Почти периодические решения и устойчивость характеристических показателей дифференциальных уравнений с импульсным воздействием

Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием возникают как математические модели процессов, подверженных кратковременному внешнему воздействию. Такие явления с «мгновенным» изменением состояния системы можно наблюдать в механике, ракетной технике, электронной технике. Их изучают в теории автоматического регулирования, задачах оптимального управления /^1″ 16−20, 46, 48, 49, 51, 58, 65, 71, 84, 99-IOlJ .

Возникновение возмущений, влияющих на изменение реального процесса, всегда происходит во времени, но при определении отклонений, вызванных этими возмущениями, обычно временем пренебрегают. В результате этого при математическом моделировании и возникают такие идеализации, как дираковская & - функция или условия разрыва решения.

Известны разнообразные методы исследования систем с импульсным воздействием.

Н.М.Крылов и Н. Н. Боголюбов в монографии[5ij для исследования колебаний маятника, возбуждаемых мгновенными импульсами, эффективно применяли метод усреднения. Ю. А. Митропольский развил эти идеи [65J, применяя их к более широкому классу систем.

Дальнейшее развитие и всестороннее обоснование метод усреднения для импульсных систем получил в работах А. М. Самойленко [83J, А. М. Самойленко и Н. А. Перестюка^89j, а также работах других авторов.

В работах А. А. Андронова и его школы методом точечных отображений исследованы динамические системы с ударными взаимодействиями [4, 16−19, 69, 7oJ. В таких системах мгновенное изменение происходит при достижении движущейся точкой заданных множеств.

Довольно широкий класс разрывных динамических систем рассмотрен В. Ф. Рожко [77-Qo],.

Здесь известны также работы Т. Павлидиса /~ГО, из/, Т. Павлидиса и Е. Джури [из].

В качестве математической модели импульсных систем, а также для описания дискретных динамических систем успешно применяли уравнения в конечных разностях Я. З. Цыпкин [99−10 ij, Д. Векслер [эг] и другие авторы.

Так как линейные импульсные системы являются частным случаем систем с обобщенными возмущениями, то естественно рассматривать сразу системы с возмущениями типа распределений. Такой подход определяет направление исследований С. Т. Завалищина [4−3-47J, Д. Векс-лера [эг].

Работы Е. А. Барбашина ?14, 15], Я. Курцвейля ?l07-I09j послужили тому, что в изучении процессов с импульсным воздействием широкое применение нашли: понятие меры, аппарат интегралов Стилтье-са и Перрона, функции ограниченной вариации [27, 103, III, 112, II6-II8, 120−122]•.

В настоящее время имеется большое число публикаций о системах дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, которые выполнялись под влиянием названных уже выше работ Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко, а также работ А. Д. Мышкиса и А. М. Самойленко [67], Ю. С. Богданова [21, 22^, В. Д. Мильмана и А. Д. Мышкиса [63].

Они посвящены исследованию колебательных процессов, асимптотических свойств решений, вопросам ограниченности решений, их продолжимости, приводимости линейных систем и другим вопросам теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

Целью настоящей диссертации является применение методов, разработанных А. М. Самойленко и Н. А. Перестюком {81, 85−90], к изучению вопроса существования и устойчивости периодических и почти периодических решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, а также определение необходимых и достаточных условий устойчивости характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

Предполагается, что решения уравнений и функции, рассматриваемые в работе, являются непрерывными слева, т. е., если ОС (?)-решение, то QC&)-> OOCf) при для всех fc" из области определения решения.

Мгновенные возмущения осуществляются в фиксированные моменты времени или при достижении решением некоторых заранее заданных поверхностей в расширенном фазовом пространстве.

Первая глава диссертации содержит реализацию численно-аналитического метода А. М. Самойленко [81, 82] для одного класса периодических систем с импульсным воздействием. Рассматривается система.

0.1) п, Т®-,. / Ta> АЭС = = /. (X, if), в которой ОСеЩ, /Ц, J постоянные размера ftx ft матрицы и c/gj- (£-hО. Система (0.1) периодическая с периодом у-7, т. е.

4, ь+г, /=и, +*R. t=o, Н-. где /о — некоторое натуральное число. юп /г?1&trade- /V.

Вводится следующая норма: если и jf) «й = ЦХ1+ цуц, где //Х/1 и //{/// - евклидовые нормы векторов [ft и ^.

Выделены: некоторая замкнутая ограниченная область.

56= й** *>*<= R*1 и множество jT^ [а, I, к)/ ie/R, I= 0, ti. S5] .

Предполагается, что равномерно в множестве ^^.

HfjCl Ь) — f/*,.

Щ?Ы)) / ^ ii / & •- & // /'— < * /"д* П^ЛЩ фЩИЪ)!]* ju<+~.

В § I приведены основные свойства линейной системы общего вида.

АЛ! = (0−2) k’h.

В § 2 численно-аналитический метод применяется к отысканию и построению периодического решения системы (0.1).

При помощи кусочно-непрерывного преобразования Флоке [88] система (0.1) приводится к виду k-h ~L ' где матрица y не должна иметь собственных чисел с нулевой вещественной частью.

В силу свойств преобразования Флоке вопрос о существовании периодического решения уравнений (0.1), алгоритме его построения решается в условиях системы (0.3). Пусть.

Ga, t) — матрица Грина, равная.

ЛС*-Ь), ЛТН г^.

Л (++Т-Ь) yvr.-y.. «.

6 (Е-е) есии.

Гр

Система (0.3) ставится в условия / - системы [82J. Для этого предполагается, что: а) множество содержит в себе подмножество.

Л/йхк %JU (T+/>) J — б) существует непустое замкнутое множество «которое вместе со своей окрестностью;

С / в) постоянные Липшица ^ и малы настолько, что.

Теорема I.I. Пусть дифференциальные уравнения с импульсным воздействием (0.3) образуют — систему и допускают периодическое с периодом ^ решение — (tftt), tystf)) «для которого 9 Т0ГДа это решение является предельной функцией равномерно сходящейся последовательности n = периодических решений систем л.* где.

Г= Д а. t* ь лес! = Т’Ъ^Ц),.

— гШ л у/ =1?

Т Р.

0Л) О 1=1 /.

В этом же параграфе выяснены условия существования периодических решений системы (0.3).

В § 3 результаты предыдущего параграфа обобщаются для системы вида.

J*+ ?/,(*.*),.

0.5) eft & Ч **? ? ^ =? (*>

— rCV в которой решения подвержены импульсному воздействию на поверхностях «L-0,±-/f ,.. Поэтому к её исследованию нельзя применить итерационный метод. так, как это делалось в системе (0.3). Ибо /2 -ое приближение периодического решения системы (0.5) имеет, вообще говоря, точки разрыва, отличные от точек разрыва (К-*) -го приближения, и поэтому нет равномерной сходимости. Кроме того, появляется неприятная возможность «биения» решения о поверхность i — zfv С), т. е. встреча одного и того же решения с некоторой поверхностью несколько, а в некоторых случаях и бесконечное число раз. Во избежание таких эксцессов в работе, используя результат из [40 J, определены условия, исключающие «биения» .

Во второй главе дается определение разрывной почти периодической (п.п.) функции, изучаются её основные свойства, которые затем применяются для исследования вопроса существования, единственности и асимптотических свойств почти периодических" решений уравнений с импульсным воздействием.

Почти периодические функции, непрерывно зависящие от временного аргумента, глубоко изучены датским математиком Г. Бором [24], Работам Бора предшествовали важные исследования П. Боля и Е. Экс-лангона. В дальнейшем (на протяжении 20−30-х годов), теория п.п. в смысле Бора функции получила существенное развитие в работах С. Бохнера, Г. Вейля, А. Безиковича, Ж. Фавара, Дж. Неймана, Н. Н. Боголюбова, В. В. Степанова, Б. М. Левитана и др. [52].

В последние годы теория п.п. функций развивается в связи с задачами дифференциальных уравнений, теории устойчивости, динамических систем и т. п. Б частности, встал вопрос об изучении п.п. движений в системах, подверженных ударному влиянию.

Так как в дальнейшем речь будет в основном идти о разрывных п.п. функциях, то, если не оговорено противного, будем их называть просто п.п. функциями.

В [92] п.п. функции рассматриваются как решения линейной системы. Б работе [77] они возникают как движения разрывной динамической системы. В диссертации принято определение п.п. функции являющейся равномерно непрерывной на совокупности интервалов, не содержащих точек разрыва. Таким образом, определенные функции содержат в качестве собственного подмножества п.п. в смысле Бора функции и являются функциями п.п. по Степанову.

Введение

равномерной непрерывности позволило в нашей работе, если говорить об операторе, переводящем неоднородность правой части линейной системы в п.п. решение, построить оператор, который определен на множестве всех п.п. функций с общим множеством точек разрыва, определенных системой (отсюда вытекает возможность рассматривать квазилинейные системы). Тогда как, применяя результаты [92J, можно построить такой оператор, который может быть определен только на множестве п.п. по Бору функций.

В § I приведены некоторые утверждения о последовательности {^ll, L-O, ±'f,. • Для которой последовательности {/, J-Q±J,. -z^' равностепенно почти периодические.

В § 2 дано определение п.п. функции, изложены некоторые её свойства, построены примеры.

В § 3 рассматривается линейная система.

0.6) в которой >J!(t) — п.п. в смысле Бора матрица, последовательность матриц f&ij и последовательность векторов {lifпочти периодические, последовательность /z^/ такая, что последовательности {2Jj.

Jup Л.&-), ос^ JupA-i > где У (ё) — наибольшее собственное число матрицы ^(C/fe^J®), Л, — - наибольшее собственное число матрицы (£+В-) (£+&-Л .

Для фундаментальной матрицы решений системы (0.2) справедлива оценка [9l] хм/**^". в которой — произвольно, 5)>/, <5 + pinCK, р — конечное число, равное пределу Р где L (0,?) — число точек // в интервале (О, .

Теорема 2.7. Если система (0.6) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям, и справедливо неравенство /&(0).

Пусть дана квазилинейная система = jcu^+M^), dt '.

0.7).

V=4 где в отличие от системы (0.6) последовательность {/ удовлетворяет условию L.

Функция ^(г1., ос) п.п. по? , а последовательность {l^^} п.п. по i равномерно в области.

Функции и /,(сс) удовлетворяют условию Липшица n.

JltjO /jfl+JC) / -а //A =.

Sr «J.

Обозначим. где натуральное число JV* определяет наибольшее возможное количество точек разрыва г^- на любом единичном интервале оси я .

Теорема 2.8. Если система (0.7) удовлетворяет всем перечисленным выше условиям и верны неравенства.

— 13.

I) УСУ/а<�Л, 2) з).

В § 4 результаты Бора, Нейгебауера [ы]9 В. Х. Харасахала [94] о почти периодичности ограниченных решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений переносятся для систем с импульсами вида (0.6).

В § 5 определяются необходимые и достаточные условия существования и единственности п.п. решения скалярного уравнения в котором , — п.п. функции, /&cf «/ числовые п.п. последовательности, последовательности I «.

Jr-O,*^. равностепенно почти периодические.

Как показал Перрон [7lJ, совокупность характеристических показателей системы at > где непрерывная и ограниченная при /б матрица, вообще говоря, неустойчива и, следовательно, не характеризует систему. Поэтому последующее развитие теории характеристических > f показателей происходило в направлении поиска классов систем для j которых совокупность характеристических показателей была бы i устойчивой.

В работах [29, 31, 32, 37, бо] такие системы были определены. Это системы — с условием интегральной разделенности.

В третьей главе определены необходимые и достаточные условия устойчивости систем вида (0.2) аналогичные условиям для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В § I дается определение кусочно-непрерывного ляпуновского преобразования. Доказаны аналоги теорем Перрона, Былова о триангуляции, о достижимости центральных показателей [59].

В § 2 и § 3 проверяется справедливость теорем о необходимых и достаточных условиях устойчивости показателей системы (0.2). Выясняется структура пространства решений слабо нелинейной системы при условиях достаточных для устойчивости показателей системы (0.2).

В заключение я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю Николаю Алексеевичу Перестюку за постановку задач и постоянное внимание при написании диссертации.

1. Айзерман М. А. Лекции по теории автоматического регулирования. Физматгиз. 1958, — 520 с.

2. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Прикладная математика и механика, 1957, т.21, вып.5, с. 658−669.

3. Аматов М. А. Об устойчивости движения импульсных систем. в сб.: Дифференциальные уравнения. — Рязань, 1977, вып. 9, с. 21−28.

4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981, — 568 с.

5. Асланян А. А. Условия оптимальности в задачах управления системами с импульсным воздействием. ДАН УССР, сер. А., 1982, Ш II, с. 3−6.

6. Ахметов М. У. О периодических решениях некоторых систем дифференциальных уравнений. Вестник Киевского университета. Математика и механика, 1982, вып. 24, с. 3−7.

7. Ахметов М. У., Перестюк Н. А. Периодические и почти периодические решения систем с импульсным воздействием. Мат. физика, 1983, вып. 34, с. 3−8.

8. Ахметов М. У. О периодических решениях систем с импульсным воздействием. Тез. докл. Республиканской научно-технической конференции «Интегральные уравнения в прикладном моделировании». Киев, 1983, часть 2, с. 15−16.

9. Ахметов М. У., Перестюк Н. А. О периодических решениях систем с импульсным воздействием. Известия АН КазССР, сер. физико-математическая, 1984, № I, с. 13−17.

10. Ахметов М. У., Перестюк Н. А. О почти периодических решениях одного класса систем с импульсным воздействием. Украинский мат. журнал, 1984, т.36, № 4, с.

11. Ахметов М. У. О существовании почти периодических решений систем с импульсным воздействием. Вестник Киевского университета. Математика и механика, 1984, вып. 26, с.

12. Балк М. Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965, — 340 с.

13. Барбашин Е. А. Об устойчивости по отношению к импульсным воздействиям. Дифференциальные уравнения, 1966, т.2, № 7,с. 863−871.

14. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967, — 224 с.

15. Баутин Н. Н. Теория точечных преобразований и динамическая теория часов. Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. II, АН УССР, Киев, 1963, с. 29−54.

16. Баутин Н. Н. Теория спускового регулятора с пружинящей пластиной. ДАН СССР, 1950, т.72, № I, с. 19−22.

17. Баутин Н. Н. Динамические модели свободных часовых ходов. Сборник памяти А. А. Андронова, АН СССР, 1955.

18. Баутин Н. Н. О движениях идеальной модели часов, имеющей две степени свободы. Модель часов Галилея-Гюйгенса. ДАН СССР, 1948, т.61, Ш I, с. 17−20.

19. Блехман И. И., Джланелидзе Ю. Г. Вибрационное перемещение. -М.: Наука, 1964, 411 с.

20. Богданов Ю. С. Метод сосредоточенных возмущений в асимптотической теории дифференциальных уравнений. Тез. докл. 3-й респ. конференции математиков Белоруссии, часть П.

21. Богданов Ю. С. Оценка импульсной реакции непрерывных конечномерных систем. Тез.докл. 3-й научн. сессии Ин-та прикл. математики ТбГУ. Тбилиси, 1971, т.с. 26−30.

22. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 502 с.

23. Бор Г. Почти периодические функции. М. — Л.: Гостехиздат, 1934, — 130 с.

24. Борухов Л. О периодических и почти периодических решениях уравнений. Научн. ежегодник Саратовского ун-та за 1954 г., 1956 г., с. 656−657.

25. Бояркин Г. Н. Об устойчивости решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений при воздействиях импульсного типа. Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, № 6,с. II28-II30.

26. Бояркин Г. Н. Устойчивость систем нелинейных дифференциальных уравнений с мгновенными возмущениями. в сб.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. Саранск, 1979, с. 97−102.

27. Бояркин Т. Н., Смышляева Л. Г. О системах линейных дифференциальных уравнений с импульсными составляющими. Изв. АН КазССР, сер. математики и механики, 1977, № I, с. 63−66.

28. Былов Б. Ф. О характеристичных числах решений систем линейных дифференциальных уравнений. Прикладная математика и механика. 1950, т.14, вып.4, с. 341−352.

29. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, — 576 с.

30. Былов Б. Ф., Изобов Н. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей диагональной системы. Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № 10, с. 1785−1793.

31. Былов Б. Ф., Изобов Н. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы. -Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № 10, с. 1794−1803.

32. Васильев Н. И. Об устойчивых решениях уравнения Риккати с импульсным воздействием. Латв. матем. ежегодник. Рига, Зинай-тне, 1977, вып.21, с. 26−30.

33. Васильев Н. И. О сингулярно возмущенных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.- в кн.: Исследования по теории дифференциальных и разностных уравнений. Рига, Лат. ГУ, 1976, с. 41−57.

34. Виноград Р. Э. Общий случай устойчивости характеристических показателей и существование ведущих координат. ДАН СССР, 1958, т.119, № 4, с. 633−635.

35. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981, 512 с.

36. Гробман Д. М. Системы дифференциальных уравнений, аналогичные линейным. ДАН СССР, 1952, т.86, № I, с. 19−22.

37. Гургула С. И. Исследование устойчивости решений импульсных систем вторым методом Ляпунова. Украинский мат. журнал, 1982, т.34, № I, с. 100−103.

38. Гургула С. И., Перестюк Н. А. Об устойчивости решений импульсных систем. Труды второй конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям. Болгария, Русе, 1981, т.1,с. 206−209.

39. Гургула С. И., Перестюк Н. А. О втором методе Ляпунова в системах с импульсным воздействием. Доклады АН УССР, сер. А, 1982, № 10, с. II—14.

40. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967, 472 с.

41. ЗКивихин Б.М. К вопросу об ограниченности решений импульсных систем дифференциальных уравнений. в кн.: Исследования по теории дифференциальных разностных уравнений. Рига, Латвийский университет, 1976, с. 33−40.

42. Завалищин С. Т. Устойчивость обобщенных процессов. I, П. -Дифференциальные уравнения, 1966, т.2, № 7, с. 872−881, 1967, т. З, № 2, с. I7I-I79.

43. Завалищин С. Т. Импульсное исчисление для операторов, действующих в пространстве распределений. Дифференциальные уравнения, 1972, ?.8, № 6, с. I098-II00.

44. Завалищин С. Т. Обобщенное импульсное исчисление и его приложение к общей теории линейных систем. Труды Института математики и механики УНЦ АН СССР, 1974, вып.13, с. 20−95.

45. Завалищин С. Т. Осуществление заданного движения при постоянно действующих возмущениях импульсной коррекцией. Дифференциальные уравнения, 1972, т.8, № 3, с. 435−442.

46. Завалищин С. Т. Понятие устойчивости по отношению к обобщенным возмущениям. Дифференциальные уравнения, 1967, т. З, № 12, с. 2021;2029.

47. Калитин Б. С. О предельных циклах маятниковых систем с Импульсным возмущением. Дифференциальные уравнения, 1970, т.6,12, с. 2174−218I.

48. Калитин Б. С. О колебаниях маятника с ударным импульсом. -Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, № 12, с. 2I74−2I8I.

49. Каркинбаев И., Перестюк Н. А. К вопросу обоснования применения асимптотических методов к исследованию импульсных систем.- Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. ТрудыВсесоюзной конференции, Кацивели, 1977, Киев, 1979, с.4−3-50.

50. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н.

Введение

в нелинейную механику. Киев: АН УССР, 1937, — 364 с.

51. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953, — 396 с.

52. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Издательство Московского университета, 1978, — 204 с.

53. Ливартовский И. В. Об устойчивости решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Прикладная математика и механика, 1959, т.23, вып. З, с. 598−603.

54. Ливартовский И. В. Некоторые вопросы устойчивости по линейному приближению для системы дифференциальных уравнений с непериодическими правыми частями. Труды Московского физико-технического института, 1959, вып. З, с. 247−263.

55. Ливартовский И. В. Об устойчивости разрывных систем с почти приводимыми линейными приближениями. Дифференциальные уравнения, 1965, т. I, № 9, с. II3I-II39.

56. Мартынюк А. А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1975, — 352 с.

57. Мезон Дж., Дикерсон В., Смит Д. Вариационный метод оптимального разбиения. Ракетная техника и космонавтика, 1965, № II, с. 32−40.

58. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем. Сибирский мат. журнал, 1969, т.10, № I, с. 99−104.

59. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, № 10, с. 1775−1784.

60. Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых изменениях коэффициентов системы. Математические заметки, 1968, т.4, № 2, с. 173−180.

61. Мильман В. Д., Мышкис А. Д. Случайные толчки в линейных динамических системах. в кн.: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений, Киев, АН УССР, 1963, с. 64−81.

62. Мильман В. Д., Мышкис А. Д. Об устойчивости движения при наличии толчков. Сибирский мат. журнал, I960, т.1, № 2,с. 233−237.

63. Митропольский Ю. А., Самойленко A.M., Перестюк Н. А. К вопросу обоснования методов усреднения для уравнений второго порядка с импульсным воздействием. Украинский мат. журнал, 1977, т.29, № 6, с. 750−762.

64. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1977, — 440 с.

65. Мосунова Т. П. Периодические режимы в системах дифференциальных уравнений с толчками. в кн.: Дифференциальные уравнения. Качеств, теория. Рязань, 1980, с. 77−89.

66. Мышкис А. Д., Самойленко A.M. Системы с толчками в заданные моменты времени. Математический сборник, 1967, т.74, вып.2, с. 202−208.

67. Мышкис А. Д., Хохряков А. Я. Бушующие динамические системы, I. Особые точки на плоскости. Математический сборник, 1958, 45(87), с. 401−414.

68. Неймарк Ю. И., Шильников А. П. Исследования динамических систем близких к кусочно-линейным. Изв. Высш.учеб.завед. Радиофизика, I960, т. З, № 3.

69. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972, — 471 с.

70. Немыцкий Б. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ОГИЗ. ГИТТЛ, 1947, — 448 с.

71. Перестюк Н. А. О периодических решениях некоторых систем дифференциальных уравнений. Труды семинара по мат. физике и нелинейным колебаниям. Изд-во Института математики АН УССР, 1971, вып.7.

72. Перестюк Н. А. Численно-аналитический метод исследования периодических систем с импульсами. Труды семинара по мат. физике и нелинейным колебаниям. Изд-во Института математики АН УССР, 1969, вып.З.

73. Перестюк Н. А., Шовкопляс В. Н. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. -Украинский мат. журнал, 1979, т.31, № 5, с. 517−524.

74. Петровский Г. Н. Об одной системе линейных дифференциальных уравнений с толчками в заданные моменты времени. Вестник Белорусского университета, 1978, сер.1, № 2, с. 7−10.

75. Прохорова Р. А. Линейные системы с сосредоточенными возмущениями. I, П. Вестник Белорусского университета, 1975, сер. I, № 2, с. 3−5, 1979, сер.1, Ш I, с. 37−42.

76. Рожко В. Ф. Об одном классе почти периодических движений в системах с толчками. Дифференциальные уравнения, 1972, т.8, № II, с. 2012;2022.

77. Рожко В. Ф. К теории разрывных динамических систем. I. Математические исследования, АН МССР, Кишинев, 1969, т.4, вып. З, с. 63−73.

78. Рожко В. Ф. К теории разрывных динамических систем. П. Математические исследования, АН МССР, Кишинев, 1970, т.5, вып.1, с.102−117.

79. Рожко В. Ф. К теории разрывных динамических систем. Ш. Математические исследования, АН МССР, Кишинев, 1970, т.5, вып.2.

80. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 1, П, Украинский мат. журнал, 1965, т.17, № 4, с. 82−93, 1966, т.18, № 2, с. 50−59.

81. Самойленко A.M., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа, 1976, — 180 с.

82. Самойленко A.M. Метод усреднения в системах с толчками. -Мат. физика, 1971, вып.9, с. I0I-II7.

83. Самойленко A.M., Стрижак Т. Г. О движении осциллятора под действием мгновенной силы. Труды семинара по мат. физике и нелинейным колебаниям. Киев: Наукова думка, 1968, с. 213−218.

84. Самойленко A.M., Перестюк Н. А. Об устойчивости систем с импульсным воздействием. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, № II, с. 1995;2002.

85. Самойленко A.M., Перестюк Н. А. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным воздействием. Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, № 6, с. 1034−1045.

86. Самойленко A.M., Перестюк Н. А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Дифференциальные уравнения, 1977, т.13, № II, с. I98I-I992.

87. Самойленко A.M., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием: Метод, пособие. Киев: Госуниверситет, 1980, — 80 с.

88. Самойленко A.M., Перестюк Н. А. Вторая теорема Боголюбова Н. Н. для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Дифференциальные уравнения, 1974, т.10, № II, с. 2001;2010.

89. Самойленко A.M., Перестюк Н. А. Периодические и почти периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. -Украинский мат. журнал, 1982, т.34, № I, с.66−73.

90. Самойленко A.M., Перестюк Н. А., Ахметов М. У. Почти периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Киев, 1983, — 50 с. (Препринт / Институт математики АН УССР.: 83.26).

91. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.- М.: Мир, 1971, 309 с.

92. Харасахал В. Х. Почти периодические решения обыкновенных диф— ференциальных уравнений. Алма-Ата, Наука, 1970, — 199 с.

93. Харасахал В. Х. Об одном обобщении теоремы Бора и Нейгебауера.- Прикладная математика и механика, 1959, т.23, вып. З, с. 595.

94. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, — 720 с.

95. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966, — 230 с.

96. Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Наука, 1967, — III с.

97. Цидыло К. В., Гулька С. С. О периодических решениях нелинейных систем с импульсным воздействием. ДАН УССР, сер. А, 1981,10, с. 21−23.

98. Цыпкин Я. З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958.

99. Цыпкин Я. З. Об устойчивости в целом нелинейных импульсных автоматических систем. ДАН СССР, 1962, т.145, № I, с.52−55.