Методы анализа и синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления

Релейные автоматические системы с давних пор широко используются в различных областях техники. К основным достоинствам таких систем относятся простота конструкции, надежность и низкая стоимость. Благодаря появлению разнообразных возможностей создания ключевых элементов на новых принципах, не требующих контактных устройств, релейные системы и сегодня не утратили своей значимости. Они находят применение как в системах управления промышленного назначения, так и в системах управления подвижными объектами.

Весьма важным классом систем автоматического управления являются следящие системы. В силу высоких динамических характеристик релейные системы часто используются в качестве следящих. Так, например, релейные газовые, пневматические и воздушно-динамические приводы применяются в качестве исполнительных устройств летательных аппаратов, а релейные электроприводы — в качестве приводов прицельных устройств противотанковых и зенитных комплексов. Далее, следует отметить, что именно релейные приводы имеют высокую точность слежения на так называемых «ползучих скоростях».

Релейные следящие системы могут работать как в автоколебательном режиме, так и в режиме вынужденных колебаний. Возникающие в таких системах периодические движения существенно затрудняют исследование режима слежения, особенно на этапе синтеза. Вообще говоря, исследование режима слежения в релейной системе можно выполнить с помощью компьютерного моделирования. Однако моделирование требует значительных затрат времени и его нельзя применять на этапе синтеза, когда приходится анализировать большое число вариантов. Поэтому весьма важно располагать простыми приближенными методами, которые позволят оперативно оценить точность режима слежения. К таким методам относится линеаризация релейной системы по полезному сигналу.

Релейным системам посвящено множество публикаций, в том числе работы Я. З. Цыпкина, Г. С. Поспелова, A.A. Андронова, A.A. Витта, С. Э. Хайкина, B.B. Петрова, А. И. Лурье, Ю. И. Неймарка, Е. П. Попова, JI.C. Гольд-фарба, A.A. Красовского, П. В. Бромберга, В. А. Якубовича, Г. Гамеля, Л. Мак-Кола, И. Флюгге-Лоц, Ж. Жиля, К. Астрома и многих других. Проанализируем известные из литературы наиболее значимые методы анализа и синтеза релейных систем управления.

Начальный этап развития теории релейных автоматических систем относится ко времени становления теории автоматического управления. Одно из первых теоретических исследований регуляторов релейного типа принадлежит И. А. Вышнеградскому [16]. Вообще говоря, первые труды, посвященные анализу и синтезу релейных систем, были узконаправленными, так как отличались сильной привязанностью к конкретным объектам управления.

Существенный вклад в развитие теории релейных систем внесли исследования группы ученых под руководством академика А. А. Андронова [3] - [5]. Разработанный ими метод точечных преобразований дал возможность качественно и количественно произвести разбиение фазового пространства на области, содержащие траектории различного типа, и для некоторых релейных систем получить полную картину влияния регулятора на процесс управления.

Важную роль для теории релейных систем сыграла идея, предложенная А. А. Андроновым и С. Э. Хайкиным [5]. Используя независимость формы выходной величины релейного элемента от характера движений в системе, нелинейную функцию выходного сигнала с релейного элемента можно заменить некоторой функцией времени, представляющей собой «внешнюю» периодическую силу, действующую на систему. Частота этой периодической силы определяется свойствами системы. Благодаря этому нелинейная задача сводится к исследованию действия некоторой периодической силы на линейную систему, т. е. к линейной задаче. s.

Существенно развить метод точечных преобразований удалось Ю.И.

5 Неймарку. Исследование периодических движений и их устойчивости в релейных системах он свел к изучению точечного преобразования многомерного гильбертова пространства само в себя [49] — [51].

Из других точных методов, которые могут использоваться на разных этапах исследования релейных систем, отметим метод припасовывания [54], [55] и метод фазовой плоскости [2], [84]. Для определения периодических режимов в релейной системе можно использовать также метод интегральных уравнений [58].

Большое значение для развития теории релейных систем имели работы А. И. Лурье [37] - [40]. В этих работах на основе введенной А. И. Лурье канонической формы уравнений движения разработаны методы определения автоколебаний и исследования их устойчивости.

Для изучения автоколебаний в релейных системах П. В. Бромберг использовал аппарат матричного исчисления [10]. Этот же аппарат применён им для исследования влияния внешнего постоянного воздействия на период автоколебаний и их среднее значение [11].

Среди приближенных методов исследования релейных систем особо следует выделить графоаналитический метод Л. С. Гольдфарба [20], [21] и метод гармонической линеаризации Н. М. Крылова и H.H. Боголюбова [32], [33].

Метод гармонической линеаризации ориентирован на решение задач анализа. Однако в силу своей простоты и наглядности он находит широкое применение и для синтеза релейных систем. Важно иметь в виду, что возможности метода гармонической линеаризации весьма ограничены. Дело в том, что теоретически обоснованное применение метода допускается лишь при выполнении «гипотезы фильтра» [54]. На практике это условие часто не выполняется. Кроме того, погрешности гармонической линеаризации, как правило, достаточно велики. Далее, применение метода гармонической линеаризации в случае нелинейного объекта управления практически невозможно.

Описанные методы, как правило, ориентированы не только на релейные системы, но и могут применяться в системах, содержащих нелинейности других типов. Это, с одной стороны, является достоинством, так как свидетельствует об их универсальности. С другой стороны, эти методы не в полной мере используют особенности релейных систем автоматического управления, основной из которых является кусочное постоянство выходного сигнала релейного элемента. Желание получить для релейных систем точный метод исследования, лишенный недостатков, характерных для остальных методов, привело к созданию ряда специфических теорий, широко использующих отмеченное свойство выходного сигнала релейного элемента.

Среди таких методов, прежде всего, следует выделить метод Я.З. Цып-кина, который играет исключительно важную роль в современной теории релейных систем автоматического управления. В своей монографии [88] Цыпкин предложил специальные характеристики объекта управления — годографы релейной системы. Использование этих годографов позволило развить простой точный метод исследования периодических движений в релейных системах. Весьма важным является полученный в [85] результат, задающий необходимые условия устойчивости периодических движений.

Из других методов, использующих кусочное постоянство управляющего сигнала, отметим метод Г. Гамеля [26], [98]. В соответствии с этим методом для релейных систем вводятся Я-характеристики, по смыслу аналогичные годографам Цыпкина. На их основе получены условия существования автоколебаний, выраженные в алгебраической форме.

Вообще говоря, практически все известные точные методы исследования релейных систем хорошо приспособлены только для решения задач анализа. Их непосредственное использование для синтеза релейных систем наталкивается на серьезные вычислительные проблемы, приводит к затруднениям принципиального характера. Кроме того, указанные методы разработаны, в основном, для релейных систем с линейными объектами управления и позволяют исследовать только периодические движения.

На кафедре систем автоматического управления Тульского государственного университета под научным руководством д.т.н., проф. Н. В. Фалдина продолжительное время активно ведутся исследования по созданию прикладной теории релейных систем автоматического управления, лишенной отмеченных выше недостатков. Существенный вклад в данную теорию, помимо Н.В.

Фалдина, внесли его ученики С. А. Руднев, C.B. Феофилов, Н. В. Панферов, Ю. И. Лебеденко, П. Ю. Федоровский и др. В основу развиваемой теории положен фазовый годограф релейной системы, который в идейном плане близок к годографу Цыпкина.

В рамках научной школы Н. В. Фалдина к настоящему времени, если не иметь в виду работы автора диссертации, созданы методы исследования периодических движений (определение периодических движений, оценка их устойчивости, формирование закона управления, обеспечивающего заданные параметры колебаний) для релейных систем с линейными и нелинейными объектами управления [59], [67] - [69], [75] - [83]. Получены оригинальные результаты по линеаризации релейных систем [60], [67]. Предложенный метод линеаризации характеризуется высокой точностью и не имеет ограничений типа «гипотезы фильтра». Однако он разработан (исключение составляют лишь некоторые частные случаи) для релейных систем с линейными объектами управления. Между тем реальные технические объекты, как правило, являются нелинейными.

Настоящая диссертация посвящена разработке методов анализа и синтеза высокоточных релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Рассматриваются системы с двух и трехпозиционными релейными элементами, работающие как в режиме автоколебаний, так и в режиме вынужденных колебаний. Особое внимание уделяется важнейшему классу нелинейных объектов — кусочно-линейным системам. К ним относятся объекты управления, содержащие различного рода ограничители, а также нелинейности типа люфтов, зон нечувствительности и т. д.

Главной решаемой задачей является создание методов линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Определенное внимание уделяется также получению эффективного метода построения фазового годографа. Построение фазового годографа является весьма трудоемкой задачей и существующие методы не всегда с ней успешно справляются.

Решение указанных задач позволит, в конечном счете, разработать эффективный метод синтеза высокоточных релейных следящих систем управления. Этот метод в работе применяется для синтеза релейного воздушно-динамического рулевого привода (ВДРП), функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Такие приводы широко используются в управляемых вращающихся ракетах малой дальности.

Воздушно-динамические рулевые приводы не требуют специального источника питания, а используют энергию набегающего воздушного потока. Они отличаются простотой конструкции, малой стоимостью, удобны в эксплуатации и хранении. Применение воздушно-динамических рулевых приводов позволяет заметно снизить стоимость ракеты.

Таким образом, сказанное выше позволяет заключить об актуальности темы диссертации.

В качестве объекта исследования настоящей диссертации выступают релейные следящие системы с нелинейными объектами управления. Целью работы является создание формализованных методов проектирования высокоточных релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Эти методы должны охватывать как автоколебательные релейные системы, так и системы, работающие в режиме вынужденных колебаний (в том числе и системы с ШИМ). Наряду с исследованием периодических движений, указанные методы должны позволять оперативно оценивать точность режима слежения. На практике это обычно обеспечивается путем линеаризации по полезному сигналу.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Разработать для весьма важного (для приложений) класса кусочно-линейных объектов управления эффективный метод построения фазового годографа.

2. Разработать метод, позволяющий оценивать устойчивость периодических движений в релейных системах с кусочно-линейными объектами управления.

3. Создать методы линеаризации по полезному сигналу, справедливые для релейных систем с любыми нелинейными объектами управления.

4. Разработать метод синтеза высокоточных релейных следящих систем.

5. Выполнить синтез и оптимизацию релейного ВДРП, работающего в режиме вынужденных колебаний.

Ниже перечислены полученные в диссертации результаты, которые имеют научную новизну:

1. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получено дифференциальное уравнение, решением которого является фазовый годограф системы. Данное уравнение существенно упрощает построение фазового годографа. Его можно успешно использовать и в том случае, когда соответствующие периодические движения объекта управления являются неустойчивыми. В этой ситуации известные из литературы методы построения фазового годографа (например, итерационный алгоритм с принудительным симметрированием) часто приводят к сбоям. Для объектов с ограничителями в форме механических упоров указанное уравнение позволяет весьма просто выделять ветви неоднозначности фазового годографа.

2. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимости, в явном виде задающие матрицу, по собственным числам которой оценивается асимптотическая устойчивость периодических движений. Такие матрицы получены для оценки устойчивости как автоколебаний, так и вынужденных колебаний.

3. Разработан метод линеаризации по полезному сигналу релейных следящих систем, содержащих звенья с ограничителями. Он основан на использовании некоторых производных фазового годографа и выполняет классическую линеаризацию, когда каждая статическая нелинейность системы, в том числе релейный элемент, заменяется коэффициентом передачи по постоянной составляющей движения.

4. Предложен метод дискретной линеаризации релейных следящих систем по полезному сигналу. Он является универсальным, т. е его можно использовать при любой нелинейности объекта управления. Метод характеризуется высокой точностью и не имеет аналогов в научной литературе.

5. Впервые установлено, что устойчивость периодических движений (автоколебаний, вынужденных колебаний) влечет за собой устойчивость режима слежения релейной системы. Правда, данный критерий следует рассматривать как приближенный, поскольку он основан на дискретной линеаризации релейной системы.

6. Опираясь на полученные результаты, разработан метод синтеза релейных следящих систем, функционирующих в автоколебательном режиме и в режиме вынужденных колебаний. Задача синтеза сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации. Это позволяет обеспечить предельно достижимую (в рамках выбранной структуры системы) точность режима слежения.

7. Выполнен синтез релейного ВДРП, функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Для привода, параметры которого изменяются в широком диапазоне, удалось с помощью простых средств минимизировать максимальный по модулю фазовый сдвиг и обеспечить стабильность фазовых частотных характеристик, что очень важно для вращающихся ракет.

Практическая значимость разработанных методов анализа и синтеза заключается в том, что они являются эффективным инструментом для создания высокоточных релейных следящих систем в различных областях техники. Очень важно, что эти методы охватывают релейные системы с любыми нелинейными объектами управления и, следовательно, пригодны для широкого класса технических систем. Далее, предложенные методы можно успешно использовать при проектировании нелинейных следящих систем, работающих в режиме ШИМ.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. В первой главе рассматривается исследование автоколебаний в релейных системах с нелинейными объектами управления. Разрабатываются методы исследования периодических движений в релей.

Выводы по разделу.

Пятая глава диссертации посвящена проблемам синтеза и оптимизации воздушно-динамического рулевого привода, работающего в режиме вынужденных колебаний, с целью получения наилучших динамических характеристик. Задача усложнена тем, что параметры привода являются нестационарными.

С помощью разработанного метода синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления синтез ВДРП был сведен к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации. Это, в конечном счете, позволило добиться высокого качества синтезированной системы. Кроме того, в главе рассматриваются вопросы компьютерного моделирования динамики ВДРП и численного построения его частотных характеристик. Получены следующие результаты:

1. Разработан метод синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. В соответствии с этим методом синтез релейной следящей системы сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации по точности режима слежения. Это позволяет обеспечить предельно достижимую (в рамках выбранной структуры системы) точность режима слежения.

2. Проанализирована математическая модель воздушно-динамического рулевого привода и выявлены ее особенности.

3. Построен ансамбль фазовых годографов ВДРП.

4. Предложена структура последовательного корректирующего устройства. Выбрана форма и частота вынуждающего сигнала.

5. Разработан алгоритм оптимизации параметров корректирующего устройства и амплитуды вынуждающего сигнала. При этом с помощью дискретной линеаризации системы минимизированы затраты машинного времени на вычисление критерия оптимизации. Решена проблема контроля выполнения условий существования и устойчивости вынужденных колебаний.

6. Оптимизация замкнутого ВДРП была выполнена с помощью генетического алгоритма, реализованного программно в системе МайаЬ.

7. Проведен анализ синтезированного привода с помощью компьютерного моделирования. Максимальный фазовый сдвиг привода составил -20,2°. Максимальный разброс фазовых частотных характеристик синтезированного привода не превышает 7°.

8. Выполнено компьютерное моделирование синтезированного привода с цифровой реализацией релейного закона управления.

Заключение

.

Релейные следящие системы являются весьма важным классом систем автоматического управления. В диссертации были разработаны методы анализа и синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. Рассматривались системы с двух и трехпозиционными релейными элементами, работающие как в режиме автоколебаний, так и в режиме вынужденных колебаний. В основе разработанных методов лежит фазовый годограф релейной системы. На сегодняшний день фазовый годограф представляет собой наиболее эффективный инструмент исследования периодических движений в релейных системах.

В диссертационной работе затронуты вопросы, связанные с определением периодических движений и оценкой их устойчивости. Особое внимание уделено исследованию режима слежения в релейных системах за входными сигналами. Рассмотрен синтез релейного ВДРП.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Для релейных систем с кусочно-линейными объектами управления получено дифференциальное уравнение, решением которого является фазовый годограф системы.

2. Предложен численный алгоритм построения фазового годографа с помощью указанного дифференциального уравнения.

3. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимости, в явном виде задающие матрицу, по собственным числам которой оценивается асимптотическая орбитальная устойчивость автоколебаний.

4. Разработан метод линеаризации по полезному сигналу релейных автоколебательных следящих систем с двухпозиционным релейным элементом и объектом управления, содержащим звенья с ограничителями как в форме механических упоров, так и в форме насыщения. Метод основан на использовании производных фазового годографа и выполняет классическую линеаризацию, когда каждая статическая нелинейность системы заменяется коэффициентом передачи по постоянной составляющей движения. Что же касается звеньев с ограничителями, то предлагается специальное структурное преобразование, которое позволяет искусственно выделить в них статическую нелинейность. Метод не имеет ограничений типа «гипотезы фильтра».

5. Применение предложенного метода линеаризации требует определения некоторых производных фазового годографа релейной системы. Получены аналитические зависимости, задающие эти производные в явном виде.

6. Разработан метод дискретной линеаризации, в соответствии с которым исследование режима слежения релейной автоколебательной системы сводится к исследованию режима слежения некоторой линейной дискретной системы. Этот метод является универсальным, поскольку он может применяться при любой нелинейности объекта управления. В процессе линеаризации дискретным методом релейная следящая система заменяется неоднородным линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами и периодом дискретизации по времени, равным полупериоду автоколебаний. Метод не требует вычисления производных фазового годографа.

7. Получены аналитические зависимости, задающие линеаризующее разностное уравнение для релейных автоколебательных систем с кусочно-линейными объектами управления (в том числе и для релейных систем, содержащих звенья с ограничителями).

8. Предложена методика использования линеаризующего разностного уравнения для классической линеаризации релейной следящей системы, когда нелинейности заменяются коэффициентами передачи по постоянной составляющей движения. При этом релейная система заменяется линейной системой с постоянными коэффициентами и непрерывным временем. Такая линеаризация выполнима лишь в том случае, если объект управления содержит только статические нелинейности или статические нелинейности можно выделить искусственно, как это делается, например, для звеньев с ограничителями.

9. Рассмотренные в диссертации модельные примеры подтверждают высокую эффективность и точность разработанных методов линеаризации.

10. Сформулированы условия возникновения вынужденных периодических движений на основной частоте и частоте субгармоник в релейных следящих системах с двухпозиционными и трехпозиционными релейными элементами.

11. Для релейных следящих систем с кусочно-линейными объектами управления получены аналитические зависимости, в явном виде задающие матрицу, по собственным числам которой оценивается асимптотическая устойчивость по Ляпунову вынужденных колебаний.

12. Выполнено распространение универсального метода дискретной линеаризации на релейные следящие системы, работающие в режиме вынужденных колебаний.

13. Показано, что с теоретической точки зрения системы с симметричной широтно-импульсной модуляцией целесообразно рассматривать как релейные, работающие в режиме вынужденных колебаний.

14. Установлено, что устойчивость периодических движений (автоколебаний, вынужденных колебаний) влечет за собой устойчивость режима слежения релейной системы.

15. Разработан метод синтеза релейных следящих систем с нелинейными объектами управления. В соответствии с этим методом синтез релейной следящей системы сводится к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации по точности режима слежения. Это позволяет обеспечить предельно достижимую (в рамках выбранной структуры системы) точность режима слежения.

16. С помощью разработанных методов выполнен синтез релейного воздушно-динамического рулевого привода, функционирующего в режиме вынужденных колебаний. Для привода, параметры которого изменяются в широком диапазоне, удалось с помощью простых средств минимизировать максимальный по модулю фазовый сдвиг и обеспечить стабильность фазовых частотных характеристик, что очень важно для вращающихся ракет.

Таким образом, задачи, поставленные в диссертации, полностью решены.