Задача оптимального управления для билинейных динамических систем с терминальным квадратичным функционалом

В теории оптимальных задач особое место занимают билинейные задачи оптимального управления. Интерес, который в последнее время вызывают билинейные задачи, во многом объясняется тем, что они занимают промежуточное положение ме жду линейными и нелинейными задачами оптимального управления. Дело в том, что линейные задачи, общая теория которых к настоящему, времени практически полностью разработана, как правило, не дают адекватного описания сколько-нибудь сложных управляемых процессов и систем. С другой стороны, современное состояние теории оптимального управления не позволяет достаточно эффективно исследовать и решать нелинейные задачи оптимального управления в общей постановке:

Вследствие этого, в связи с конкретными приложениями математической теории оптимального управления, очень часто приходится иметь дело именно с нелинейными задачами оптимального управления.

Билинейные задачи имеют достаточно широкое применение. Уже в конце 60-х — начале 70-х годов, когда основные теоретические исследования производились, в основном, в области решения линейных задач, многие исследователи отмечали, что билинейные системы позволяют лучше учесть особенности процесса. Однако, при этом не существовало каких-либо содержательных методик решения данных задач.

Одним из первых исследователей, кто описал задачи, протекающие в биосистемах, как задачи оптимального управления на билинейных динамических системах был Рональд Мохлер (37).

В то время не было цельной теории, позволяющей исследовать подобные системы, только лишь частные случаи билинейных систем, порой достаточно приближённо, что не могло дать полной исчерпывающей картины рассматриваемого процесса. Хотя с тех пор теория оптимального управления сильно развивалась, но на текущий момент теория линейных оптимальных задач, хорошо проработана, но область нелинейных, в частности, билинейных задач требует дальнейших исследований.

Основной сложностью при исследовании нелинейных систем является то, что принцип максимума Понтрягина не даёт содержательного ответа, являясь, лишь необходимым условием оптимальностипри. этом получение управляющей функции в замкнутой форме существенно затруднено.

Простейший пример такой системы:

И^Х^.

Легко видеть, что даже в этом простом, примере множество достижимости системы не будет являться выпуклым, как в линейных задачах оптимального управления. В то же время, определение оптимального управления в замкнутой' форме также ост таётся непростым вопросом. В силу невыпуклости множества «достижимости нельзя однозначно говорить о выпуклости функционала задачи, что затрудняет использование различных ко-нечношаговых численных алгоритмов поиска оптимального управления.

Можно ответить, что несмотря на достаточно большое количество работ по билинейным системам, на текущий момент отсутствует единая методика решения задач оптимального управления билинейными динамическими системами.

Приведём ряд интересных теоретических и практических результатов.

В работе Хайлова E.H. (28) исследуется билинейная система вида x (t) = Ax (t) + u{t)Bx (t) +.

В работе показывается, что при условии коммутирования матриц и ряде дополнительных условий точкам, лежащим на границе множества достижимости, соответствуют кусочнопостоянные управления, принимающие значения {0,/?} с оценкой числа переключений.

Одним из важных исследователей задач оптимального управления для нелинейных динамических систем является Гектор Суссманн (38,40,41).

В работах Г. Суссманн исследовал структуру орбит нелинейных динамических систем. Одной из фундаментальных теорем является теорема об орбите динамической системы (38).

Пусть Мгладкое п-мерное многообразие, Т aDer (M) -семейство гладких векторных полей на М. Обозначим через р подгруппу группы диффеоморфизмов Diff^M}, порождённую элементами вида.

Орбитой 0(х) = 0(х, Т) семейства YcDer (M) векторных полей на М, проходящей через точку хе. М, называется множество.

0(х) = {РЕ (х), Рер}.

Орбиты семейства Т векторных полей на М индуцируют на данном многообразии топологию т.

Теорема (Стефан-Суссманн (38)).

Пусть многообразие Мснабжено орбитальной топологией г. Тогда.

1. всякая связная компонента многообразия М является орбитой семейства Т;

2. всякая орбита О (х) = 0(х, Т) является гладким подмногообразием М.

Данная теорема и следствия из неё существенно расширяют инструментарий при исследовании нелинейных динамических систем.

В работе (40) Суссманн рассматривает систему со скалярным* ограниченным управлением.

В данной работе показывается, что при условии вещественной аналитичностимногообразия. М и выполнении требования на поля f и g, то существует кусочно-постоянное управление, такое, что l при почти всех t с оценкой числа переключений.

Также из зарубежных исследователей нелинейных задач стоит отметить Р. Броккетта, В. ДжарджевичаД*. Эллиота:

В работах Р. В: Гамкрелидзе и A.A. Аграчёва (9, 30, 31, 32, 33) вводится формализм* хронологического исчисления, который с успехом используется для> исследования нелинейных оптимальных систем.

В работе (35) рассматриваются" различные обобщения классической теоремы Р. В. Гамкрелидзе о конечности числа переключений для линейной управляемой системы на нелинейный случай.

Перспективным подходом в исследовании динамических полисистем является использование топологических методов и теории многообразий, а также теории алгебр Ли.(14).

В работе (23) М. С. Сабуровым производится развитие принципа максимума Понтрягина, предлагается «принцип оптимальности», который позволяет в ряде случаев произвести синтез оптимального управления, провести классификацию всех особых, точек и провести полноценное исследование точек переключения.

В работах Топунова М. В. (26, 27) исследуются задачи оптимального управления для билинейных динамических систем в применении к регуляции сердечно-сосудистой системы.

Необходимо отметить работу Благодатского В. И., посвященную достаточным условиям оптимальности (3).

В ряде работ исследуется задача быстрейшего попадания в начало координат для решений уравнения.

Однако в предлагаемых алгоритмах решения накладываются очень жёсткие условия на параметры задачи, такие, как.

В работе (21) для минимизации невырожденного квадратичного функционала применяется метод динамического программированиярешение уравнение Беллмана ищется в специальном виде, что позволяет получить матричное уравнение в частных производных, которое может быть решено в замкнутой форме в некоторых частных случаях. т т.

АВ. = вл В-В. = В, Вп и] = 1.

Среди работ, посвященных решению оптимальных билинейных задач с помощью аппроксимационных методов, отметим работу (39), где рассматривается задача минимизации квадратичного функционала.

1 °°.

J = — j (x*Qx + и.

2'о.

На траекториях системы х = Ах + Ви + {х/У} и,.

0 = хо xJNj, хеГ, иеГ у=1.

Авторами предлагается процедура нахождения оптимального' управления на основе метода последовательных приближений для соответствующих алгебраических уравнений Ляпунова.

Важным аспектом исследования билинейных систем, определённо является их связующая роль между линейными и нелинейными задачами оптимального управления. Являясь «переходным» звеном, данные задачи позволяют, с одной стороны, частично использовать методы, полученные для линейных систем оптимального управления, с другой стороны, для данных систем могут быть выработаны подходы к исследованию, как совершенно новые, так и обобщения уже имеющихся методов для линейных систем. При этом в силу достаточной «близости» билинейных систем5 к линейным, такие закономерности могут быть значительно проще обнаружены и распространены на общие случаи:

Настоящая" работа посвящена' исследованию задач оптимального управления для билинейных динамических систем с фиксированным левым' концом. Изучаются некоторые подходы к решению данной задачи, а также ряд вопросов, связанных со структурой множеств достижимости задачи и структурой управлений.

Билинейная, задача оптимального управления — наиболее «близкая» к линейной^ из нелинейных задач оптимального управления. Однако, при кажущейся похожести данных систембилинейные задачи уже не обладают столь замечательными, свойствами, как1 линейные. В частности, отсутствует критери-альность принципа максимумаПонтрягина, множество* достижимости данной. задачи^необязательно будет выпуклым^а, следовательнотерминальный? функционал, необязательно' будет выпуклым на множестве допустимых управлений).

В соответствии с целью исследования. в работе были^ поставлены следующие задачи:

1. Поиск необходимых условий оптимальности для* билинейных систем ОУ с терминальным функционалом-.

2. Поиск достаточных условий оптимальности для билинейных* систем ОУ частного вида с терминальным функционалом.

3'. Поиск достаточного условия выпуклости терминального функционала для билинейных систем ОУ частного вида.

4*. Исследование структуры множеств достижимости били-нейныхсистемОУ.

5. Поиск достаточных условий выпуклости множеств достижимости билинейной системы ОУ.

Вопросы 1−3 рассматриваются в главе 2 «Билинейные системы оптимального управления с квадратичным терминальным функционалом», вопросы 4−5 рассматриваются в главе «Исследование структуры множества достижимости билинейной задачи ОУ». Практическое применение результатов исследований приведено в главе 4 на примере частной задачи.

3.5 Выводы.

В данной главе были рассмотрены вопросы взаимосвязи множества достижимости и множества допустимых управлений. Показана связь граничных точек множества достижимости системы (1.2) в условиях постоянства ранга отображения fit их) ' «о у и существенно граничных точек множества допустимых управлений, показаны достаточные условия выпуклости множества достижимости системы (1.2). Важным аспектом данной главы является переход на использование элементов хронологического исчисления. Действительно, если в записи сис.

А х темы (1.2) матричные записи к заменить на какие-либо опе.

А,(х) x (t, u) к /. то запись оешения V ' / раторы К /, то запись решения ' / через матрациант становится невозможной, тогда как решения, записанные через потоки, остаются в силе. При этом при условии аналитичности.

А ГлЛ V / можно показать, что большая часть утверждений главы 3 сохраняется.

4. Применение теории билинейных систем оптимального управления в исследовании модели «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции.

В качестве примера рассмотрим несколько иную модельуправляемую модель «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции.

Изменение числа хищников и жертв во времени характеризуется следующей нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Здесь х, и х2 — количество жертв и хищников соответстчисла жертв в отсутствии хищникове2 >0- естественное вымирание хищников, лишённых пищиу19у2 > 0 — константы, характеризующие потребность в пище жертв и хищников соответственнои— часть отлова в единицу времени (управление). Управление удовлетворяет ограничениям: с начальными условиями: венно в момент времени? е [^Г] 8Х > 0 — скорость прироста.

1.9) где 0 < Ь (< 1, г = 1,2 (максимальная часть отлова жертв и хищников).

Требуется найти оптимальное управление в задаче (1.7)-(1.8), которое максимизирует прибыль фирмы, выраженную интегралом.

Здесь рп (= 1,2 — стоимость хищников и жертв, с{)1 =, 2-стоимость затрат на отлов. В общем случае с. может зависеть от хг.

Таким образом, поставлена задача:

Т 2.

1.10).

О <м,< ?"/ = 1,2,^^0,7],.

Модифицируем данную задачу путём введения дополнительной переменной.

Положим.

Легко видеть, что J{u) — xъ (Г). Перепишем исходную задачу.

• 2 ~~~ |У 2 У.

Х2 —?^2 ^ У 2¹ -^2 ^2² 5 (1.11).

Х (О — Л'10'Л:2 (О ~~ «^20' (О ~ и*12).

О < и, < Ь{, I = 1,2, Г е [70,Г] (1.13).

Требуется найти оптимальное управление и, максимизирующее функционал.

J (u) = X3(T) (1.14).

Перепишем систему (1.11) в терминах векторных полей. Нестационарное векторное поле имеет вид: хх = ~ /2хх2 ~ тх ~~ щх i" дхх ¿->2×2 + ^х^ 1*2X2) р ох2 дх3.

А исходное уравнение перепишется в виде:

И /V л Р ((= Р ((оХп.

Ж 50.

0>'0.

Перегруппируем слагаемые. д д, V, а ——к (/^х,^, + р2×2и2 — сщ ~ с2и2 у дх] дх2 охз.

Векторное поле X, представляет собой сумму стационарного и нестационарного векторных полей:

Х,=/ + А (и) где.

5х, дх2.

— стационарное поле,.

А (г/) = -иххх —— и2×2 + (рхххщ + р2×2и2 — схих — с2и2) ^ дхх дх2 дх3.

— нестационарное поле.

Соответствующие вектор-функции / = /Еи Л (и) = А (и)Е, где Е: Яп Я" - тождественное отображение на Я", записываются следующим образом:

Е{х) =.

2Х2 + У2ХхХ2 О V У г.

А{и)Е{х) = и 2².

РХЩ + С2и2).

Как можно видеть, А (и)Е (х) = ихАхх + и1А1х + Ъхих + Ь2и2, соответствующие матрицы и векторы записываются как.

Г-1 0 го 0 (01 (0 ^.

4 = 0 0 0, А^ — 0 -1 0 0, ь2 = 0.

0 0, р2 о] v 1с) v с2у.

Рассмотрим отображение и.

Г (Т,(-)9×0):иеи м>ёхр + А (и)УтЕ (х0).

Исходя из формулы для возмущённого потока, мы данное отображение может быть переписано следующим образом:

Е (Т, и, х0) = ехр |(/ + А (и)^Е (х0) = о.

1.15) т (/ Л / ехр | Ас1 ехр ¿-/г Л °ехр |/(1тЕ (х0) о V 'о /.

Так как поле / стационарно, следует, что ехр = о поэтому (1.15) можно переписать: т.

Е (Т, и, х0)= ехр Ас! еИо)/) А (и)Л°е{^)?Е{х0) ц. щ о.

Для дальнейших рассуждений найдём (Г,(-), х0). Для удобства введём обозначение: С (и) = | А (и).

Так как поток на М3, то постоянство ранга для отображения т (Т, и, х0) = ехр Ас! е{()?) А (и ° е ('~'о)7Я (х0) о и отображения т.

Т, и, х0) -ехр Ас1 (и)с&Е (х0) эквивалентны.

Воспользуемся формулой производной потока по параметру:

1 г р.

Г, (•),*") = Глаехр ГС (и1т—С (и)Ж ди т оехр |с (и).