Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Алгоритмическое обеспечение процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности

Диссертация: Алгоритмическое обеспечение процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В настоящее время уделяется большое внимание проблеме построения алгоритмов оценивания состояния систем, действующих в условиях неопределенности. Это объясняется, прежде всего, тем, что рассмотрение лишь стохастических процессов дает неполное представление о системе и не позволяет получать достоверные оценки. В реальных процессах невозможно точно указать спектральные характеристики шумов, а также… Читать ещё >

Содержание

  • ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
  • ГЛАВА 1. ОЦЕНИВАНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
    • 1. 1. Введение
    • 1. 2. Оценивание в условиях неопределенности
      • 1. 2. 1. Фильтр Калмана
      • 1. 2. 2. Байесовские методы
      • 1. 2. 3. Метод максимума правдоподобия
      • 1. 2. 4. Минимаксный подход
      • 1. 2. 5. Минимаксно — стохастический подход
    • 1. 3. Операции над множествами в задачах оценивания
      • 1. 3. 1. Представление информационных множеств 26 эллипсоидами
      • 1. 3. 2. Представление информационных множеств 30 многогранниками
    • 1. 4. Постановка задачи и цели исследования
  • ГЛАВА 2. МИНИМАКСНО-СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
    • 2. 1. Введение
    • 2. 2. Определяющие соотношения в задаче фильтрации
    • 2. 3. Рекуррентный минимаксный фильтр
    • 2. 4. Сглаживающий и прогнозирующий минимаксные фильтры
    • 2. 5. Информационные множества в задачах оценивания
      • 2. 5. 1. Линейное преобразование и сдвиг множества на 53 вектор
      • 2. 5. 2. Сумма множеств по Минковскому
      • 2. 5. 3. Геометрическая разность и пересечение множеств
      • 2. 5. 4. Аппроксимация множеств
      • 2. 5. 5. Чебышевский центр множества
  • Выводы ко второй главе
  • ГЛАВА 3. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ
    • 3. 1. Введение
    • 3. 2. Представление информационных множеств многогранниками
    • 3. 3. Представление многогранника в виде проекций
    • 3. 4. Построение суммы по Минковскому и выпуклой оболочки множеств
    • 3. 5. Построение геометрической разности многогранников
    • 3. 6. Построения пересечения многогранников
    • 3. 7. Построение чебышевского центра многогранника
    • 3. 8. Линейное преобразование многогранника
    • 3. 9. Аппроксимация информационных множеств
  • Выводы к третьей главе
  • ГЛАВА 4. МИНИМАКСНО-СТОХАСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ф
  • СИСТЕМАХ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ
    • 4. 1. Введение
    • 4. 2. Сравнительный анализ представления информационных множеств эллипсоидами и многогранниками
    • 4. 3. Сравнение с известными решениями
    • 4. 4. Динамическое размещение передвижных установок беспроводной связи
  • Ф 4.4.1. Технические характеристики передвижной установки беспроводной связи
    • 4. 4. 2. Моделирование сети
    • 4. 4. 3. Результаты численных экспериментов
  • Выводы к четвертой главе

Алгоритмическое обеспечение процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Диссертационная работа посвящена разработке и практическому применению алгоритмического обеспечения процессов оценивания в динамических системах в условиях неопределенности.

Актуальность темы

В настоящее время уделяется большое внимание проблеме построения алгоритмов оценивания состояния систем, действующих в условиях неопределенности. Это объясняется, прежде всего, тем, что рассмотрение лишь стохастических процессов дает неполное представление о системе и не позволяет получать достоверные оценки. В реальных процессах невозможно точно указать спектральные характеристики шумов, а также параметры системы, т.к. на систему и на канал измерения наряду со стохастическими могут действовать возмущения и помехи, о которых отсутствует статистическая информация, а сведения о них ограничивается описанием допустимых областей их изменения.

Наиболее адекватно реальные процессы описывает минимаксно-стохастический подход, основанный на сочетании вероятностного и игрового подходов. При этом подходе оптимальная оценка находится в результате решения минимаксной задачи на информационном множестве, которое является множеством условных средних вектора состояния. Широко известны методы, основанные на аппроксимации информационных множеств эллипсоидами и параллелепипедами, что приводит к снижению точности результатов. В связи с этим актуальной является задача более точной аппроксимации информационных множеств.

Первые попытки оценить состояние динамической системы в условиях неопределенности были сделаны немецким математиком К. Ф. Гауссом в начале 19 века. В современной теории наблюдения и управления наряду с вероятностным подходом [1] к описанию состояния динамической системы в условиях неточных измерений используется детерминированный подход, основанный на построении информационных множеств [2, 3]. Под информационным множеством понимается совокупность состояний системы, совместных с полученными измерениями.

Решение многих задач теории управления и наблюдения в условиях неопределенности в гарантированной постановке связано с построением трубок траекторий динамических систем (эволюции множеств достижимости) [3−7]. Среди численных методов построения трубок траекторий в настоящее время активно развиваются методы, основанные на аппроксимации множеств классом областей некоторой фиксированной формы (в частности, эллипсоидами, параллелепипедами). Идеи и методы подхода, предложенного А. Б. Куржанским для задач эллипсоидальной аппроксимации, в данной работе развиваются применительно к аппроксимациям мн огогранникам и.

Специфика задач оценивания связана с характером информационных предположений, при которых они решаются. При известных корреляционных функциях возмущений и помех решения были даны А. Н. Колмогоровым и Н. Винером [5, 6]. Если дано статистическое описание возмущений и помех применяется рекуррентная форма алгоритмов фильтрации полученная Р. И. Калманом [7]. Другой весьма важный круг задач возникает тогда, когда статистическое описание указанных априорных данных вообще отсутствует, а сведения о них исчерпываются лишь заданием допустимых областей изменения неизвестных величин. В этом случае решение достигается на основе теории наблюдения в условиях неопределенности [8−10] и теории игр [11, 12].

Аппроксимация является стандартным методом в теории выпуклых тел. Первые работы в этом направлении появились в 19 в. (Ф. Гаусс, П. Дирихле, Г. Минковский), в них для решения некоторых неравенств или систем неравенств в целых числах использовались их геометрические интерпретации. Г. Минковский рассматривал п неизвестных как координаты в я-мерном пространстве. Его фундаментальная теорема утверждает, что для каждого выпуклого тела можно найти сходящуюся последовательность выпуклых многогранников. Однако из-за высокой вычислительной сложности алгоритмы в основном использовалась для получения теоретических результатов.

Первые попытки применения аппроксимации выпуклых тел многогранниками на практике были сделаны Л. С. Понтрягиным и др. [13−15] для аппроксимации множеств достижимости динамических систем. Эти методы использовались для теоретических оценок. В настоящее время теоретически и экспериментально исследован и широко применяется целый ряд алгоритмов аппроксимации, оптимальных с точки зрения сложности описания аппроксимирующих множеств [16- 18]. Результаты по исследованию особенностей поведения оптимальных траекторий и построения схемы решения задач оптимального оценивания и управления основаны на процедуре продолжения оптимальных решений, разработанной А. П. Афанасьевым [19−22]. Этот подход, реализуя естественную декомпозицию задачи, позволяет использовать параллельные и распределенные вычисления [23].

Работа так же развивает подход В. И. Ширяева [24−33] построения п-мерных информационных множеств в задаче оценивания состояния линейных динамической систем, первоначальное состояние которых известно, но последующие измерения не точны из-за помех неопределенного характера и они характеризуются тем, что об одной части действующих возмущений и помех известны их области изменения, а о другой их статистические характеристики.

Цель и задачи работы. Целью диссертации является разработка методов и алгоритмов, позволяющих получить высокую точность минимаксно-стохастического оценивания состояния линейной динамической системы при приемлемом времени вычисления оценки.

Из цели вытекают следующие задачи:

• разработать математическую модель представления информационных множеств в виде многогранников для построения оценок вектора состояния динамической системы, функционирующей в присутствии возмущений как вероятностного, так и неопределенного характера;

• разработать алгоритмы, реализующие операции над множествами для построенной математической модели;

• сравнить разработанные алгоритмы с существующими алгоритмами;

• показать практическую целесообразность разработанных алгоритмов.

Методы исследования. Теоретические исследования основывались на применение методов математической статистики и теории случайных процессов, теории фильтрации Калмана, теории наблюдения в условиях неопределенности, теории игр и вычислительной геометрии. В работе используется геометрический подход к нахождению информационных множеств.

Все модели и методы, описанные в работе, основаны на геометрическом подходе [34, 35] позволяющем объяснить алгоритмы просто и наглядно. В тех случаях, когда первоначальная задача описана не в геометрических терминах, ее переформулировка помогает найти более эффективные алгоритмы решения.

В последнее время много внимания уделяется надежности геометрических алгоритмов, наряду с «точными вычислениями», когда результат находится до последнего значимого бита, что приводит к замедлению работы алгоритмов, развивается и подход, впервые предложенный Guibas и др. [90], основанный на сочетании интервальной арифметики и обратному анализу ошибок.

В работе особое внимание уделено эффективности и надежности работы алгоритмов для пространств большой размерности. Двухмерное пространство в иллюстрациях выбрано для наибольшей наглядности. В случаях, когда размерность п пространства мала: п < 3, анализ многогранников в значительной степени упрощается благодаря возможности «увидеть» объект изучения. Но уже при п=4 роль этого фактора существенно снижается.

Структура н объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Результаты работы также планируется использовать в студенческих проектах, посвященных управлению мобильными коммуникациями.

Председатель комиссии подпись Симмерс В.). Члены комиссии: подпись Курковский С.) (подпись Вайтхед С.) .

Система университетов штата Джорджия.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского.- М.: Наука, 1987. — 712 с.
  2. Milanese М. and et al. Bounding Approaches to System Identification / M, Milanese, J. Norton, E. Walter.- London: Plenum Press, 1996.- 586 p.
  3. Kurzhanskii A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. -Boston: Birkhauser, 1997. — 321 p.
  4. А.Б. Задачи идентификации — теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. -С.3−26.
  5. А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Математика. 1941. Т. 5. № 1. 3−14.
  6. Winer N. Extrapolation, Inteфolation and Smoothing of Stationary Time Series. -New York: Wiley, 1949. — P. 11−23.
  7. P.E. 06 общей теории систем управления // Тр. 1 Конгресса ИФАК. -М.: Изд-во АН СССР, 1961.- 521−547.
  8. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К. Т. Леондеса. — М.: Мир, 1980. — 407с.
  9. Н.И., Красильщиков Н. Н. Система рекуррентных байесовских алгоритмов оценивания, адаптивных к разнородным неконтролируемым факторам // Изв. РАН. Техн. киберн. 1994. № 4. — 5−16.
  10. Mehra R. Approaches to adaptive filtering // IEEE Transactions on Automatic Control. 1972. V. 17 — P. 693−698.
  11. А.Б. Задачи идентификации — теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. № 4. — 3−26.
  12. В.М. Определение гарантированных оценок векторов состояния и параметров линейных динамических систем при ограниченных возмущениях// Докл. АН СССР. 1986. № 3. — 567−570.
  13. Л.С., Андронов А. А., Витт А. А. О статическом рассмотрении динамических систем //ЖЭТФ. 1933. Т. З. Вып. 3. — 165−180.
  14. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Физматгиз, 1961. -391с.
  15. Л.С. Избранные научные труды. — М.: Наука, 1988. Т. 11.- 575 с.
  16. В.А., Лотов А. В. Методы и алгоритмы анализа линейных систем на основе построения обобщенных множеств достижимости // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20. № 5.-С. 1130−1141.
  17. А.Р., Семенихин К. В. Минимаксная идентификация обобщённой неопределённо-стохастической линейной модели // Автоматика и телемеханика. 1998. № 11.-С. 158−171.
  18. А.Р., Миллер Г. Б. Минимаксная линейная рекуррентная фильтрация // Информационные процессы. 2001. Т.1. № 2. — 150−166.
  19. А. Р. Isoperimetric problem with, а polylinear integrand on a polyedron // Сотр. math, and modeling. -New York: Consultations bureau, 1992.
  20. A. П. Обобщенная изопериметрическая задача на многограннике // Дифф. ур. 1993. т.29. № 11.
  21. А. Р. On the dual problem in the optimal trajectories continuation and Maximal principle for the linear control systems // Proceedings of ISA «Dynamics of non-homogeneous systems». M.: 1997.
  22. Afanasiev A. P. Estimates of distances in many-valued mappings determined by perturbed domains admissible solutions in mathematical programming // Proceedings of ISA «Dynamics of non-homogeneous systems». M.: 2001. v. 4.
  23. В.И. Алгоритмы управления динамическими системами в условиях неопределенности // Мехатроника.2001. № 8. — 2−5.
  24. В.И., Халили Н.Б, Пельцвергер СБ. Минимаксная фильтрация двумерных дискретных полей. // Системы цифровой обработки и анализа изображений: Тез. докл. межрегионального семинара. — Рига: ИЭиВТ ЛАН, 1991.-С. 97−99.
  25. В.И., Пельцвергер СБ. Синтез управления динамическими системами в статистически неопределенных ситуациях//Междунар. конф. «Актуальные проблемы фундаментальных наук». Сб. докл. -М.: Изд-во МГТУ, 1991. Т.1.-С. 86−89.
  26. Shiryaev V.I., Velkova I.S. Estimation and Control of the Dynamic Systems under Uncertainty Conditions // Advances in Modeling & Analysis, C, AMSE Press, 1995. Vol.46. № 3. — P. 55−63.
  27. Shiryaev V.I. Prediction in fuzzy social-economic process models under incomplete and inaccurate information// SAMS. 1995. Vol. 18−19. — P. 775−778.
  28. В.И. Построение позиционного управления роботами в условиях неопределенности по неполной и неточной информации // Тр. VI-й Международной научно-технической конференции «Робототехника для экстремальных условий». — СПб, 1996. — 171−179.
  29. В.И., Панченко И.С, Шустова М. А., Сидорова Н. Б, Схмолянский Н. Ю. АлгориТхМЫ минимаксного оценивания в условиях неопределенности // Цифровые радиоэлектронные системы (эл.журнал). 1997. -Вып.1.
  30. В.И. Алгоритмы реального времени оценивания и позиционного управления динамическими системами в условиях неопределенности // Материалы VIII НТК «Экстремальная робототехника». -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. — 253−263.
  31. Peltsverger В., Peltsverger S. Optimal Allocation of Wireless Points in Mobile Networks //Procedings of the 11**^ International Conference on Telecommunication Systems. — Monterei, CA, October 2003. — P.77−79.
  32. Дробышевский С, Козловская A. Внутренние аспекты денежно- кредитной политики России Москва // ИЭПП. 2002. № 45. — 157 с.
  33. Р.Е., Бьюси Р. С. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания // Техническая механика (сб. переводов). 1961. Сер. Д. № 1. -С. 123−136.
  34. Р.Е., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971. — 340 с.
  35. Э.П., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. — М.: Связь, 1976. — 496с.
  36. А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. — М: Мир. 1972, — 544с.
  37. Magill D. Optimal adaptive estimation of sample stochastic processes // IEEE Trans, on Automatic Control. 1965 V.10(4). -P. 434−439.
  38. H.C. Логинов В. Д. Мальцев В.И. и др. Определение параметров движения объектов в статистически неопределенных ситуациях // Зарубежная радиоэлектроника. 1988. № 2. — 3−29.
  39. Chaer W., Bishop R., Ghosh J. Hierarchical adaptive Kalman filtering for inteфlanetary orbit determination // IEEE Trans. Aero, Elec. Sys. 1998. V.34(3). -P. 883−896.
  40. Bertsekas D.P., Rhodes LB. On the minimax feedback control of uncertain systems // Proc. IEEE Conf. on Decision and Control. 1971. — P. 451−455.
  41. Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1999. — 432 p.
  42. H.C., Логинов В. Д. Севостьянов К.К. Адаптивное оценивание // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. № 7. — 3−27.
  43. Кац И.Я., Куржанский А. Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11.-С. 74−87.
  44. Р.Е. Идентификация систем с шумами // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40. № 4.-С. 27−41.
  45. Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. — М.:Наука, 1988. — 320 с.
  46. И. Алгоритмы оценивания аддитивных скачкообразных возмущений в линейных динамических системах в условиях статистической неопределенности: Дисс. к-та. техн. наук. — Челябинск, 1997. — 152 с.
  47. I., Рог А. 0−1 polytopes with many facets // Advances in Math. 2001. V.161.-P. 209−228.
  48. Fukuda K., Liebling T. M., Margot. F. Analysis of backtrack algorithms for listing all vertices and all faces of a convex polyhedron // Computational Geometry. 1997. V8. — P.1−12.
  49. Buchta C, Muller J., and Tichy R. F. Stochastical approximation of convex bodies // Math. Ann. 1985. V.271(2). — P. 225−235.
  50. H.H. Задачи управления и стабилизации динамических систем // ВРШИТИ, Итоги науки и техники, серия: Современная математика и ее приложения, тематические обзоры. 1998. Т. 60. — 24−41.
  51. Кац И. Я. Задачи об устойчивости движения, оценивания и управления в системах со случайными параметрами. Дисс, д-ра физ.-мат. наук. -Свердловск, 1984. — 260 с.
  52. Кац И.Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах // Оценивание в условиях неопределенности. -Свердловск: У Щ АН СССР, 1982. — 43−59.
  53. Кац И. Я. Асимптотические свойства информационных множеств в задаче минимаксно-стохастической фильтрации // Эволюционные системы в задачах оценивания. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. — 31- 37.
  54. Кац И.Я., Куржанский А. Б. О некоторых задачах наблюдения и управления в случайных обстоятельствах // Автоматика и телемеханика. 1970. № 12.-С. 15−25.
  55. Кац И.Я., Куржанский А. Б. О двойственности статических задач оптимального управления и наблюдения // Автоматика и телемеханика. 1971. № 3.-С. 12−22.
  56. Кац И.Я., Куржанский А. Б. К задачам оптимального наблюдения // Прикладная математика и механика. 1973. Т.37. Вып. 5. — 771−786.
  57. Кац И.Я., Куржанский А. Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // ДАН СССР. — 1975. — Т. 221. — № 3. — 535−538.
  58. В.М., Лычак М. М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления: Игровой подход. — Киев: Наук, думка, 1985. — 245 с.
  59. В.М. Определение гарантированных оценок векторов состояния и параметров линейных динамических систем при ограниченных возмущениях // Докл. АН СССР. 1986. Т.288. № 3. — 567−570.
  60. А.А. Общие решения задачи оптимизации управления при неклассическом функционале // ДАН СССР. 1985. Т. 284. № 4. — 808−811.
  61. .И., Ширяев В. И. О выборе наихудших сигналов в многошаговых задачах гарантированного оценивания // Динамические задачи оценивания в условиях неопределенности. — Свердловск: УВЦ УрО АН СССР, 1989.-С. 11−20.
  62. В.Б., Матасов А. И. Задача фильтрации в системах с последействием при ненулевых начальных условиях // ДАН. 2000, Т. 372. № 3. — 463−468.
  63. Черноусько Ф. Л, Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. — М.: Наука, 1978. — 351 с.
  64. Shiryaev V., Peltsverger, S. Algorithms for Calculation of Information Set in Discrete Systems Under Conditions of Statistical Uncertainty // SCI 2001/ISAS. 2001.-P. 1856−1859.
  65. P. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973. — 472 с.
  66. .И. Минимаксные среднеквадратичные оценки в статистически неопределенных системах // Дифф.уравнения. 1984. Т.20. № 8. -С. 1291−1297.
  67. .И., Ширяев В. И. О выборе наихудших сигналов в многошаговых задачах гарантированного оценивания // Аннотации докладов VI Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. — Ташкент, 1986.-С. 37−38.
  68. А.А. Проблемы физической теории управления // Автоматика и телемеханика. 1990. № 11. — 3−28,
  69. Покотило В, Г. Новый метод квазиоптимальной аппроксимации пересечения эллипсоидов. Препр. // АН УССР. Ин-т кибернетики им В. М. Глушкова. — Киев, 1990. — 18с.
  70. Д.Я. Точное решение эллипсоидов, аппроксимирующих область достижимости одного класса линейных систем // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996. № 1. — 16−22.
  71. Ф., Шеймос М, Вычислительная геометрия. Введение. — М.:Мир, 1989. — 478с.
  72. Bazaraa, Sherali, Shetty. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. — New York: Wiley, 1993. — 656p.
  73. McMullen. P. The maximum number of faces of a convex polytope // Mathematika. 1970. V. XVII — P. 179−184.
  74. Gonzalez R.C., Woods R. E, Digital Image Processing. — Boston: Addison- Wesley, 1993.-716 p.
  75. Chemikova N.V. Algorithm for finding a general formula for the nonnegative solutions of a system of linear equations // Zh. vych. mat. 1964. V.4. -P. 733−738.
  76. Graham R. An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Point Set // Info. Proc. Letters 1. 1972. — P. 132−133.
  77. Chand D.R., Kapur S.S. An Algorithm for convex polytops // JACM. 1970. V.17(l)-P. 78−86.
  78. Overmars M. H., Van Leeuwen J. Maintenance of configurations in the plane // J. Comput. Sys. Sci. 1981. V.23. — P. 166−204.
  79. Hershberger J., Suri S. Off-line maintenance of planar configurations // J. Algorithms. 1996. V. 21(3). — P. 453−475.
  80. Kapoor S. Dynamic maintenance of 2-d convex hulls and order decomposable problems // Manuscript. 1995. — 22p.
  81. Andrew A.M. Another efficient algorithm for convex hulls in two dimensions // ACM Information Processing Letters. 1979. V.9. — P. 216−219,
  82. Chan T.M. Random sampling, halfspace range reporting, and construction of (
  83. Burl J. Linear Optimal Control. -Boston: Addison Wesley, 1999. — 432 p.
  84. O’Rourke J. Computational Geometry. -New York: Cambridge University Press, 1995. -376p.
  85. Goodman J.E., O’Rourke J. Handbook of discrete and computational geometry. — Boca Raton, FL: CRC Press, 1997. — 991 p.
  86. Elzinga D.J., Heam D.W. The Minimum Covering Sphere Problem // Management Science. 1972. V. 19(1). — P. 96−104.
  87. Fischer К., Gartner В., Kutz М. Fast Smallest-Enclosing-Ball Computation in High Dimensions // Proceedings of the 11th Annual European Symposium on Algorithms (ESA). 2003. — P. 630−641.
  88. Guibas L. J., Salesin D., Stolfi J. Epsilon Geometry: Building Robust Algorithms from Imprecise Computations // Symposium on Computational Geometry. 1989. — P. 208−217.
  89. Л.А., Брыксин В. М. Применение математических методов и математического моделирования для оценки агроклиматического потенциала территорий // Известия АГУ. 2002. Вып. 1(23) .
  90. В. Моделирование бизнеса: средства и методы // PC Weel
  91. I. А. The Global Positioning System // IEEE Spectrum. 1993. V. 12.-P. 36−47.
  92. В.В., Куршин В. В. Адаптивный навигационный алгоритм в условиях селективного доступа к системе GPS // Изв. АН. Теория и системы управления. 2001. № 5. — 134−142.
  93. Г. К. Исследование итерационных методов аппроксимации выпуклых множеств многогранниками. — М.: ВЦ АН СССР, 1986. — 39с.
  94. В ел нова И. С, Ширяев В. И. Операции над выпуклыми многогранниками в задачах гарантированного оценивания // Межрегиональн. научн.-техн. конф. 11−15 октября 1993 г. Тез. докл. — Пермь: ПГТУ, 1993.
  95. Simon D. El-Sherief Н. Fuzzy Logic for Digital Phase-Locked Loop Filter Design // IEEE Trans, on Fuzzy Systems. 1995. V. 3. — P. 211−218.
  96. Simon D.A. Game Theory Approach to Contrained Minimax State Estimation // International Journal of Uncertainty, Fuzziness, and Knowledge-Based Systems. 2002. V. 10. — P. 363−384.
  97. Sayed A.H. A framework for state space estimation with uncertain models // IEEE Trans, on Automatic Control. 2001. V. 46. № 7. -P. 998−1013.
  98. Wu J.C., Yang J.N., Agrawal, A.K. Applications of Sliding Mode Control to Benchmark Problems // Journal of Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 1998. V. 27. № 11. — P. 1247−1265.
  99. Grewal M. S., Weill L. R., Andrews A. P. Global Positioning Systems, Inertial Navigation, and Integration. -New York: John Wiley and Sons Publication, U.S.A., 2001.-416p.
  100. Jekeli. Heights, the Geopotential, and Vertical Datums // Technical Report 459, Ohio Sea Grant Development Program, NOAA, Grant No. NA86RG0053 (R/CE-7-PD), 2000. -34 p.
  101. X., Малич И., Бронич А. Система позиционирования мобильных терминалов//Эрикссон Никола Тесла. 2001. Вып.13. № 26 — 63−70.
  102. Л. Путеводная звезда, которая светит всегда // Сети. 1998. № 6. -С. 12−20.
  103. Chang X., Paige An Orthogonal Transformation Algorithm for GPS Positioning // SIAM Journal on Scientific Computing. 2003. V.24. № 5. — P. 1710−1732.
  104. Bartolacci M. R., Peltsverger В., Konak A., Peltsverger S. Allocation of Multiple Wireless Access Points in Mobile Networks// Procedings of the 42* ACM Southeastern Conference. — Huntsville, AL, 2004. — P. 1−4.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?