999, 266 с.
12. Белишев М. И., Благовещенский A.C. Прямой метод решения нестационарной обратной задачи для волнового уравнения. В сб.: Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Красноярск, 1988, с. 43−49.
13. Белишев М. И., Благовещенский A.C. Многомерные аналоги уравнений типа Гельфанда-Левитана-Крейна в обратной задаче для волнового уравнения. Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Наука, Сибирское отделение, Новосибирск, 1992, с. 50−63.
14. Белишев М. И. Обратная задача рассеяния для одного класса слоистых сред. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 78, 1978, с. 30−53.
15. Белишев М. И. О нарушении условий разрешимости обратной задачи для неоднородной струны. Функциональный анализ и его приложения, т. 94, 1975, с. 57−58.
16. Благовещенский A.C. Обратные задачи теории распространения упругих волн. Изв. АН СССР, Физика Земли, N 12,1978, с. 50−59.
17. Благовещенский A.C. Обратная задача теории распространения волн в случайной среде. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 89, 1979, с. 63−70 .
18. Благовещенский A.C. Обратная задача теории распространения волн в случайной слоистой среде. «Диф.уравнения т. 41, N 10, 2005, с. 1442−1448.
19. Благовещенский A.C. Распространение волн в случайной слоистой среде. Обратная задача. Сибирский мат. журнал, т. 50, N 4, 2009.
20. Благовещенский A.C. Обратная осесимметричная задача Лэмба. В кн.: Записки научных семинаров ПОМИ, т. 203, 1992, с. 51−67.
21. Благовещенский A.C. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн. В кн.: Проблемы математической физики. Л.:ЛГУ, вып. 1, 1966, с. 68−81.
22. Благовещенский A.C. Обратные задачи акустики в движущейся среде. В кн.: Проблемы математической физики, вып. 11, Изд. ЛГУ, Л., 1986, с. 46−58.
23. Благовещенский A.C. Одномерная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 78, 1969, с. 85−90.
24. Благовещенский A.C. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны. В кн.: Труды математического института им. В. А. Стеклова, CXV. Наука, Л., 1971, с. 28−38.
25. Благовещенский A.C. О теореме существования решения обратной задачи теории распространения волн в слоистой среде. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск, 1983, с. 44−45.
26. Благовещенский A.C. О различных постановках одномерной обратной задачи для телеграфного уравнения. Проблемы математической физики, вып. IV, 1970, с. 40−41.
27. Благовещенский A.C., Воеводский К. Э. Обратная задача теории рассеяния от слоисто-неоднородного полупространства. Дифференциальные уравнения, t.XVII. N 8, 1981, с. 1434−1445.
28. Благовещенский A.C., Лаврентьев К. К. Обратные задачи нахождения граничного условия в теории распространения нестационарных волн. I. В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ, т.51, 1975, с. 78−84.
29. Благовещенский A.C. О задаче интегральной геометрии Лаврентьева-Романова.Вест. ЛГУ, серия матем., N 19,1979, с. 110 112.
30. Благовещенский A.C. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий. Математические Заметки, т. 39, N 6, 1986, с 841−849.
31. Благовещенский A.C. Формулы обращения преобразования Радона функций с заданным носителем по неполным данным. Тезисы докладов Всероссийской конференции условно-корректных задач математического анализа, Новосибирск, 1992, с 92−93.
32. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. Наука, М., 1981, 208 с.
33. Вилепкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. М., 1965, 588 с.
34. Гихман И. И., Скороход A.B.
Введение
в теорию случайных процессов. Наука, Москва, 1965, 654 с.
35. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Граев М. И. Интегральная геометрия и связанная с ней теория представлений. Физмат-гиз, М., 1962, 612 с.
36. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. Добросвет, М., 2000, с 208.
37. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, сер.матем., т.15, 1951, 319 с.
38. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., 1959, 470 с.
39. Горюнов A.A., Сасковец A.B. Обратные задачи рассеяния в акустике. МГУ, М., 1989, 152 с.
40. Кабанихин С. И. Применение энергетических неравенств к одной обратной задаче для гиперболического уравнения. Дифференциальные уравнения, т.15, N 1, 1979, с. 61−67.
41. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, М., 1968.
42. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи. ДАН СССР, т.94, N 6, 1955, с. 987−990.
43. Крейн М. Г. О переходной функции одномерной краевой задачи второго порядка. ДАН СССР, т.88, N 4, 1953, с. 405−408.
44. Лаврентьев К. К. Обратные задачи нахождения граничного условия в теории распространения нестационарных волн, II. В кн.: Записки научного семинара ЛОМИ, т.51, 1975, с. 129−133.
45. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений. ДАН СССР, т. 171, N 6 1966, с. 1279−1281.
46. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Наука, Сиб.отд., Новосибирск, 1969, 67с.
47. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Наука, Новосибирск, 1981. 286 с.
48. Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн. ДАН СССР, т.104, N 5, 1955, с. 350−357.
49. Наттерер Ф. Математические основы компьютерной томографии. Мир, М., 1990, 279 с.
50. Нижник JI.П., Тарасов В. Г. Обратная нестационарная задача рассеяния для гиперболической системы уравнений. ДАН СССР, т.233, N 3, 1977, с. 300−303.
51. Нижник Л. П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений. Наукова Думка, Киев, 231 с.
52. Парийский B.C. Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на глубине. В кн.: Вычислительная сейсмология, вып. 2. Наука, М., 1969, с. 37−51.
53. Романов В. Г. О восстановлении функции через интегралы по эллипсоидам вращения, у которых один фокус подвижен. ДАН СССР, т. 173, N 4, 1967, с. 766−769.
54. Романов В. Г. Об одной обратной задаче для слабо связанных гиперболических систем первого порядка. В кн.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1976, с. 135−148.
55. Романов В. Г. Обратная задача Лэмба в линейном приближении. В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях. Наука, Новосибирск, 1983, с. 170−192.
56. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференцальных уравнений. Изд. НГУ, Новосибирск, 1973, 252 с.
57. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Наука, М., 1984, 263 с.
58. Романов В. Г., Белинский С. П. К задаче определения коэффициентов ¿—гиперболической системы. Изд. ВЦ СОАН СССР. Препринт 23, Новосибирск, 1976, с. 16−24.
59. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. Наука, М., 1991, 305 с.
60. Романов В. Г., Слинючева Л. И. Обратная задача для линейных гиперболических систем первого порядка. В кн.: Математические проблемы геофизики. Вып.З. Новосибирск, 1972, с. 187−215.
61. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз, М., 1963, 1100 с.
62. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. «НаукаМ., 1979, 288 с.
63. Успенский C.B., Садыкова С. Б. О некоторых задачах интегральной геометрии. Сиб.мат.ж., т. 18, N 3, 1976, с. 414−425.
64. Хелгасон С. Преобразование Радона. Мир, М., 1983,120 с.
65. Яхно В. Г. Одномерная и линеаризованная многомернаяобратные задачи Лэмба, в кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Изд. ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1983, с. 242−244.
66. Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Наука, Сиб.отд., Новосибирск, 1990, 304 с.
67. Belishev М., Blagovestchenskii A., Ivanov S. Two velocity Dinamical System: Boundary Control of Waves Inverse Problems. «Wave motion vol. 25, 1997, p 83−107.
68. Blagovestchensky A.S. On an appoach to inverse problem of the wave propagation in dissipative lagered media. PDMI PREPRINT-8/1995, 5 p.
69. Blagovestchensky A.S. Inversion formula of the Radon-transformation with a given support. J. of Inverse and ill-posed Problems, VSP v. 2,1. N 2, 1993, pp 109−116.
70. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys.Rev.Lett., v. 19, N19, 1967, p. 1095−1097.
71. Helgason S. The Radon transform. Birkhaser, Boston, Basel Stuttgart, 1980.
72. Kay I., Moses H.E. Nhe determination of the scattering potential from the spectral measure function. Nuovo Cimento, v.3, N 2, 1956, p. 276−304.
73. Благовещенский А. С., Кабанихин С. И. Об обратной задаче теории распространения волн в полубесконечном нерегулярном волноводе. Диф. уравнения, т. XIX, N 4? 1983, с. 603−607.
